Comprendre la logique des mathématiques

Pour le 15 :
Comment déduis-tu de ce que tu as écrit que $f$ n'est pas affine ?
D'ailleurs, peux-tu donner une définition de fonction affine ?

Pour s'y retrouver plus facilement, j'ai mis dans le premier message du fil un lien vers les exercices proposés (j'ai gardé la numérotation de christophe c).
N'hésitez pas à me signaler des erreurs ou des oublis.

Je suis héberlué par la vitesse de tes progrès!!! Bravo, et merci à tous les intervenants pourleur forte présence dans ce fil. Ca me laisse sans voix.

Je vais t'ajouter dans les prochains temps plein d'exercices pour transformer l'essai, mais tu as déjà réussi des choses inattendues, je trouve.

OK pour la 15. Et OK pour tes réponses à mes questions.
J'en profite pour te féliciter, à mon tour, pour ces rapides progrès.

Tu peux simplifier également pour la question 15. Sans utiliser le taux d'accroissement ni aucun résultat sur les fonctions affines. Par exemple :
Si $f$ (la fonction carrée) est affine, alors il existe $a$ et $b$ tel que pour tout $x$ réel, $f(x)=x^2 = ax+b$.
Pour $x=0$, on a d'une part $f(0)=a \times 0 + b = b$ et d'autre part $f(0)=0^2 = 0$. Donc $b=0$.
pour $x=1$, on a d'une part $f(1)=a \times 1 + 0 = a$ et d'autre part $f(1)=1^2 = 1$. Donc $a=1$.
Mais : $f(2)=1 \times 2 + 0 = 2$ et $f(2)=2^2 = 4$.
Contradiction.
$f$ n'est donc pas une fonction affine.

Je donne aussi une correction pour la 15, encore plus formelle et froide, et j'ajoute des commentaires.

Hypothèse1: pour tout $x: f(x)=ax+b$
Hypothèse2: pour tout $x: f(x)=x^2$

donc $f(0) = a\times 0 + b$
donc $f(0) = 0+b$
donc $f(0) = b$

donc $0^2=b$
donc $b=0$

donc $f(1) = a\times 1+b$
donc $f(1) = a+b$

donc $1^2 = a+b$
donc $1 = a+b$
donc $1=a+0$
donc $a=1$

donc $f(2) = 2a+b$
donc $f(2) = 2 \times 1+0$
donc $f(2) = 2$

donc $f(2) = 2^2$
donc $f(2) = 4$

donc $2=4$

Commentaires:
c'est encore imparfait, car j'ai mis "donc" partout (ou bien rien ou bien donc, et quand c'est rien, c'est une hypothèse), mais ces "donc" ne renvoient pas à la phrase d'avant, mais possiblement à des phrases qui se trouvent beaucoup plus haut dans la liste.

Un point peut-être plus important: on a une situation

$$ [\exists u:R(u)] \to P$$

il est LOGIQUEMENT autorisé de considérer que ça veut dire la même chose (***) que:

$$ \forall u: [(R(u))\to P]$$

avec la restriction, bien entendu que $P$ ne doit pas parler de $u$.

C'est une équivalence valable dans TOUTES LES LOGIQUES, même les plus faible.

Aucun correcteur ne la refusera.

L'inconvénient de rédiger en disant "comme [il existe a,b: Machin(a,b)],donc ... donc ... donc blabla(a,b)" est que $a,b$ ne sont jamais introduits du fait que $a,b$ dans les crochets sont liés (donc n'existent pas avec des valeurs).

Classiquement, on peut corriger ce défaut par:

"comme [il existe a,b: Machin(a,b)]. Soient $a,b$ ainsi. Donc ... donc ... donc blabla(a,b)"

Mais c'est gaspillant en nombres de caractères.

L'axiome logique parfaitement officiel (***) semble le plus naturel. Evidemment, sa légèreté vient de ce que $\exists$ est en polarité NEGATIVE. Ne pas confondre avec les $\exists $ de conclusion.

Pour les gens qui uniquement des maths et n'utilisent que des rudiments de logique classique, ils peuvent le voir via le fait que:

$$ [(\exists xR(x))\to A]\iff [(\forall x:(nonR(x)))\ ou \ A] $$

et en fait prouveront le troisième truc: $\forall x: ( \ \ [nonR(x)]$ ou $A \ \ )$

avec l'inconvénient que ça utilise deux choses puissantes et non intuitionnistes.

Poirot
Si on exige de Oshine que des raisonnements élémentaires basés que sur des évaluations sur des questions similaires, je crains pour lui si on lui pose .

40 bis / On suppose que pour tout nombre $x:a_0+a_1x+....+a_{1000} x^{1000}=1+2x+3x^2+...+1000x^{1000}$. Peut-on en déduire que $a_0\times a_1\times ...\times a_{1000}=1\times 2 \times...\times 1000?$

Cher gai requin, n'aurais-tu pas oublié de préciser « par théorème » ? :-D

Pourtant rien ne doit faire peur : si tu peux appliquer une règle de maths, tu l’essayes.
Ne pas trouver n’est pas grave.
Ce qui doit te faire peur est d’appliquer un théorème sans en avoir le droit.

Tu peux utiliser l' algèbre linéaire ( théorème du rang) mais interdit par cc. Tu peux aussi t'inspirer de la géométrie. Ton problème se ramène à l'intersection de deux plans dans l'espace passant par l'origine. Je te rappelle que l’équation $$ax+by+cx=0$$ est celle dans plan dans l'espace passant par (0,0,0) si $(a,b,c)\neq (0,0,0)$ et tout l"espace si $(a,b,c)= (0,0,0)$ Je ne peux t'en dire plus !

Une solution non constructive utilisant le théorème du rang est une approche niveau L1 qui me paraît très pertinente pour quelqu'un qui va passer les écrits du CAPES dans peu de temps.
D'autant qu'ici une solution constructive est lourde à mettre en place.

Une solution constructive ne devrait pas poser de problème à un physicien.

En voici d'autres et MERCI pour le temps que vous mettez dans ces échanges.

45/ Soit $A$ un ensemble de points du plan. On suppose que pour tout $X\subset A$ si $card(X)\leq 3$ alors il existe une droite $d$ telle que $X\subset d$. Prouver qu'il une droite $d$ telle que $A\subset d$.

46/ Prouver avec uniquement les bases du collège et sans Thalès que les points $A,B,C$ étant alignés dans cet ordre, on a:

$$ x_Ay_B = x_By_A $$

le plan ayant été supposé muni d'un repère orthonormé [large]où le point $C$ a pour couple de coordonnées $(0,0)$[/large]


47/ Soit $u$ une suite de nombres réels. Soit $v: n\mapsto u(2n)$ et $w: n\mapsto u(2n+1)$. Se peut-il que $u$ ne soit pas arithmétique et $v,w$ le soit?


48/ Un élève de lycée a oublié la formule qui permet de calculer la dérivée du produit de deux fonctions (dérivables) mais se rappellent toutes les autres formules autorisées au bac sans justification. Peut-il théoriquement retrouver la formule oubliée?


49/ Soit $A$ un ensemble de rationnels. Prouver qu'il existe $e\in A$ qui a la propriété suivante:



50/ Soit $A$ l'ensemble des polynômes, enfin des fonctions polynomiales de $\R\to \R$. Soit $f\in A$ telle que pour toute $g\in A: f\circ g = g\circ f$. Peut-on déduire de ces hypothèses qui est $f(103)$?

51/ Je ne suis pas dispo, mais j'ai lu que tu avais prouvé que $x^2+y^2\geq 2xy$ et ensuite déclaré que tu n'arrives pas à ne déduire
$x^2+y^2 \geq xy$. Peut-être as-tu déjà surmonté la difficulté, mais sinon, peux-tu rédiger une solution totalement détaillée?

@OShine : Crée une application linéaire dont le noyau est défini par le système que tu cherches à résoudre.

Tu ne connais pas la dimension de l'image, mais tu sais qu'elle est plus petite que...

@OShine : Que dois-tu montrer pour avoir $(a,b,c)\neq (0,0,0)$ répondant au problème de cc ?

Pourquoi ton application $f$ ne peut pas être injective ?

OShine a écrit:

Si $a=ut-zv$ , $b=vx-uy$ et $c=zy-xt$ je ne vois pas comment montrer que les composantes sont non toutes nulles

OShine a écrit:

On doit montrer $ut-zv \ne 0$ et $vx-uy \ne 0$ et $zy-xt \ne 0$

Attention, "non toutes nulles" $\neq$ "toutes non nulles".