Logique formelle
Bonjour !
Je suis étudiante en philosophie et j'ai un examen de logique formelle qui consiste en la résolution d'exercices, pour lundi prochain. Ce cours est aussi donné aux étudiants en mathématiques, et tous les philosophes qui assistent au cours comme moi galèrent royalement à comprendre.
J'ai réussi à répondre aux questions (a), (b), (c) et (d), (Concernant (b) et (c), j'ai trouvé que la formule était une tautologie) mais je bloque pour les suivantes. J'ai compris ce que le prof attend de moi pour les questions (e), (f) et (g), mais je n'y arrive pas du tout. L'examen porte surtout sur la compréhension plus que sur la capacité à faire la démarche seul(e), c'est pourquoi je voudrais de l'aide pour finir cet exercice (comme ça je pourrais certainement faire les suivants entièrement seule)...
Du coup, est-ce que quelqu'un ici saurait comment répondre à ces questions pour que je puisse mieux comprendre et m'entraîner pour les prochains exercices ? :-S
Merci d'avance !
Je suis étudiante en philosophie et j'ai un examen de logique formelle qui consiste en la résolution d'exercices, pour lundi prochain. Ce cours est aussi donné aux étudiants en mathématiques, et tous les philosophes qui assistent au cours comme moi galèrent royalement à comprendre.
J'ai réussi à répondre aux questions (a), (b), (c) et (d), (Concernant (b) et (c), j'ai trouvé que la formule était une tautologie) mais je bloque pour les suivantes. J'ai compris ce que le prof attend de moi pour les questions (e), (f) et (g), mais je n'y arrive pas du tout. L'examen porte surtout sur la compréhension plus que sur la capacité à faire la démarche seul(e), c'est pourquoi je voudrais de l'aide pour finir cet exercice (comme ça je pourrais certainement faire les suivants entièrement seule)...
Du coup, est-ce que quelqu'un ici saurait comment répondre à ces questions pour que je puisse mieux comprendre et m'entraîner pour les prochains exercices ? :-S
Merci d'avance !
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Réponses
Pour la question (f), je ne sais pas ce que sont les règles dérivées, ni le principe d'hypothèse; et "les axiomes" dépend de ce que vous avez vu en cours donc il faudra préciser.
Pour la question (g), il faudra préciser ce que veut dire "preuve axiomatique pure".
J'explique un peu pourquoi il faut préciser les définitions ici : en logique de base comme ici, il y a souvent 100000 manières de présenter les choses (en fait, une par enseignant.e en gros), et donc les noms utilisés etc. ne sont jamais les mêmes. On a de la chance puisque la logique de base, c'est "robuste", donc essentiellement toutes ces présentations sont équivalentes; mais néanmoins pour écrire l'équivalence il faut les détails, qui manquent ici.
entraine que
sans rien qui donne signe que le prof a conscience d'avoir choisi un théorème classique (mais..., je me tais), on peut dire que chaque virgule va compter pour toi.
Déjà es-tu convaincue que c'est vrai sans tables de vérité (parce que comme punition les TV, bonjour... ;-)
Pour la question (e), je vais encore chercher dans mon cours...
Pour la question (f), voilà ce que j'ai compris: Pour faire des déductions, on peut utiliser des "axiomes" pour faire des "preuves axiomatiques pures" OU utiliser ces axiomes combinés avec des "règles dérivées" (qui sont dérivées de ces "axiomes"). Ainsi, il me semble que la question (f) consiste à faire la déduction en utilisant les "axiomes" et leurs "règles dérivées".
Pour la question (e), je suppose donc qu'il faut reprendre la déduction de la question (f) en ne gardant que les "axiomes", soit en supprimant les "règles dérivées" : mais comment passer de l'un à l'autre ?
Dans le document joint, j'ai aussi mis un exemple que donne le prof, mais j'avoue que si je comprends théoriquement et globalement ce qu'il attend que je fasse, c'est très difficile à envisager quand on ne fait jamais de mathématiques !
J'espère que les logiciens patentés de ce forum pourront aider Camille dans cette douloureuse épreuve, mais si les mathématiques d'aujourd'hui c'est ça, je quitterai ce monde sans regret.
Ce passage ne contient pas plus de symboles que n'importe quel texte d'analyse. S'il y a des critiques à formuler elles ne portent pas sur ça (par exemple, AS3 et AS13 sont équivalents en supposant les autres axiomes dans le système retenu. Noter que ça n'invalide pas la construction)
Il y a eu des progrès énormes depuis la toute fin du 19ième siècle en logique et cette dernière n'a plus rien à voir avec ce qu'elle était aux autres époques que tu cites Chaurien. Le langage mathématique ainsi que la notion de preuve eux-mêmes sont l'objet d'une étude scientifique et en fait mathématique. On peut ne pas connaître mais dans ce cas mieux vaut s'abstenir de porter de tels jugements.
Certes, on eut pu souhaiter que ce soit moins long pour des étudiants en philosophie, mais les gens sont majeurs et vaccinés, ils ont le droit d'avoir, même étudiants de 20ans, d'avoir du recul.
ps: Je ne connais que la logique vue dans les première années avec les tables de vérité.
Tu as tout dit dans cette phrase. On peut comprendre théoriquement le vélo, mais avoir un prof qui vous dit "vas-y" c'est autre chose.
Bon la question e, n'a pas d'intérêt (en tout cas ne demande pas de manipulation)
Sinon, je te donne un truc général pour prouver FORMELLEMENT les choses, puis tu enlèves la pollution française et tu complètes.
Tu supposes [ non (A et ] et veux prouver [ (nonA) ou (nonB) ]
Que ferais-tu dans le vraie vie?
Un truc du genre, "si j'ai pas (nonA) ou (nonB), alors j'ai pas nonA et j'ai pas nonB"? Pas avoir nonA, c'est avoir A, idem pour B.
Déjà, j'ai utilisé "naturellement" une contraposée, il suffit de retrouver dans tes sigles du document où il est autorisé d'en faire une.
Donc tu peux tenter de compléter cette trame naturelle:
1/ Prouver $non((nonA) \vee (nonB))\vdash (A\wedge $
2/ Conclure
Ensuite, tu peux décortiquer (1):
(1.1) Où se trouve l'axiome qui dit $(non(X\vee Y)) \to (nonX)$
C'est en utilisant DEUX fois cet axiome que :
1.2/ Tu déduiras $non(nonA)$ de $non((nonA) \vee (nonB))$
1.3/ Tu déduiras $non(nonB)$ de $non((nonA) \vee (nonB))$
Voilà, je reste à ta dispo pour décortiquer plus.
Remarque: c'est un peu étrange que votre prof ait choisi ce théorème qui est classique et non intuitionniste, mais bon. Avec "non non = Identité", de toute façon ça passe comme une lettre à la poste.
Partie1
1/ non( nonA ou nonB)
2/ non non A (from 1)
3/ non non B (from 1)
4/ A (from 2)
5/ B (from 3)
6/ A et B from (4+5)
ABSTRACTION : [ non( nonA ou nonB)] => [ A et B]
Partie 2
1/ [ non( nonA ou nonB)] => [ A et B] (déjà prouvé)
2/ [non ( A et ] => non [ non( nonA ou nonB)] (from 1 + Axiome contraposée)
3/ (non [ non( nonA ou nonB)] ) => (nonA ou nonB) (from AxiomeNONNON)
4/ [non ( A et ] => (nonA ou nonB) (from 2+3+AxiomeTransImplique)
Remarque: j'ai eu la flemme, et j'ai mis "from axiome". Mais, regarde:
.
.
.
178/ A
179/ B (from axiome + 178)
.
.
.
peut se réécrire :
178/ A
179/ A=>B (axiome machin)
179/ B (from 178+179 par modus ponens)
par exemple.
- la formule est une des prémisses
- la formule est un des axiomes (par exemple AS8 ligne 3)
- la formule se déduit des précédentes à partir d'une des règles (par exemple ED ligne 5, appliquée aux lignes 2, 3 et 4)
Dans un système à la Hilbert classique (sans doute ce qui est appelé une "preuve axiomatique pure" dans le cours), la seule règle est le modus ponens. Ici, on a un certain nombre de règles dérivées, qui facilitent la rédaction d'une démonstration (car, on ne va pas se mentir, une "preuve axiomatique pure" est très pénible à lire !). En particulier la règle que le cours note PH est très pratique, car elle permet de poser une hypothèse B (HYP dans l'exemple), et si on dérive la formule C (ligne 6 de l'exemple), on peut en déduire la formule $B \rightarrow C$. Poser une hypothèse revient à ajouter une prémisse. Dans l'exemple, "+HYP2" signifie que la formule écrite se déduit de ce qui précède, mais avec la prémisse supplémentaire de l'hypothèse de la ligne 2. La règle PH (ligne 7) signifie en gros : sous l'hypothèse de la ligne 2 ($p \lor q$), on peut déduire la ligne 6 ($(q \lor p) \land r$), et par conséquent on a, sans hypothèse supplémentaire ("HYP2" n'est plus marqué) :
\[ p \lor q \rightarrow (( q \lor p) \land r) \]
L'important est surtout que Camille réagisse et partage ce que lui ont apporté nos interventions. Je suis bien conscient que je n'ai pas mis "le nez sur le document" pour lui décrire une disposition formelle de preuve, mais n'étant pas là juste pour faire les devoirs, mais pour essayer de lui apporter un petit déclic, ici une non matheuse à qui il s'agit de faire prendre conscience que formaliser c'est psychanalyser sa certitude et non "chercher des suites de signes inspirés par l'extérieur", l'interaction compte.
C'était aussi une réponse pour ceux qui, comme Chaurien, ne sont pas habitués à la logique formelle.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Je vais m'entraîner encore avec tous les éléments que vous m'avez donné en tête, et ça ira certainement beaucoup mieux !
Tout ça pour dire que vous m'avez bien aider à saisir ce en quoi consiste la logique et toutes ces démonstrations, merci beaucoup !
Enseigne-t-on le paradoxe de Russell en philo ?
Dieu peut-il construire une pierre qu'il ne peut pas soulever ?
Voilà tout ce que j'ai dans mon cours concernant le paradoxe de Russell. Le prof nous renvoie au livre "Histoire de la logique" de Jean-Pierre Belna si on veut approfondir.
[Inutile de recopier le dernier message. AD]