Merci Foys, Georges et Poirot pour le SAV bibliographique. ;-)
Je ne suis pas tout à fait débutant en logique donc je vais rester sur le Dowek qui me convient aussi parce qu'il est concis.
Mode H.S aparté pour Gai-Requin
J'ai vu ton petit post concernant un des blaireaux de Berlin. Cela m'a donné envie de préparer un fil dans la Rubrique Histoire des Maths. Mais c'est un gros boulot et je suis pas historien du tout. J'ai trouvé un joli texte ``Visions, Dreams and Mathematics'' de Barry Mazur que je suis en train de faire traduire.
Fin mode H.S.
@Christophe : "Ca rejoint un fil de Martial récent d'ailleurs sur les stationnaires."
Je pense que tu fais plutôt allusion au fil "Fermés emboîtés" initié par elo dans la sous-forum Topologie, où raoul avait montré avec brio que, dans un espace métrique, si toute suite de fermés emboîtés non vides a une intersection non vide, alors tout fermé borné est compact.
Si je comprends bien, ton exo est une généralisation de ce truc, au sens où, comme on n'est plus dans le cas métrique, le dénombrable ne suffit plus, et il va falloir faire une récurrence transfinie sur la taille d'une famille de fermés dont l'intersection est vide. Parce qu'en plus la réciproque de BW est fausse, donc je suppose qu'il va aussi falloir dégainer un ultrafiltre.
Euuuu nan, mais why not. En fait je pensais surtout au fil où tu devais prouver que le cas "stabilité par réunions croissantes tant" suffit à assurer la stabilité générale (enfin pour les directed).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Pour changer de sujet : Alain Badiou, un philosophe "éclairé mathématiquement" avec lequel on a le droit de ne pas être d'accord (surtout politiquement) donne une définition alternative des ordinaux. Selon lui (de mémoire), un ordinal est un ensemble transitif dont tous les éléments sont transitifs.
Je n'ai pas vérifié de visu mais ça a l'air de marcher.
La définition standard ne fait pas appel à l'axiome de fondation. En son absence, avec celle de Badiou, {x} = x est un ordinal.
@GG : oui, tu as raison. Mais il me semble qu'il introduit l'axiome de fondation, justement pour éviter ce genre de situations. Et il le justifie philosophiquement.
Je ne me souviens plus des détails, la lecture de ce genre de livres fait un peu mal à la tête.
@Christophe : oui mais justement, Monsieur Badiou donne une définition alternative des ordinaux, qui elle nécessite AF pour que les atomes ne soient pas des ordinaux (cf le post de GG). Franchement, entre nous, c'est un détail.
si j'ai choisi cette définition, c'est parce qu'elle appartient à "la grande famille" des définitions de la forme:
$x$ est platoniquement bleu := $x$ est l'ensemble de ses parties bleues, autres que lui-même.
Avec bleue = constante vraie, tu obtiens les valeurs de vérité $0$ et $1$
Avec bleue:= transitif, tu obtiens les ordinaux
Avec bleu:= fini, tu obtiens les ensembles héréditairement finis
On peut s'interroger sur l'utilité du "autre que lui-même". Parfois ça ne change rien. D'autres fois, ça tue tout.
L'axiome de fondation est d'ailleurs un grand ennemi dans ce contexte, car empêche d'exister des objets canoniques de première importance, comme:
Un espace topologique $E$ égal à l'ensemble des applications continues de $E\to E$
Un espace topologique $E$ égal à l'ensemble des applications continues de $E\to [0,1]$ (très intéressant celui-là)
Un espace vectoriel $E$ égal à $L(E,E)$
Un ensemble égal à l'ensemble de ses ultrafiltres
etc. Certains nécessitant qu'on ne suppose pas l'axiome du choix pour que ce soit marrant.
Un dernier exemple amusant. $E$ tel que $P(E)=\{z \mid \exists (x,y)\in E^2: z = x(y)\}$
Précision, j'utilise la notation $a(b) := \{t\mid (b,t)\in a\}$, ça évite les usines à gaz maladroites de parler d'ensembles de définition, etc
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@Christophe : il y a une théorie très intéressante avec axiome d'anti-fondation.
Tu devrais trouver ton bonheur dans un papier de Peter Aczel : "Non-Well-Founded Sets".
Je te laisse faire la recherche toi-même car je ne peux pas poster le fichier ici, il fait 34 Mo
@alesha, car il donne une représentation du rêve d'Antan de la théorie fondatrice universelle:
$$ \forall R\exists a: <<R==a>>$$
avec des contradictions qui n'apparaissent pas au premier abord. Par exemple l'élément $a$ tel que :
$$ \forall x: [a(x)=1-(x(x))]$$
ne fait que donner $a(a)=0.5$.
En outre les connecteurs y sont bien représentés, le "ou" étant le produit, le "vrai absolu" étant le $0$ et le "faux absolu" étant le $1$. Le "et" est $(x,y) \mapsto x+y-xy$ et $\forall xR(x):=$ la borne supérieure des $R(x)$ quand $x$ parcorut $E$. Etc
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@Alesha, toujours, le vrai problème des crises de fondement n'est de toute façon pas "à proprement parler" les structures de valeurs de vérité où on manque de points fixes (ie par exemple $x= non(x)$ ) .
C'est surtout le problème "du choix". Il y a plein de truc qu'on voudrait des fonctions et qui ne le sont pas forcément de manière consistante. Par exemple la valeur de vérité de
$$\{x\mid x\notin x\} \in \{x\mid x\notin x\}$$
ce n'est pas $0.5$ ou quoi ou qu'est-ce.
C'est "à la fois" vrai et faux, c'est à dire que cette phrase est vraie tout comme elle est fausse.
De la même manière si tu essaies d'orienter un espace projectif de dim$>1$ ce n'est pas que "tu ne peux pas" (version officielle), c'est que tu as des doubles différents.
Une étude, qui hélas ne semble permise qu'aux gens entrainés depuis un certain temps à la théorie des ensembles ou théorie descriptive (même si ça revient un peu au même), qui est vraiment édifiante, c'est de jouer avec AD (l'axiome de détermination). Il a le sublime avantage de te montrer où les problèmes de choix se passent à un niveau très fin.
Par exemple sous AD, il n'existe aucun ordre total $\geq $ sur $\R^\N$ tel que pour toute suite $u$ et tout $a\in Image(u)$, la suite $(a+u)\geq u$, où je note juste $a+u$ la suite $n\mapsto $ if $n=0$ then $a$ else $u(n-1)$.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
En outre les connecteurs y sont bien représentés, le "ou" étant le produit, le "vrai absolu" étant le $0$ et le "faux absolu" étant le $1$. Le "et" est $(x,y) \mapsto x+y-xy$ et $\forall xR(x):=$ la borne supérieure des $R(x)$ quand $x$ parcorut $E$. Etc
Je ne vois pas pourquoi si ça marche dans ton cas, ça ne marcherait pas si on a seulement un isomorphisme entre $E$ et l'espace des fonctions continues $E \to [0, 1]$: au lieu de $(x,y) \mapsto x+y-xy$, on pose $(x,y) \mapsto \varphi(x)+\varphi(y)-\varphi(x)\varphi(y)$.
Je suis d'accord que ça se ressemble, mais ça semble beaucoup moins "pur" en termes de présentation, et surtout, il n'a jamais été clair pour moi, avec l'extensionalité, que ce soit strictement aussi fort.
Un exemple typique: tu prouves en 2 lignes qu'il n'existe pas de suites d'ensembles $u$ telle que
$$ \forall n: u_n \supset P(u_{n+1}) $$
Essaie de le faire aussi concisément avec juste "un isomorphisme", c'est à dire une injection de $P(u_{n+1})$ dans $u_n$.
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Non, mais pas de souci, ne t'inquiète pas. Mais je te disais juste que dans certains cas avoir "=" à la place de "isomorphe à", c'est très substantiellement avantageux et je t'ai mis un exemple, le tout dernier. Qu'est-ce qu'il a de pas clair?
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@Alesha, c'est très lent, mais j'ai commencé à écrire l'article promis il y a des lustres où je te remercie et transforme ta révélation que $a=a\multimap ((a=a)\otimes (a=a))$
Grace à toi, j'ai pu prouver l'équivalence complète:
$$ Extensionalite\iff Platonicisme $$
J'ai voulu te faire plaisir avec "le bon signe" implique, mais à chaque fois que je tape le mot "latex: multimap", je pense au cinquième élément, avec "multipass" :-D
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Tant mieux, Christophe !
J'espère que ce sera auto-contenu avec des définitions explicites. Par exemple, on y trouvera la définition de "platonicisme" mais pas d'expressions du genre ""un isomorphisme", c'est-à-dire une injection" qui n'ont aucun sens pour moi (elles en ont certainement pour toi - mais la possibilité d'une communication requiert un minimum d'intersubjectivité).
Oui, je vais essayer, mais je ne comprends pas ce qui t'a gêné. Je traitais le cas où les isomorphismes sont les injections, il n'y avait pas de mystère :-S
J'avais remplacé $P(u(n+1) ) \subset u(n)$ (inclusion : l'identité) par "il existe une injection de $P(u(n+1))$ dans $u(n)$", pour te signaler que c'était très différent. Apparemment ça t'a choqué, mais là, j'avoue un truc m'échappe.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je ne comprends rien à tes messages. Je n'arrive même pas à les parser: je ne sais pas ce que sont les définitions, les énoncés, les hypothèses, les preuves (de deux lignes). Mais les autres participants du forum te comprennent, c'est que le problème vient de moi.
Dans un article, au moins tu écriras "Définition: ... ", "Théorème: ...", "Preuve: ...".
@Alesha : je doute que quiconque sur le forum comprenne vraiment les messages de Christophe, il a son formalisme à lui qu'il considère comme universel.
Je ne vois pas pourquoi si ça marche dans ton cas, ça ne marcherait pas si on a seulement un isomorphisme entre $E$ et l'espace des fonctions continues $E \to [0, 1]$: au lieu de $(x,y) \mapsto x+y-xy$, on pose $(x,y) \mapsto \varphi(x)+\varphi(y)-\varphi(x)\varphi(y)$.
Il n'y a même pas de $E$ dans ta réponse alors qu'on s'attendrait à voir un même énoncé facilement prouvable avec l'hypothèse: $E$ est égal à l'espace des fonctions continues $E \to [0, 1]$ (*) et difficilement prouvable (ou même non-prouvable) avec l'hypothèse: $E$ est isomorphe à l'espace des fonctions continues $E \to [0, 1]$ (**).
C'est pour dire que je ne te comprends même pas au niveau méta: mon problème n'est même pas de savoir si ce que tu affirmes est vrai ou non; c'est que, quand bien même ce serait vrai, je ne vois pas en quoi ça répondrait à la question.
Tu peux faire 40000 "déclarations" de 50 lignes, ça n'implique pas qu'il y ait un échange ou une communication.
Ok, mais le problème c'est que quand tu as gueulé, tu as souligné le passage "identité->isomorphisme" que j'avais évoqué explicitement dans le deuxième paragraphe.
Précision: je ne conteste pas ton courroux, j'essaie juste de te satisfaire:
A la citation de ta question, voilà très exactement comment j'ai commencé ma réponse:
Je suis d'accord que ça se ressemble, mais ça semble beaucoup moins "pur" en termes de présentation, et surtout, il n'a jamais été clair pour moi, avec l'extensionnalité, que ce soit strictement aussi fort.
Un exemple typique:
puis j'ai enchainé avec l'exemple AUTRE de la suite des ensembles de parties, qui est au moins parlant lui.
Concernant les $E$ dont tu me parles, je ne sais rien, je ne sais même pas si c'st consistant. Donc que voulais-tu que je te réponde? Je t'ai répondu avec UN AUTRE EXEMPLE que je connais que prendre l'identité donne un truc "vraiment plus fort", pensant que ta question était "au fond est-ce si grave de remplacer l'identité par un isomorphisme?". Puis tu t'es énervé..
Je te donne ENCORE un autre exemple que ça n'a rien à voir de faire les choses avec des isomorphismes ou de les faire avec l'identité dès lors que le contenu mathématique devient profond. Je te dis bien que c'est UN AUTRE EXEMPLE, puisque sur mon $E$ je ne connais rien.
On ne suppose pas l'axiome du choix.
$T$ est l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation d'équivalence définie sur $A:=2^{\Z^2}$ pour $u,v$ par :
Il existe un ultrafiltre $W$ stable par intersections dénombrables sur $T$ tel que
1/ pour toute application $f$ de $T$ dans $\R$, il existe $a\in \R: \{c\in T\mid f(u)=a\} \in M$
2/ pour tout $a\in 2^\Z$, [l'ensemble des $u\in T$ tel que $\exists n\in \in \Z\forall p\in \Z: u(n,p)=a(p)$ ] est un élément de $W$
Autrement dit, tu as une relation binaire $R$ sur $\Z$, donnée presque explicitement, par exemple tu peux imaginer des cases, mais non numérotées, alignées comme le sont les éléments de $\Z$, et un graphe orienté dont les sommets sont ces cases. Evidemment si elle était donnée explicitement (c'est à dire si on avait numéroté la case $0$ en disant, "voici la case 0"), ce serait immédiatement contradictoire, mais elle est "essentiellement" donnée puisque on la connait à un shift près. Et pourtant, elle contient tous les réels, etc.
Bon, mais je ne veux pas t'énerver plus, je ne vais pas te redonner pluss d'exemples sauf si tu me le demandes.
Contrairement à ce que tu écris, je n'ai jamais "gueulé" et ne me suis jamais "énervé". J'ai juste dit que je ne comprenais pas tes messages et je confirme que je ne vois toujours pas où est la réponse à ma question : "En quoi est-ce "de première importance" d'avoir un espace topologique E égal à l'ensemble des applications continues de $E \to [0,1]$?"
Pour éviter tout malentendu, je ne suis pas en train de la reposer: ton dernier message montre une fois de plus qu'il est vain pour moi de tenter de communiquer avec toi. Ca n'est pas grave: j'aurais aimé avoir une réponse que je comprenne, mais je peux vivre sans et de manière tout-à-fait sereine (ne projette pas tes propres énervements sur tes interlocuteurs - je t'assure que, moi, ça va, je continuerai à penser que, contrairement à ce que tu dis, ce n'est pas "de première importance" d'avoir un espace topologique E égal à l'ensemble des applications continues de $E \to [0,1]$ et j'aurai tort, c'est tout).
Je ne demandais qu'à la donner, mais Alesha ne l'a rappelé qu'à son dernier post, et à son tout premier avant contestation. Quand il a "contesté" de mon manque de clarté, il a cité tout à fait autre chose, alors je ne pouvais pas savoir.
Ce que tu cites est un exemple que je signalais comme me semblant très désirable, et dont l'existence, si désirable selon moi, n'est possible qu'en l'absence de l'axiome de fondation. C'est tout. Car c'était le sujet abordé par les autres.
J'avais déjà ouvert un fil pour demander si quelqu'un se sentait capable d'en prouver l'inexistence, et enregistré la question sous un numéro dans "il est facile de".
Pour moi son intérêt c'est que:
1/ il réhabilité la théorie fondationnelle naturelle, avec les contradictions en moins et le prix à payer de remplacer vrai/faux par des éléments de $[0,1]$, qui est tout de même très familier à bcp de matheux
2/ il permet de faire des probabilités sans axiomes "ad hoc".
Maintenant peut-être que quelqu'un prouvera qu'il n'existe pas. Je n'en sais pas plus.
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Il existe un espace $E$ en bijection ensembliste avec $C^0 \left ( E,[0,1]\right )$. Il s'agit de $[0,1]$ lui-même muni de la topologie constituée de l'ensemble $\sigma$ des complémentaires des parties finies. Si $\tau$ désigne la topologie usuelle de $[0,1]$, alors toute application continue de $([0,1],\sigma)$ dans $([0,1],\tau)$ est constante (car $\tau$ est séparée et tout ouvert de $\sigma$ est dense).
Maintenant ce n'est pas l'égalité "en dur".
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Ca je suis d'accord, c'st bien pour ça que je parlais d'égalité "en dur", car qui dit égalité dit aussi égalité des topologies.
Par contre, je n'ai pas précisé la façon dont on induit la topologie sur $C^0(E,[0,1])$, car ça dépend suivant qu'on veuille $K,S$ (les combinateurs) dedans ou pas (autrement dit continus ou pas). Mais en tout l'idée est que $(f,x) \in E^2 \mapsto f(x)\in [0,1]$ doit être continuepour que ce soit sympa.
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Je ne demandais qu'à la donner, mais Alesha ne l'a rappelé qu'à son dernier post, et à son tout premier avant contestation. Quand il a "contesté" de mon manque de clarté, il a cité tout à fait autre chose, alors je ne pouvais pas savoir.
Bah voyons, c'est de ma faute maintenant... Je n'ai jamais cité tout-à-fait autre chose: c'est moi qui ai posé la question et dès ta première réponse j'ai dit que je ne comprenais rien; en fait, tu es juste en train d'avouer que, toi, tu as parlé de tout autre chose pour répondre à ma question! Tu vas effectivement finir par m'énerver.
Si Foys a compris ce qu'apporte l'égalité à la place de l'isomorphisme, peut-être voudra-t-il me l'expliquer?
Mais non, ce n'était pas pour t'énerver, mais tu as cité un autre passage qui m'avait emmené sur d'autres réponses (après ta première contestation).
Pour te répondre de manière cash sur l'isomorphisme vs l'identité, ok, essaie, en admettant un truc qui satisfait l'isomorphisme de fabriquer un truc qui marche avec $=$. Tu vas voir que ce n'est pas simple. On peut que dans certains cas, c'est impossible (peut-être pas sur cet exemple, je ne sais pas).
Par exemple la Vopenka conjectur est trivialement fausse si tu enlèves "à isomophisme près".
De manière générale, à peu de choses près, l'étude à isomophisme près tue toute profondeur infinitiste (donc dértuit toute les maths non finitistes), c'est un peu comme si tu voulais étudier les modèles dénombrables des théories uniquement sous l'angle de leur structure.
Dans l'exemple d'ultrafiltre que je t'ai donné, le plu s"incroyable" c'est que nous-même humains, ne nous posons pas de question fac à une suite de signes: on ne se demande pas si on a commencé à écrire près de la marge. On ne demande pas aux élèves de mettre leur cahier bien parallèle au bord de la table. On "lit" les choses rudimentaires à isomorphisme près, idem en théorie des graphes.
Donc un tel ultrafiltre "ne devrait pas exister", même sans axiome du choix. Je l'ai d'ailleurs construit en espérant obtenir une contradiction dans $ZF + CD+ $AD(\R)$, pas dans Peano :-D
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Non: je n'ai fait que citer ta réponse à ma question. Le problème, c'est que tes réponses ne cherchent pas à répondre aux questions de tes interlocuteurs et, ensuite, tu viens reprocher aux autres de changer de sujet.
Pour te répondre de manière cash sur l'isomorphisme vs l'identité, ok, essaie, en admettant un truc qui satisfait l'isomorphisme de fabriquer un truc qui marche avec =. Tu vas voir que ce n'est pas simple.
Ca ne répond pas à ma question. Au contraire, ça la justifie, et c'est d'ailleurs pour ça que je l'ai posée: on sait trouver $E$ en remplaçant iso par =, pourquoi serait-ce plus intéressant d'avoir =, qu'est-ce qu'on obtiendrait de mieux? Si le but est d'associer de manière continue à un couple $(f, x)$ un élément de $[0, 1]$, on peut le faire en utilisant l'isomorphisme.
Tu me "réponds": mais c'est dur d'avoir =. Oui, c'est ce que je dis, c'est dur d'avoir =, alors autant prendre iso. Et toi, au lieu de répéter "mais c'est dur d'avoir =", tu devrais dire "mais en ayant iso pour $E$ au lieu de =, on perdrait ..." quoi? Ceci étant dit, je sais que tu ne me répondras pas, car en fait tu ne me lis même pas (même si tu crois le faire). Par exemple, maintenant, je pourrais te dire que je ne comprends pas ce que tu dis à propos de Vopenka (qui est supposé répondre à ma question) et, plus tard, tu écrirais "c'est Alesha qui a commencé à parler de Vopenka, alors que, moi, je voulais parler de $E$".
c'est que tes réponses ne cherchent pas à répondre aux questions de tes interlocuteurs
Je te jure que si si !!!!! Que j'échoue est une chose, mais là, tu me fais un procès injuste. Je ne me suis logué pour strictement AUCUNE AUTRE CHOSE que pour te répondre à toi. Dans ce type de truc spécifique, je ne m'adresse pas "à la galerie", ce n'est pas du L2.
Ok, j'ai échoué.
"qu'est-ce qu'on perd?". Mais je n'ai fait que ça de te signaler "ce que j'ai pu". Mais tu n'as pas été sensible: je me répète, tu as une contradiction en 2 lignes avec $\forall n: P(u_{n+1})\subset u_n$, vu $\{ x\mid \forall n: x\in u_n \wedge x \notin x\} \in $ chaque $u_n$. En remplaçant les $=$ par $iso$, je t'avoue que je n'essaierai même pas de faire l'exo, mais c'est au moins 30 lignes. La différence, 28 lignes, c'est la perte. Mais tu n'as pas considéré ça comme une réponse "dans le sujet".
tu as une contradiction en 2 lignes avec $\forall n: P(u_{n+1})\subset u_n$, vu $\{ x\mid \forall n: x\in u_n \wedge x \notin x\} \in $ chaque $u_n$. En remplaçant les $=$ par $iso$, je t'avoue que je n'essaierai même pas de faire l'exo, mais c'est au moins 30 lignes. La différence, 28 lignes, c'est la perte. Mais tu n'as pas considéré ça comme une réponse "dans le sujet".
Non, c'est toi qui as considéré je parlais d'autre chose quand j'ai dit que je ne comprenais pas ce passage. Donc ce passage est bien supposé répondre à ma question à propos de $E$. D'accord, admettons (comme je l'ai admis la première fois). Je ne vois pas de $E$ ici. Comment le fait qu'on a une égalité pour $E$ versus on a un iso intervient ici. Où est-ce que $E$ intervient dans cet exercice?
En fait, ce n'est pas relié à $E$ car comme je te disais, sur $E$ je ne connais rien, je l'ai juste défini et envoyé comme "axiome" dans un fil.
C'était destiné à te faire remarquer à quel point des $=$ ont une forte différence avec des iso.
Concernant $E$: l'égalité pure et dure implique "potentiellement" des tas de choses qu'il faudrait penser à mettre dans une définition avec des isomorphismes.
Un exemple tout simple: le graphe dont l'ensemble des sommets est $\Z$ et où les arêtes vont de $n$ à $n+1$ a un "transitive collapse" qui renvoie un simple atome (un ensemble $a$ tel que $a=\{a\}$).
Dans le cas $E$, ses éléments ETANT les applications continues de $E$ dans $[0,1]$, par exemple, ils contiennent des couples, etc.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@Christophe : ton exemple ci-dessus de graphe isomorphe à un atome me fait fortement penser à la théorie des hyperensembles.
En gros, l'axiome d'anti-fondation dit que tout graphe admet une coloration (c'est-à-dire un ensemble qui en un certain sens modélise toutes les propriétés du graphe, je ne me souviens plus de la définition exacte), et de plus tout graphe admet une "réification", au sens où il existe un hyperensemble "canonique" qui, hyperensemblistement, désigne le même objet, mais plus simple, que ton graphe initial. J'ai oublié de préciser que dans cette théorie les flèches correspondent à la relation $\in$ dans un sens ou dans l'autre, ça dépend des ouvrages.
Et le plus marrant c'est que la réification de ton graphe $(\Z, \in)$ (qui ne pourrait pas exister en présence de AF), donne justement un atome. En fait, dans cette théorie particulière il n'y a qu'un seul atome.
A noter qu'il y a plusieurs variantes de cette théorie, obtenues en jonglant sur AFA. Dans l'une d'entre elles il existe une classe propre d'atomes.
Oui, t'inquiète je commence à savoir ce qu'est un transitive collapse.
Si je comprends bien, dans ZFC classique (avec AF), la relation doit être bien fondée et localement petite (set-like) pour admettre un transitive collapse, tandis que dans ZFC - AF +AFA il suffit qu'elle soit set-like, c'est ça ?
@Martial : Alain Badiou s'est inspiré des travaux de Joseph R. Shoenfield, que l'on trouve dans son livre intitulé "Mathematical logic". Lire la copie ci-jointe.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
@Titi : merci pour l'info. Ce que tu dis est très intéressant, dans la mesure où Badiou cite à de nombreuses reprises le livre de Kenneth Kunen : "Set Theory - An introduction to independance proofs". (Ça c'est dans L'être et l'évènement).
DDans L'Immanence des vérités il dit que ses 2 livres de chevet sont le Jech et le Kanamori (normal, pour les grands cardinaux), mais de mémoire nulle part il ne cite Joseph Shoenfield.
Je te propose ci-dessous un tout petit extrait du livre "L'être et l'évènement", page 526. Quant à Kenneth Kunen, il propose à la page 107 de son livre l'exercice (8) ci-joint : saurais-tu (ce n'est pas un test) proposer une démonstration pour prouver que $(a)\Leftrightarrow(b)$, s'il te plait ? Cela m'intéresse.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Réponses
Je ne suis pas tout à fait débutant en logique donc je vais rester sur le Dowek qui me convient aussi parce qu'il est concis.
J'ai vu ton petit post concernant un des blaireaux de Berlin. Cela m'a donné envie de préparer un fil dans la Rubrique Histoire des Maths. Mais c'est un gros boulot et je suis pas historien du tout. J'ai trouvé un joli texte ``Visions, Dreams and Mathematics'' de Barry Mazur que je suis en train de faire traduire.
Fin mode H.S.
Soit $E$ un espace topologique dont on suppose que tout ensemble totalement ordonné de fermés qui a une intersection vide contient l'ensemble vide.
Prouver que E est (quasi**)compact. Ca rejoint un fil de Martial récent d'ailleurs sur les stationnaires.
** tout recouvert ouvert contient un sous recouvrement fini (aucune séparation n'est demandée).
Je pense que tu fais plutôt allusion au fil "Fermés emboîtés" initié par elo dans la sous-forum Topologie, où raoul avait montré avec brio que, dans un espace métrique, si toute suite de fermés emboîtés non vides a une intersection non vide, alors tout fermé borné est compact.
Si je comprends bien, ton exo est une généralisation de ce truc, au sens où, comme on n'est plus dans le cas métrique, le dénombrable ne suffit plus, et il va falloir faire une récurrence transfinie sur la taille d'une famille de fermés dont l'intersection est vide. Parce qu'en plus la réciproque de BW est fausse, donc je suppose qu'il va aussi falloir dégainer un ultrafiltre.
La définition standard ne fait pas appel à l'axiome de fondation. En son absence, avec celle de Badiou, {x} = x est un ordinal.
Je ne me souviens plus des détails, la lecture de ce genre de livres fait un peu mal à la tête.
est une abréviation de
[large]$$X = \{Y\mid [Y\subset (X \cap P(Y))] \ \wedge \ [Y\neq X] \} $$[/large]
Aaaaah mais!!! (:P)
Et il n'y a pas d'axiome de fondation là dedans. Je rappelle que $[Transitif(X)]:= [X\subset P(X)]$
si j'ai choisi cette définition, c'est parce qu'elle appartient à "la grande famille" des définitions de la forme:
$x$ est platoniquement bleu := $x$ est l'ensemble de ses parties bleues, autres que lui-même.
Avec bleue = constante vraie, tu obtiens les valeurs de vérité $0$ et $1$
Avec bleue:= transitif, tu obtiens les ordinaux
Avec bleu:= fini, tu obtiens les ensembles héréditairement finis
On peut s'interroger sur l'utilité du "autre que lui-même". Parfois ça ne change rien. D'autres fois, ça tue tout.
L'axiome de fondation est d'ailleurs un grand ennemi dans ce contexte, car empêche d'exister des objets canoniques de première importance, comme:
Un espace topologique $E$ égal à l'ensemble des applications continues de $E\to E$
Un espace topologique $E$ égal à l'ensemble des applications continues de $E\to [0,1]$ (très intéressant celui-là)
Un espace vectoriel $E$ égal à $L(E,E)$
Un ensemble égal à l'ensemble de ses ultrafiltres
etc. Certains nécessitant qu'on ne suppose pas l'axiome du choix pour que ce soit marrant.
Un dernier exemple amusant. $E$ tel que $P(E)=\{z \mid \exists (x,y)\in E^2: z = x(y)\}$
Précision, j'utilise la notation $a(b) := \{t\mid (b,t)\in a\}$, ça évite les usines à gaz maladroites de parler d'ensembles de définition, etc
Tu devrais trouver ton bonheur dans un papier de Peter Aczel : "Non-Well-Founded Sets".
Je te laisse faire la recherche toi-même car je ne peux pas poster le fichier ici, il fait 34 Mo
@alesha, car il donne une représentation du rêve d'Antan de la théorie fondatrice universelle:
$$ \forall R\exists a: <<R==a>>$$
avec des contradictions qui n'apparaissent pas au premier abord. Par exemple l'élément $a$ tel que :
$$ \forall x: [a(x)=1-(x(x))]$$
ne fait que donner $a(a)=0.5$.
En outre les connecteurs y sont bien représentés, le "ou" étant le produit, le "vrai absolu" étant le $0$ et le "faux absolu" étant le $1$. Le "et" est $(x,y) \mapsto x+y-xy$ et $\forall xR(x):=$ la borne supérieure des $R(x)$ quand $x$ parcorut $E$. Etc
C'est surtout le problème "du choix". Il y a plein de truc qu'on voudrait des fonctions et qui ne le sont pas forcément de manière consistante. Par exemple la valeur de vérité de
$$\{x\mid x\notin x\} \in \{x\mid x\notin x\}$$
ce n'est pas $0.5$ ou quoi ou qu'est-ce.
C'est "à la fois" vrai et faux, c'est à dire que cette phrase est vraie tout comme elle est fausse.
De la même manière si tu essaies d'orienter un espace projectif de dim$>1$ ce n'est pas que "tu ne peux pas" (version officielle), c'est que tu as des doubles différents.
Une étude, qui hélas ne semble permise qu'aux gens entrainés depuis un certain temps à la théorie des ensembles ou théorie descriptive (même si ça revient un peu au même), qui est vraiment édifiante, c'est de jouer avec AD (l'axiome de détermination). Il a le sublime avantage de te montrer où les problèmes de choix se passent à un niveau très fin.
Par exemple sous AD, il n'existe aucun ordre total $\geq $ sur $\R^\N$ tel que pour toute suite $u$ et tout $a\in Image(u)$, la suite $(a+u)\geq u$, où je note juste $a+u$ la suite $n\mapsto $ if $n=0$ then $a$ else $u(n-1)$.
Je ne vois pas pourquoi si ça marche dans ton cas, ça ne marcherait pas si on a seulement un isomorphisme entre $E$ et l'espace des fonctions continues $E \to [0, 1]$: au lieu de $(x,y) \mapsto x+y-xy$, on pose $(x,y) \mapsto \varphi(x)+\varphi(y)-\varphi(x)\varphi(y)$.
Un exemple typique: tu prouves en 2 lignes qu'il n'existe pas de suites d'ensembles $u$ telle que
$$ \forall n: u_n \supset P(u_{n+1}) $$
Essaie de le faire aussi concisément avec juste "un isomorphisme", c'est à dire une injection de $P(u_{n+1})$ dans $u_n$.
Grace à toi, j'ai pu prouver l'équivalence complète:
$$ Extensionalite\iff Platonicisme $$
J'ai voulu te faire plaisir avec "le bon signe" implique, mais à chaque fois que je tape le mot "latex: multimap", je pense au cinquième élément, avec "multipass" :-D
J'espère que ce sera auto-contenu avec des définitions explicites. Par exemple, on y trouvera la définition de "platonicisme" mais pas d'expressions du genre ""un isomorphisme", c'est-à-dire une injection" qui n'ont aucun sens pour moi (elles en ont certainement pour toi - mais la possibilité d'une communication requiert un minimum d'intersubjectivité).
J'avais remplacé $P(u(n+1) ) \subset u(n)$ (inclusion : l'identité) par "il existe une injection de $P(u(n+1))$ dans $u(n)$", pour te signaler que c'était très différent. Apparemment ça t'a choqué, mais là, j'avoue un truc m'échappe.
Dans un article, au moins tu écriras "Définition: ... ", "Théorème: ...", "Preuve: ...".
Je te redemande ce qui te gène dans:
Déclaration de ma part:
Il y a une différence forte de difficulté à prouver que:
1/ il n'existe pas de suite $u$ telle que $\forall n\in \N: u_n \supset P(u_{n+1})$
2/ il n'existe pas de suite $u$ telle que $\forall n\in \N: card(u_n) \geq card( P(u_{n+1}) ) $
en abrégeant par $card(X) \geq card(Y)$ le fait qu'il existe une injection de $Y$ dans $X$.
Fin de déclaration
S'il s'agit bien de ce qui a déclenché ton découragement?
Mais pas de souci, sinon, je comprends que tu ne comprends pas. Je ne cherche pas à te presser.
Tu étais supposé répondre à ça:
Il n'y a même pas de $E$ dans ta réponse alors qu'on s'attendrait à voir un même énoncé facilement prouvable avec l'hypothèse: $E$ est égal à l'espace des fonctions continues $E \to [0, 1]$ (*) et difficilement prouvable (ou même non-prouvable) avec l'hypothèse: $E$ est isomorphe à l'espace des fonctions continues $E \to [0, 1]$ (**).
C'est pour dire que je ne te comprends même pas au niveau méta: mon problème n'est même pas de savoir si ce que tu affirmes est vrai ou non; c'est que, quand bien même ce serait vrai, je ne vois pas en quoi ça répondrait à la question.
Tu peux faire 40000 "déclarations" de 50 lignes, ça n'implique pas qu'il y ait un échange ou une communication.
PS. c'était juste pour en rajouter une couche (:D
Précision: je ne conteste pas ton courroux, j'essaie juste de te satisfaire:
A la citation de ta question, voilà très exactement comment j'ai commencé ma réponse:
puis j'ai enchainé avec l'exemple AUTRE de la suite des ensembles de parties, qui est au moins parlant lui.
Concernant les $E$ dont tu me parles, je ne sais rien, je ne sais même pas si c'st consistant. Donc que voulais-tu que je te réponde? Je t'ai répondu avec UN AUTRE EXEMPLE que je connais que prendre l'identité donne un truc "vraiment plus fort", pensant que ta question était "au fond est-ce si grave de remplacer l'identité par un isomorphisme?". Puis tu t'es énervé..
Je te donne ENCORE un autre exemple que ça n'a rien à voir de faire les choses avec des isomorphismes ou de les faire avec l'identité dès lors que le contenu mathématique devient profond. Je te dis bien que c'est UN AUTRE EXEMPLE, puisque sur mon $E$ je ne connais rien.
On ne suppose pas l'axiome du choix.
$T$ est l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation d'équivalence définie sur $A:=2^{\Z^2}$ pour $u,v$ par :
$$\exists p\in \Z \forall (x,y) \in \Z^2 : u(x,y) = u(x+p,y+p)$$
Il existe un ultrafiltre $W$ stable par intersections dénombrables sur $T$ tel que
1/ pour toute application $f$ de $T$ dans $\R$, il existe $a\in \R: \{c\in T\mid f(u)=a\} \in M$
2/ pour tout $a\in 2^\Z$, [l'ensemble des $u\in T$ tel que $\exists n\in \in \Z\forall p\in \Z: u(n,p)=a(p)$ ] est un élément de $W$
Autrement dit, tu as une relation binaire $R$ sur $\Z$, donnée presque explicitement, par exemple tu peux imaginer des cases, mais non numérotées, alignées comme le sont les éléments de $\Z$, et un graphe orienté dont les sommets sont ces cases. Evidemment si elle était donnée explicitement (c'est à dire si on avait numéroté la case $0$ en disant, "voici la case 0"), ce serait immédiatement contradictoire, mais elle est "essentiellement" donnée puisque on la connait à un shift près. Et pourtant, elle contient tous les réels, etc.
Bon, mais je ne veux pas t'énerver plus, je ne vais pas te redonner pluss d'exemples sauf si tu me le demandes.
[large]@Raoul: (tu) :-D[/large]
Pour éviter tout malentendu, je ne suis pas en train de la reposer: ton dernier message montre une fois de plus qu'il est vain pour moi de tenter de communiquer avec toi. Ca n'est pas grave: j'aurais aimé avoir une réponse que je comprenne, mais je peux vivre sans et de manière tout-à-fait sereine (ne projette pas tes propres énervements sur tes interlocuteurs - je t'assure que, moi, ça va, je continuerai à penser que, contrairement à ce que tu dis, ce n'est pas "de première importance" d'avoir un espace topologique E égal à l'ensemble des applications continues de $E \to [0,1]$ et j'aurai tort, c'est tout).
malgré plusieurs demandes.
Ce que tu cites est un exemple que je signalais comme me semblant très désirable, et dont l'existence, si désirable selon moi, n'est possible qu'en l'absence de l'axiome de fondation. C'est tout. Car c'était le sujet abordé par les autres.
J'avais déjà ouvert un fil pour demander si quelqu'un se sentait capable d'en prouver l'inexistence, et enregistré la question sous un numéro dans "il est facile de".
Pour moi son intérêt c'est que:
1/ il réhabilité la théorie fondationnelle naturelle, avec les contradictions en moins et le prix à payer de remplacer vrai/faux par des éléments de $[0,1]$, qui est tout de même très familier à bcp de matheux
2/ il permet de faire des probabilités sans axiomes "ad hoc".
Maintenant peut-être que quelqu'un prouvera qu'il n'existe pas. Je n'en sais pas plus.
Maintenant ce n'est pas l'égalité "en dur".
Par contre, je n'ai pas précisé la façon dont on induit la topologie sur $C^0(E,[0,1])$, car ça dépend suivant qu'on veuille $K,S$ (les combinateurs) dedans ou pas (autrement dit continus ou pas). Mais en tout l'idée est que $(f,x) \in E^2 \mapsto f(x)\in [0,1]$ doit être continuepour que ce soit sympa.
Bah voyons, c'est de ma faute maintenant... Je n'ai jamais cité tout-à-fait autre chose: c'est moi qui ai posé la question et dès ta première réponse j'ai dit que je ne comprenais rien; en fait, tu es juste en train d'avouer que, toi, tu as parlé de tout autre chose pour répondre à ma question! Tu vas effectivement finir par m'énerver.
Si Foys a compris ce qu'apporte l'égalité à la place de l'isomorphisme, peut-être voudra-t-il me l'expliquer?
Pour te répondre de manière cash sur l'isomorphisme vs l'identité, ok, essaie, en admettant un truc qui satisfait l'isomorphisme de fabriquer un truc qui marche avec $=$. Tu vas voir que ce n'est pas simple. On peut que dans certains cas, c'est impossible (peut-être pas sur cet exemple, je ne sais pas).
Par exemple la Vopenka conjectur est trivialement fausse si tu enlèves "à isomophisme près".
De manière générale, à peu de choses près, l'étude à isomophisme près tue toute profondeur infinitiste (donc dértuit toute les maths non finitistes), c'est un peu comme si tu voulais étudier les modèles dénombrables des théories uniquement sous l'angle de leur structure.
Dans l'exemple d'ultrafiltre que je t'ai donné, le plu s"incroyable" c'est que nous-même humains, ne nous posons pas de question fac à une suite de signes: on ne se demande pas si on a commencé à écrire près de la marge. On ne demande pas aux élèves de mettre leur cahier bien parallèle au bord de la table. On "lit" les choses rudimentaires à isomorphisme près, idem en théorie des graphes.
Donc un tel ultrafiltre "ne devrait pas exister", même sans axiome du choix. Je l'ai d'ailleurs construit en espérant obtenir une contradiction dans $ZF + CD+ $AD(\R)$, pas dans Peano :-D
Ca ne répond pas à ma question. Au contraire, ça la justifie, et c'est d'ailleurs pour ça que je l'ai posée: on sait trouver $E$ en remplaçant iso par =, pourquoi serait-ce plus intéressant d'avoir =, qu'est-ce qu'on obtiendrait de mieux? Si le but est d'associer de manière continue à un couple $(f, x)$ un élément de $[0, 1]$, on peut le faire en utilisant l'isomorphisme.
Tu me "réponds": mais c'est dur d'avoir =. Oui, c'est ce que je dis, c'est dur d'avoir =, alors autant prendre iso. Et toi, au lieu de répéter "mais c'est dur d'avoir =", tu devrais dire "mais en ayant iso pour $E$ au lieu de =, on perdrait ..." quoi? Ceci étant dit, je sais que tu ne me répondras pas, car en fait tu ne me lis même pas (même si tu crois le faire). Par exemple, maintenant, je pourrais te dire que je ne comprends pas ce que tu dis à propos de Vopenka (qui est supposé répondre à ma question) et, plus tard, tu écrirais "c'est Alesha qui a commencé à parler de Vopenka, alors que, moi, je voulais parler de $E$".
Je te jure que si si !!!!! Que j'échoue est une chose, mais là, tu me fais un procès injuste. Je ne me suis logué pour strictement AUCUNE AUTRE CHOSE que pour te répondre à toi. Dans ce type de truc spécifique, je ne m'adresse pas "à la galerie", ce n'est pas du L2.
Ok, j'ai échoué.
"qu'est-ce qu'on perd?". Mais je n'ai fait que ça de te signaler "ce que j'ai pu". Mais tu n'as pas été sensible: je me répète, tu as une contradiction en 2 lignes avec $\forall n: P(u_{n+1})\subset u_n$, vu $\{ x\mid \forall n: x\in u_n \wedge x \notin x\} \in $ chaque $u_n$. En remplaçant les $=$ par $iso$, je t'avoue que je n'essaierai même pas de faire l'exo, mais c'est au moins 30 lignes. La différence, 28 lignes, c'est la perte. Mais tu n'as pas considéré ça comme une réponse "dans le sujet".
Je ne l'ai pas dit formellement, mais je pensais avoir été clair sur ce point, mais ce ne sont pas des "définitions-théorèmes"
Non, c'est toi qui as considéré je parlais d'autre chose quand j'ai dit que je ne comprenais pas ce passage. Donc ce passage est bien supposé répondre à ma question à propos de $E$. D'accord, admettons (comme je l'ai admis la première fois). Je ne vois pas de $E$ ici. Comment le fait qu'on a une égalité pour $E$ versus on a un iso intervient ici. Où est-ce que $E$ intervient dans cet exercice?
C'était destiné à te faire remarquer à quel point des $=$ ont une forte différence avec des iso.
Concernant $E$: l'égalité pure et dure implique "potentiellement" des tas de choses qu'il faudrait penser à mettre dans une définition avec des isomorphismes.
Un exemple tout simple: le graphe dont l'ensemble des sommets est $\Z$ et où les arêtes vont de $n$ à $n+1$ a un "transitive collapse" qui renvoie un simple atome (un ensemble $a$ tel que $a=\{a\}$).
Dans le cas $E$, ses éléments ETANT les applications continues de $E$ dans $[0,1]$, par exemple, ils contiennent des couples, etc.
En gros, l'axiome d'anti-fondation dit que tout graphe admet une coloration (c'est-à-dire un ensemble qui en un certain sens modélise toutes les propriétés du graphe, je ne me souviens plus de la définition exacte), et de plus tout graphe admet une "réification", au sens où il existe un hyperensemble "canonique" qui, hyperensemblistement, désigne le même objet, mais plus simple, que ton graphe initial. J'ai oublié de préciser que dans cette théorie les flèches correspondent à la relation $\in$ dans un sens ou dans l'autre, ça dépend des ouvrages.
Et le plus marrant c'est que la réification de ton graphe $(\Z, \in)$ (qui ne pourrait pas exister en présence de AF), donne justement un atome. En fait, dans cette théorie particulière il n'y a qu'un seul atome.
A noter qu'il y a plusieurs variantes de cette théorie, obtenues en jonglant sur AFA. Dans l'une d'entre elles il existe une classe propre d'atomes.
L'axiome c'est c'est "tout a un transitive collapse"***. Unique ou pas, après, les goûts et les couleurs :-D
*** un transitive collapse de $(E,R)$ est une $\phi$ telle que
$$\forall x\in E: \phi(x) = \{\phi(y) \mid yRx \ et\ y\in E \}$$
Si je comprends bien, dans ZFC classique (avec AF), la relation doit être bien fondée et localement petite (set-like) pour admettre un transitive collapse, tandis que dans ZFC - AF +AFA il suffit qu'elle soit set-like, c'est ça ?
@Martial : Alain Badiou s'est inspiré des travaux de Joseph R. Shoenfield, que l'on trouve dans son livre intitulé "Mathematical logic". Lire la copie ci-jointe.
Bien cordialement,
Titi
DDans L'Immanence des vérités il dit que ses 2 livres de chevet sont le Jech et le Kanamori (normal, pour les grands cardinaux), mais de mémoire nulle part il ne cite Joseph Shoenfield.
Bon, je n'ai pas toute sa bibliographie en tête.
En tous cas merci
Je te propose ci-dessous un tout petit extrait du livre "L'être et l'évènement", page 526. Quant à Kenneth Kunen, il propose à la page 107 de son livre l'exercice (8) ci-joint : saurais-tu (ce n'est pas un test) proposer une démonstration pour prouver que $(a)\Leftrightarrow(b)$, s'il te plait ? Cela m'intéresse.
Amicalement,
Titi