Ordinaux, encore

@Titi : oui, effectivement. J'ai lu ces deux livres essentiellement dans les transports, et aussi au bistrot quand j'étais en avance pour le cours de Boban. Donc j'ai effectivement zappé des choses intéressantes.

Pour ton exo je vais y réfléchir, mais pas aujourd'hui car je suis invité à un barbecue "musclé" à 13 heures. Distance : 5 km environ, donc < 100 km, nombres de personnes : 7<10. Respect de la distanciation sociale. (Je dis ça au cas où la police traînerait sur ce forum).

Je suppose que $P$ c'est l'axiome des parties, c'est ça ?
Je ne vois pas bien l'intérêt de s'en priver, mais bon..

Par ailleurs, compte tenu du (c), je suppose que Kunen met l'axiome de fondation dans ZF ?
(Je dis ça parce que par exemple Krivine ne le met pas).

@Martial,
"(Je dis ça au cas où la police traînerait sur ce forum)"
Léger sentiment paranoïde, effet du confinement ? :-)

Oui, ZF - P c'est avec l'axiome de fondation et sans l'axiome des parties.

@Thierry POMA, avec ta permission et celle de Martial, je me permets de répondre à sa place :

Soit a un ordinal, et supposons $d \in c \in b \in a$. Comme a est transitif par définition, on a $c \in a$ et $ d \in a$. La relation $\in$ étant une relation d'ordre dans a, on a finalement $d \in b$ et tout élément de a est transitif.

Réciproquement, soit a un ensemble transitif dont tous les éléments sont transitifs.
Si l'on a trois éléments x, y, z de a avec $x \in y \in z$, on a $x \in z$ puisque z est transitif. Par ailleurs, on a $x \notin x$ sans quoi {x} contredirait AF. $\in$ est donc une relation d'ordre strict sur a. Soit p une partie de a non vide. Elle a un plus petit élément. C'est ce qu'exprime précisément AF. a est donc un ordinal.

GG m'a doublé (mais sans ma définition :-D )

Je complèterai après manger alors :-D

Bonjour chers matheux logiciens.
Depuis que j'ai découvert Badiou (fils de mon vénéré prof de math sup ) par le livre "le Nombre et les nombres" qui m'a fait connaître les nombres surréels de Conway, j'ai lu, avec grande difficulté, tous ses autres ouvrages où il traite peu ou prou de maths. Mais ma question est " pour vous, a-t-il les compétences nécessaires pour développer de tels sujets, ou bien est-ce un cas de philosophe qui outrepasse ses limites?
Merci à tous.
Cordialement.
Jean-Louis.

Pour CC, j'adore la musicalité de la définition "un ordinal est un ensemble transitif dont tous les éléments sont transitifs."

Christophe,

Comme tu le sais, $\mathfrak{a}\subset\mathfrak{P}(\mathfrak{a})$ indique de manière condensée que l'ensemble $\mathfrak{a}$ est transitif. Voudrais-tu être plus clair dans tes propos, plutôt que d'utiliser $\text{Machin}[a]$, voire $\text{Bidule}(a)$ qui ne veulent rien dire (pour moi !) ? Tu avais également promis une preuve, me semble-t-il. Mais ce n'est pas une obligation.

Amicalement,

Titi

@Thierry POMA,

1) On dit qu'un ensemble T est transitif lorsque l'une des trois propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

- pour tous x, y, on a $x \in y \in T \Rightarrow x \in T$
- pour tout x, on a $x \in T \Rightarrow x \subset T$
- $T \subset \mathcal P(T)$

2) On appelle ordinal un ensemble transitif bien ordonné (strictement) par $\in$.

3) On appelle B(adiou)-ordinal un ensemble transitif dont tous les éléments sont transitifs.

4) On appelle CC-ordinal un ensemble égal à l'ensemble de ses parties propres transitives.

5) Un ordinal A est un B-ordinal.

Supposons $d \in c \in b \in A$. Comme A est transitif par définition, on a $c \in A$ et $ d \in A$. La relation $\in$ étant une relation d'ordre dans A, on a finalement $d \in b$ et tout élément de A est transitif.

6) Un B-ordinal A est un ordinal (on suppose AF)

Il existe un ordinal hors de A, sans quoi la collection On serait un ensemble. Soit k le plus petit ordinal hors de A. C'est une partie de A. Posons D = A \ k. Je vais montrer que D = $\varnothing$, ce qui prouvera que A est l'ordinal k. Je suppose donc D non vide. D'après AF, D possède un élément p disjoint de D. La partie p de A, transitive, n'est formée que d'ordinaux, et est donc bien ordonnée par $\in$. C'est un ordinal, et en le comparant à k, comme $p \notin k$, on a $k = p $ $ ou $ $ k \in p$. Dans les deux cas on a $k \in A$, ce qui est absurde).

Voilà pour ta première requête. Si tu veux les preuves des énoncés suivants, fais-moi signe.

7) Un ordinal est un CC-ordinal.

8) Un CC-ordinal est un ordinal.

@Titi : je n'ai pas encore fait l'exo, il faut auparavant que je m'éclaircisse le cerveau, le barbecue était vraiment musclé.

@GG : c'était de l'humour, pas de la parano, oeuf corse.

@Christophe et Tous : Badiou est quelqu'un de réellement très fort. Il a été major à Ulm et à l'agreg de philo, mais en plus il a des connaissances très pointues en math, notamment dans le domaine de la théorie des ensembles. Pour info il était estimé et ami de Jean Dieudonné, qui n'est quand même pas tout à fait n'importe qui.

Ce qu'on peut lui reprocher c'est de se servir du forcing et des grands cardinaux pour justifier sa doctrine politico-philosophique, avec laquelle, je me répète, on a tout à fait le droit de ne pas être d'accord. Je n'ai relevé que 4 ou 5 erreurs minimes dans les 2 livres que j'ai lus***. Mais visiblement, il sait de quoi il parle.

*** Comme un imbécile j'ai oublié de prendre des notes sur ses rares erreurs. Il écrit notamment quelque part qu'on utilise la notation $p || q$ pour "$p$ et $q$ sont incompatibles", alors que c'est le contraire.
A ce propos je ne sais pas faire le symbole "orthogonal", pour dire "incompatible".

Salut Martial,
Tu veux écrire $p\perp q$ ?

Une autre métaphore:

- Les arithméticiens étudient les nombres premiers, certes espièglement répartis, mais "figés"

- Ces gens-là étudient "the random real" (celui où les 0 et les 1 sont disposés de telle façon, qu'on est "juste en dessous" de la frontière divine inaccessible 0=1, et où "le mouvement commence", c'est à dire où on ne peut plus vraiment dire que c'est figé, tout en l'étant bref.

- Pour ma part je cherche un moyen plus simple de le faire en ayant supprimé A=> (A+A) et en m'étant familiarisé avec la TQ. Je vis dans le même monde qu'eux du fait que si tu prends la plus petit phrase X telle que pour tout Y, si (Y+Y)=>X alors Y=>X, alors la TDE originelle donne une preuve de $X$, autrement dit, je vis dans un monde où $1$ est dans le nilradical de $(0)$. Sauf que je suis en bas (à côté de $0$, et j'ai supprimé le $1$ de l'anneau) et la dizaine d'experts, eux, sont partis de $1$ (ie de $0=1$ et descendent en rappel, et eux ont supprimé .. le $0$ :-D ).

Tout ça, ce sont des spécialités différentes. On ne passe pas de la brave philosophie (pour aller à Ulm, et majorer l'agreg de phil, il faut avoir perdu une grande partie de son temp sà étudier des auteurs de philo) à ces techniques hyper-cachées en écrivant des livres de métaphysiques.

Bonjour tout le monde,

@GG : je te remercie pour ton investissement. Ici, tu écris : "Soit k le plus petit ordinal hors de A. C'est une partie de A." La question est peut-être débile, mais pourquoi k est une partie de A ?

Amicalement,

Titi

Foys, tu as trop de préjugés sur moi. A cause de ça tu n'as pas lu la fin, et d'ailleurs tu ne la cites pas ce qui est révélateur.

D'une part, mon opinion est pas mal partagée en dehors même de la spécialités grands cardinaux, etc, d'autre part, ce qui est important c'est le "comment", que j'ai expliqué. Je recommence:

1/ Tu prends une contradiction, ie une preuve de Tout

2/ Tu la nettoies, l'adoucis, la remixes un peu en faisant intervenir des grands cardinaux aux bons endroits et tu as une preuve de $P$, avec des axiomes $A$, donc précisément une preuve de A=>P.

3/ Au niveau où on parle, évidemment tous les pros (à part ceux de mauvaise foi) diront que la personne a prouvé $P$, c'est tout.

4/ Moi, je pourrais, si j'étais malhonnête, un peu le faire, mais on me rembarrerait sur $A$.

5/ Martin, Steel, et évidemment Woodin, voire Shelah, on ne va pas les rembarrer sur $A$. Du côté Woodin, on enregistrera même immédiatement $A$ au rang des nouveaux axiomes.

6/ Il ne s'agit pas du tout de la même activité, ni de faire des comparaisons. C'est un peu comme si tu essayais de comparer une machin sans oracle et une machine avec oracle. J'ai eu un échange assez précis avec Woodin sur ce point-là, "tout le monde" sait que ZF est engagé avec l'ensemble des parties et du coup, une fois ça boosté, on "voyage" dans un paysage qu'on n'aurait probablement jamais soupçonné si on avait décidé historiquement que tout ordinal est dénombrable. Mais selon lui, tant mieux et non pas tant pis, car selon lui, "penser à l'intérieur" de $\omega_1$ est "trop monotone, ennuyeux".

7/ Ca ne veut pas dire que les gens qui raisonnent dans de gentilles théories consistantes ne sont pas forts. Au contraire, ils essaient, à la force du poignet de prouver des choses "vraiment sûres" en quelque sorte.

8/ Mais ce sont des communautés différentes. Et si je prends parfois un peu parti pour "mes pairs", c'est pour la raison suivante:

9.1/ Contrairement à ce qu'on croit, ces "montée" ou ces "fumages de moquette" en haut de la hiérarchie ordinale (ie de la hiérarchie de complexité), donnent des INFORMATIONS sur ce qui se passe en bas. Le seul prix à payer c'est qu'elles sont "moins sûres", mails elles EXPRIMENT des choses, à "au moins arbitrer". C'est là ma prise de parti. Et la seule.

9.2/ Exemple1: il y a deux manières de chercher une théorie faible (au sens dont on espère qu'elle soit "absolue"):

9.2.1/ La chercher "en haut", en montant, montant jusqu'à ce qu'elle entraine sa propre consistance (critère d'abosluité). Et faire un "tendre vers". Je pense que tu m'accorderas que le niveau de certitude obtenu ainsi est assez polémique

9.2.2/ La chercher "vers le bas", c'est à dire trouver une théorie si peu risquée qu'elle est capable de prouver sa propre consistance. Evidemment, elle sera tout autant contradictoire, par Godel, mais on l'aura cherchée explicitement faible. Et lors du cheminement aura croisée des phénomènes diophantiens explicites. C'est là où je suis plutôt "agacé" que les gens non connaisseurs mélangent trop "taille" et consistency-strength.

9.3/ Exemple2, que je t'ai déjà raconté:

Soit P:= je ne suis pas prouvable en moins de 10^10 étapes. Si le background est Peano, par exemple, on SAIT D'AVANCE sans rajouter d'axiomes que P est prouvable (certes en plus de 10^10 étapes, mais pas plus de $10^{10^{10}}$).

On peut donc se dire: bon là au moins autant, une fois prouvé que $P$ est prouvable en "peu" d'étapes, rajouter $P$ au système déductif. En effet, pour le coup, "on n'a rien ajouté", donc le cout est nul.

Or pourtant si tu le fais, tu obtiens une théorie contradictoire, bien évidemment (si tu l'implémentes complètement). Donc quel est ce mystère? Pourquoi on obtient 1 en ayant multiplié $0$ (a priori) par quelque chose de pas très grand?

Et bien la réponse est dans l'analyse pour le coup finitiste et fine de ce qu'on a fait. Elle vient du fait qu'on a prétendu que c'était rien de considérer que $10^{10^{10}}$ est fini, ce qui est bien évidemment "essentiellement faux", mais qu'on ne voyait pas quand on était dans notre petit confort traditionnel.

10/ Contrairement à ce que dit Girard, s'il a raison que la main d'oeuvre semble s'être terriblement étiolée, je n'entends plus jamais parler des spécialistes de ces questions (autrement dit l'époque où on avait des gens capables de te prouver que l'ordre sous le récursivement énumérable est dense et bordélique semble tristement relever de l'histoire, maintenant on a des gens qui font "de la théorie de la démonstration" (et surtout du surplace)) je pense qu'il a fait beaucoup de mal dans son livre où il dit que les considérations auto-référentielles sont je cite "une branche morte de la logique". Je pense que ce n'est pas vrai du tout

11/ D'ailleurs, j'y pense, le gars qui a tapé la preuve $NP\neq P$ suggérée par Woodin va peut-être et j'aimerais bien, apporter un beau camouflet à ce slogan, car il exécute en 3 pages $P\neq NP$ (95% du texte sont des commentaires pour se faire comprendre des non logiciens, mais en gros, il applique un trick woodinien assez typique (Woodin est maitre dans l'art de proposer des phrases $\exists \forall $ qui sont "vraies", alors que le reste du monde est plutôt branché sur les $\forall \exists$) au niveau 3 de la hiérarchie)

12/ Bref, il n'y a pas d'ordre total, même pas sur l'aisance à prouver des choses, quand les axiomes sont libres. C'était ça ma remarque. Elle n'est pas pour dévaloriser Woodin, mais encore moins pour que tu le crois encensé comme au dessis des autres dans ma bouche, loin de là mon idée. Je n'avais d'ailleurs même pas pris de précaution.

:-D :-D

Jean-Louis a écrit:

"Nous autres, post-modernes savons que l'Un n'est pas. En d'autres termes, la Nature n'existe pas." Ca doit être de la haute philosophie, mais j'avoue que la seconde phrase me laisse pantois. Si quelqu'un , par hasard....

Par hasard, ce poème d'Alberto Caeiro (Fernando Pessoa):

Num dia excessivamente nitido,
Dia em que dava a vontade de ter trabalhado muito
Para nelle não trabalhar nada,
Entrevi, como uma estrada por entre as arvores,
O que talvez seja o Grande Segredo,
Aquelle Grande Mysterio de que os poetas falsos fallam.

Vi que não ha Natureza,
Que Natureza não existe,
Que ha montes, valles, planicies,
Que ha arvores, flores, hervas,
Que ha rios e pedras,
Mas que não ha um todo a que isso pertença,
Que um conjuncto real e verdadeiro
É uma doença das nossas idéas.

A Natureza é partes sem um todo.
Isto é talvez o tal mysterio de que fallam.

Foi isto o que sem pensar nem parar,
Acertei que devia ser a verdade
Que todos andam a achar e que não acham,
E que só eu, porque a não fui achar, achei.

Par un jour excessivement clair,
Jour où perçait l’envie d’avoir beaucoup travaillé
Afin de ne pas travailler du tout en ce jour,
J’ai entrevu, comme une route entre les arbres,
Ce qui est peut-être le Grand Secret,
Le fameux grand Mystère dont les faux poètes parlent.

J’ai vu qu’il n’y a pas de Nature,
Que Nature n’existe pas,
Qu’il y a collines, vallées, plaines,
Qu’il y a arbres, fleurs, herbages,
Qu’il y a rivières et pierres,
Mais qu’il n’y a pas un tout à quoi tout ça appartiendrait,
Qu’un ensemble réel et véritable
Est une maladie de nos idées.

La Nature est parties sans un tout.
Voilà peut-être le mystère en question dont ils parlent.

Voilà ce que sans penser, en passant,
J’ai mis ma main au feu que ça devait être la vérité
Que tous se mettent en peine de trouver et qu’ils ne trouvent pas,
Et que moi seul, pour ne pas être allé la chercher, ai trouvée.

@GG : lol.

@gai requin : oui c'est ça, merci : $p \perp q$.

@Christophe : je sais que pour toi ce serait une torture absolue, mais le seul moyen de savoir si Badiou est un charlatan ou pas serait que tu lises les deux livres ci-dessus mentionnés. Et après tu pourrais nous donner un avis documenté.

A noter cependant qu'il est parfois énervant, il ne fait rien comme tout le monde (cf sa définition d'un ordinal). Et puis dans le forcing il utilise une lettre cabalistique illisible pour désigner le filtre générique, au lieu de l'apppeler $G$ comme tout un chacun sur cette planète...

@Christophe : il dit des choses classiques, ce qu'on sait concernant notamment HC, et en renvoyant à des références, essentiellement Kunen, et un peu Jech. Mais ce n'est pas en lisant ses ouvrages qu'un néophyte pourra piger le forcing.
Cette littérature s'adresse plus à des gens qui ont déjà une connaissance du sujet... ou alors à des philosophes "éclairés" qui veulent acquérir une connaissance intuitive du forcing.

Je ne sais pas si tu as raison ou pas, mais en tous cas j'aime beaucoup l'expression " il se tait bruyamment".

Bonsoir Homo Topi,

J'espère que tu vas bien. Je ne veux pas te laisser comme tu le décris. Voici deux documents écrits par un grand mathématicien : Le type "ensemble" - Une théorie des ensembles et ordinaux. Peut-être as tu son ouvrage, que je possède. Au vu des connaissances que tu as, je pense que tu peux passer au chapitre sur les ordinaux, qui est clair et dense.

Amicalement,

Titi

Bonjour Chaurien,

Le nom de l'auteur apparaît dans chacun des deux liens.

Cordialement,

Thierry

@Chaurien : en fait les deux chapitres postés par Titi sont des brouillons du livre de Patrick. Pendant plusieurs années il a laissé les chapitres 1 à 14 en libre téléchargement sur son site... jusqu'à la sortie du livre.

@GG, je ne sais pas, ce qu'il faut savoir sagissant de sujets généralement classés dans "la recherche", c'est que le suivisme est important. Donc "en public", tu verras peu de choses inédites sortir comme ça du jour au lendemain, parce que :

et d'une les chercheurs ne "travaillent pas" sur les définitions de base

et de deux ce sont les chercheurs qui en marge de leurs recherche assurent souvent les cours de M2, et donc ne modifieront une définition qu'en vue d'introduire un résultat profond d'initiation à la recherche, mais, pour ce qui est des ordinaux par exemple, ils récitent sans même y penser je pense.

Il ne faut pas oublier que je ne suis pas du tout chercheur, ai le temps, et surtout l'environnement "populaire" pour m'inviter à des "échanges dynamiques" (le forum, parfos les cours). Est-ce que sans le forum, je m'amuserais dans mon coin à chercher la bonne définition de ceci ou de cela, je n'en sais rien.

Je ne me rappelle même plus pour quelle raison, j'ai cherché à unifier les ordinaux avec les autres valeurs fondamentales et accouché de cette définition. Mais je suis sûr que c'était avec le forum en ligne de mire (ie informer de cette définition les gens qui y trainent).

On peut vivre sans ma définition, c'est juste qu'elle divise par 3 ou 4 les preuves et pointent la prenté avec la crise des fondements et les valeurs vrai/faux.

@ Martial
Merci pour cet éclaircissement.
Mais tout ça me laisse une curieuse impression de confusion.
Le concept d'ordinal ne date pas d'hier, ce me semble.
Alors quand je vois les pros de logique-ensemble-fondements qui se disputent encore sur le sujet et vont même jusqu'à faire appel à l'expertise d'un « philosophe » que toute sa sublime réflexion philosophique a conduit à encenser les Khmers rouges génocideurs, voici qui n'encourage guère un naïf tel que moi à s'engager dans cette étude.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Ben oui, de qui d'autre ? Et même si l'on oublie ce corollaire scandaleux de sa philosophie, il est tout à fait étrange d'aller chercher un philosophe pour décider de notions mathématiques, à la place de mathématiciens professionnels. Chacun son métier et les vaches seront bien gardées.
Mais bon, mon avis n'a pas grande importance et faites comme si je n'avais rien dit.
Moi ce que je voudrais c'est que toi, Christophe, tu écrives un traité qui présente tes idées d'une façon structurée.
J'irais même jusqu'à l'acheter au lieu de le pirater ;-).