PFA et supercompact

Martial · May 2020

Bonsoir à tous,

J'ai vaguement compris pourquoi, contrairement à MA qui est consistant avec ZFC, PFA demande des propriétés plus fortes, pour pouvoir "réfléchir" sous $\aleph_1$, des propriétés que l'on sait prouver au-dessus.
Ce que je ne sais pas, c'est en quoi l'existence d'un supercompact entraîne ces propriétés de réflexion.

En clair, ce que je voudrais savoir c'est : quelles sont les propriétés de réflexion "par en dessous" que possède un supercompact ? Et quel lien avec PFA ?

Précision : je ne demande surtout pas une preuve alambiquée (à laquelle je ne comprendrais rien, de toutes façons), mais seulement des arguments heuristiques.

Précision n° 2 : j'ai regardé dans le Kanamori, mais pour moi c'est du chinois, et en plus il ne semble pas parler de réflexion.

Christophe, si tu traînes dans le quartier...

christophe c · May 2020

Je ne connais pas l'énoncé de PFA (si tu pouvais me le rappeler?). Je connais "mieux" (ou crois connaitre) celui de Martin Maximum*** qui est un peu plus fort.

Par contre le principe global est très simple et toujours le même:

1/ pour la consistance de l'axiome de Martin, tu peux prouver par avance que tu n'as qu'un petit nombre (un ensemble) de ccc-posets à regarder car les autres seront traités d'officie quand ces derniers seront traités.

2/ Pense aux espaces métrique compacts. Ca n'a rien à voir, mais il n'y en a qu'un petit nombre, tu as donc un espace qui contient tous les métriques compacts comme sous-espaces (à homéo près)

3/ Pour PFA et MM, c'est pareil, mais sous des hypothèses de grands cardinaux, et non pas juste avec les axiomes de ZF, c'est tout.

4/ Un exemple très simple aussi pour comprendre ce mécanisme de "pas au delà de", c'est la détermination analytique et les indiscernables: s'il y a un mesurable (ou un Ramsey), on voit très bien comment transformer le jeu en jeu ouvert (donc déterminé). Si ce qu'on fait avec les ordinaux d'un Ramsey, on le faisait avec les ordinaux d'un "banal k", et bien le jeu aurait un sens, il serait ouvert, mais il ne serait plus équivalent au jeu de départ.

5/ Le fait que les ordinaux soient indiscernables quand il y en a suffisamment permet que les ajouter à la partie jouée soit inoffensif.

*** il dit que sauf les posets pour lesquels il est TRIVIAL que c'est pas possible, tous les autres ont la propriété que pour toute famille de omega1 dense, il existe un filtre qui rencontre tous les éléments de cette famille.

Martial · May 2020

Un forcing propre est un forcing qui ne détruit pas la stationnarité.
En d'autres termes, $\mathbb{P}$ est propre si pour tout ensemble non dénombrable $X$ et pour tout stationnaire $S \subseteq [X]^{\leq \omega}$, $S$ reste stationnaire dans toute extension $\mathbb{P}$-générique.

PFA dit : "pour tout forcing propre et pour toute suite $(D_{\alpha} : \alpha < \omega_1)$ d'ensembles denses, il existe un filtre $G \subseteq \mathbb{P}$ qui rencontre tous les $D_{\alpha}$.
PFA dit donc la même chose que $MA_{\omega_1}$ en remplaçant "cad" par "propre". Et, comme tout poset cad est propre, PFA implique clairement $MA_{\omega_1}$, mais il est évidemment beaucoup plus fort.

Et le théorème auquel je fais allusion est le suivant : si $\kappa$ est supercompact, alors il existe une extension générique de l'univers dans laquelle $2^{\aleph_0} = \kappa = \aleph_2$ et qui satisfait PFA. En particulier, la consistance de ZFC + "il existe un supercompact" entraîne celle de ZFC + PFA + $2^{\aleph_0} = \aleph_2$.

J'ai compris que le problème est qu'il y a "beaucoup" de forcings propres, alors on a besoin, comme pour MA, de pouvoir se ramener aux forcings propres de cardinalité $\leq \aleph_1$. Pour MA ça marche tout seul dans ZFC, mais pour PFA on a besoin d'arguments de réflexion pour pouvoir "redescendre" à $\aleph_1$. Et soi-disant qu'un supercompact possède justement lesdites propriétés de réflexion.

Ma question précise est donc : quelles sont exactement les propriétés de réflexion que possède un supercompact ? Ce n'est expliqué clairement nulle part.

christophe c · May 2020

Merci pour la définition, effectivement, MM dit un poil plus car ne s'occupe que des stationnaires de $\omega_1$. Je crois que Boban a prouvé que PFA=> (continu = $\omega_2$).

Un supercompact a comme pouvoir de "réflexion" en gros que toute existence décrite avec des "il existe" et des" quelque soit bornés" survenant quelque part survient en dessous de lui. Il suit clairement que àa marche pour les forcing propres.

A noter qu'il y a tout de même (pour ce qui est uniquement de la réflexion) des cardinaux plus élégants que les supercompacts. Rien que les extendibles (tout extendible est supercompact) sont plus rigolos.

Martial · May 2020

Merci pour tes explications, pour l'instant cela me suffit. Si j'ai besoin j'essaierai de trouver le papier où ce truc est démontré.

Si c'est vraiment Boban qui a démontré ça c'est un scoop, car dans l'article de Baumgartner (qui apparemment a été écrit en 1978), c'est encore un pb ouvert, même si l'auteur pense sérieusement que c'est vrai.

Martial · May 2020

Il y a une caractérisation des supercompacts dans les termes suivants :

Pour $\theta \geq \kappa$, $\kappa$ est $\theta$-supercompact ssi il existe une mesure normale fine sur $\mathscr{P}_{\kappa}(\theta)$.

Ce que je ne rappelle jamais c'est qu'est-ce que c'est exactement que $\mathscr{P}_{\kappa}(\theta)$.
Est-ce que c'est l'ensemble des parties de $\theta$ de cardinal $\kappa$, ou bien l'ensemble des parties de cardinal $< \kappa$ ?

christophe c · May 2020

C'est le deuxième truc juste avant ton point d'interrogation. Avec le premier d'ailleurs, on aurait quelque chose de beaucoup plus fort modulo les aménagements adéquates, et de contradictoire si on va jusqu'à Kunen. Mais ne pas requérir que le cardinal "soit standard" (ie l'ultrafiltre considéré principal), c'st "plus gentil")

Martial · May 2020

OK, merci. C'est bien ce qui me semblait mais la notation varie d'un auteur à l'autre. Par exemple Patrick Dehornoy l'utilise pour le premier truc.

Perso, je préfère utiliser $[\theta]^{< \kappa}$, $[\theta]^{\kappa}$ et $[\theta]^{\leq \kappa}$, là au moins on sait de quoi on parle.

Martial · May 2020

Je reviens un instant sur MM.
Si j'ai bien compris la différence entre PFA et MM c'est que la conclusion est la même, mais dans PFA tu supposes que ton forcing préserve la stationnarité de tous les non dénombrables, alors que dans MM il ne préserve que la stationnarité des sous ensembles de $\omega_1$.
Et comme l'hypothèse dans MM est plus faible que dans PFA, c'est donc que l'axiome est plus fort.
C'est ça ?

Mais ce qui est bizarre c'est qu'au niveau de la consistency strength l'hypothèse de forte cardinalité adéquate est la même pour les deux (supercompacité).

Et puis ce qu'il y a de chiant avec PFA c'est qu'il faut travailler avec des stationnaires "à la Jech", c'est-à-dire avec des sous-ensembles de $[X]^{\leq \omega}$, où $|X| \geq \omega_1$. Et moi je suis pas à l'aise avec ces trucs, j'aimais bien les stationnaires de $\omega_1$, ou d'un $\kappa$ régulier quelconque.
Mais comme dit Boban, tout ça, c'est psychologique.

christophe c · May 2020

Oui, tu as compris. Mais de toute façon ces deux axiomes ne sont pas valables platoniquement parlant car entrainent "continu = omega2".

Ils sont trop engagés.

Je crois que c'était plus un jeu, de prouver leur consistance.

Et oui, le palier "supercompacité", qui est un palier $\exists \forall$ est très robuste. Ce n'est pas "si étonnant". Il entraine aussi la consitance de $AD(\R)$.

Remarque: je ne sais même pas si $ZFC\vdash (PFA\to MM)$ est un problème ouvert ou pas, je ne vois pas trop comment départager leurs conséquences sur les réels.

Martial · May 2020

Je suis d'accord que "continu = omega-2" est déprimant, presque autant que HC. Moi je milite plutôt pour "continu = le plus petit cardinal faiblement inaccessible".

$AD(\R)$ c'est quand les joueurs jouent des réels au lieu de jouer des entiers, c'est ça ?

Pour ta dernière conjecture je ne sais pas trop. Comme ça à vue de nez j'aurais plutôt l'impression que $PFA \not \rightarrow MM$, mais je peux me tromper.