Hiérarchie de Borel

@Saturne : Je n'avais pas vu le $\sigma$ et le $\delta$, et je pense que Christophe ne les a pas vus non plus.. Par contre j'ai bien vu qu'il fallait mettre $\xi +1$ dans le lemme 4. Du coup je me suis dit : "purée, mais tout est faux !".
Après j'ai lu la réaction de Christophe, qui disait : "purée, mais tout est faux !".
Après j'ai lu ton dernier post, qui a éclairé ma lanterne.


J'ai vraiment la flemme de décortiquer ta preuve (surtout qu'elle n'est pas facile à lire), mais j'imagine que l'idée est la bonne.

Je t'explique le coup des ordinaux limites (il n'y a pas besoin de connaître grand chose sur les ordinaux pour comprendre la hiérarchie borélienne) : tout est dans la définition 2) de Kechris. Comme il écrit un bouquin il essaye de raccourcir les définitions en les donnant de façon synthétique. Dans un cours présentiel pédagogique on t'expliquerait le passage aux ordinaux successeurs et le passage aux ordinaux limites.
Voilà ce que je te conseille : reprends la définition de Kechris et essaye de définir proprement les $\Pi_1^0$, les $\Delta_1^0$, les $\Sigma_2^0$, les $\Pi_2^0$ et les $\Delta_2^0$.
Ensuite essaye de faire de même avec les $\Sigma_{\omega}^0$, les $\Pi_{\omega}^0$ et les $\Delta_{\omega}^0$. Quand tu auras fait tout ça tu verras la différence entre l'étape successeur et l'étape limite.

@Max : tu as raison c'est la première fois que je vois cette définition donnée de façon aussi globale. C'est peut-être plus rapide à écrire, mais moins facile à comprendre pour le néophyte.

Saturne a écrit:

en fait c'est la 1ère fois que je fais des maths avec des ordinaux

Tout est là en fait, tu dois avoir le nez sur le guidon je pense (en plus avec les lettres grecques...).

La hiérarchie borélienne est spéciale et utilisée d'une façon très particulière (et pas du tout pour faire de la théorie de la mesure) en théorie descriptive des ensembles.

C'est ce qui explique cette hiérarchie qu'il faut voir comme une hiérarchie de formules et non d'ensembles.

Tu as des boréliens dont on peut décrire ce qu'il sont par une formule très compliquée ordinalement et qui sont .. l'ensemble vide.

Cette hiérarchie de formules te met juste un bon ordre, considéré comme naturel sur les formules:

D'abord les trucs simples, les ouverts
Ensuite leur complémentaire
Ensuite les unions dénombrables
Puis les complémentaires
Puis les unions dénombrables

and so on. On épuise théoriquement le tout à $\omega_1$ pour ce qui est de l'univers, c'est une notion relative à l'univers et à son $\omega_1$.

Les cas limite sont juste l'enregistrement de ce que tu as fait avant.

Si on veut éviter le passage aux complémentaires, et ça, en tant qu'expert en mesures, ça t'est familier, on

Départ (en mettant les complémentaires des atomes, donc les fermés)
Unions des
Intersections des
Unions des
Intersections des
Unions des
Intersections des


and so on.

C'est le truc le plus important de toute la science: l'irréductibilité de l'alternance de quantificateurs. Tu as la même chose, à peu près partout (pour les boréliens, l'indice est IN, mais c'est très conventionnel) :

Les Atomes
Les $\exists$
Les $\forall$
Les $\exists$
Les $\forall$
Les $\exists$
Les $\forall$

and so on

Tu remarqueras le côté arbitraire de mettre les $\forall$ après les $\exists$ de ma part, c'est une impolitesse grave. Du coup, tu rencontreras plutôt un dévot respect de la symétrie avec des trucs du genre:

and so on

Evidemment, comme toujours aux étapes limites, on prend tout ce qu'on a fait avant.

Je pense que c'est à ça que tu as affaire présentement par exemple.

Il est aussi possible par économie "un peu bizarre", certains auteurs "sautent" les étapes limites. Du coup, que font-ils?

Et bien :

and so on.

Bref, on a l'impression d'être décorateur d'intérieur en faisant ça :-D

Et c'est pas fini :-D Tu vas tomber sur les versions dites "light". C'est la même chose, mais "sans paramètre". Du coups les premiers ordinaux te donnent les complexités des formules arithmétiques. Et les célèbres théorèmes "à la Godel-Tarski-Turing-Church et cie" disent que l'ensemble des énoncés vrais en arithmétique est $\Delat^0_\omega$ par exemple.

Bref, si tu t'attend à "cerner" d'un coup ces hiérarchies de formules, tu risque d'être déçu. Par contre, elles t'indiquent la complexité d'une définition de borélien.. A défaut de cerner, on NOMME ;-)

Pour les lemmes etc, je t'ai répondu, c'est toujours le même principe d'élimination des "non" que l'on fait redescendre sur les atomes. Le dénombrable n'y est pour rien, ça vaut pour toute formule $\infty$-borel (c'est la même chose avec les ordinaux en indices à la place des entiers. Et de ce fait toute formule a ... une probabilité de survenir. C'est comme ça (moyen parmi d'autre) que l'univers tout entier "sent" et "commente" ce qu'il y a ... à l'extérieur de lui.

Par exemple, la probabilité nulle de la formule $$x\mapsto \cup_{a\in \R} \ [x=a]$$

signale aux mégalos que leurs réels sont "que dalle" à côté de tous ceux qui ne sont pas dans l'univers. Il n'en est pas moins vrai qu'elle désigne $\R$ en tant que borélien replatonisé à l'échelle de l'univers.

@max, nan, nan vous n'avez pas tort du tout, ni voyez des éléphants roses. Ces distinctions n'ont juste strictement aucune importance.

Il faut savoir :-D ça va te faire plaisir max, que les théoriciens descriptifs comme Kechris and co sont des microscopeurs: qu'entends-je par là?

Et bien ils essaient de tout comprendre jusqu'aux rouages les plus élémentaires. C'est la raison pour laquelle "la théorie descriptive" est "en partie" née, ayant comme point de départ, disons (je brode, mais ça donne le principe) le théorème de séparation des analytiques par des boréliens, avec une des plus belles preuves de tous les temps, mais très peu constructive, et la volonté de rendre cette preuve "complètement obsolète" par écrasement du mécanisme sous la compréhension ultime.

C'est ainsi qu'ont émergé des théorèmes comme"tout ensemble analytique qui ne contient que des parties bien ordonnées de $\Q$ est "pauvre" au sens qu'il existe un ordinal qui le borne toutes, etc.

Et de là, a émergé des auteurs mettant parfois des heures à rajouter une brindille de menthe, à faire réchauffer un plat 4.8 secondes, pour affiner, etc. D'où des définitions aux apparences parfois un peu "arbitraires". Alors qu'en réalité il s'agit d'une prévision pour faire sauter 2 étapes 514 étapes plus loin.

Ils "n'ont pas compris" (je trolle) que pour faire "vraiment ça", faut passer en logique affine (VOIRE LINEAIRE), et que leurs empilements de RPA infinistes de toute façon ne les amène qu'à des ordinaux qui gardent leur boite noire intacte.

@Steven: le théorème que tu signales se fait facilement avec ton expertise "théorie de la mesure". C'est vraiment le même genre d'arguments, qui ont toujours le même plan: "la plus petite classe machin a les propriétés trucs donc contient la plus petite classe qui a les propriétés trucs"

Ne te laisse pas impressionner par la prise d'espaces métriques "quelconques". La séparabilité ramène tout à $\R$.

Ah mince Max, j'ai oublié de prononcer le mot : ils essaient d'être constructifs :-D C'est involontaire!

Bon, je me déconnecte, donc, quand tu te réveilleras, tu trouveras les plans qui suivent, je me rattraper car j'ai l'impression de te parler de manière trop vague.

Tu peux prouver qu'une limite simple de fonctions boréliennes est boréliennes. C'est le côté "facile".

Soit $U$ un ouvert de l'espace d'arrivée, et surtout on considère que $U$ est la réunion d'une suite d'ouverts $U_n$ vérifiant $adh(U_n)\subset U$. Ca fait tout le charme de la théories descriptive ces précautions continuelles.

Chacun des $U_n$ a une image réciproque par les item de la suite borélienne. Maintenant look:

$(f(x) \in U) = $

$(\exists n: f(x)\in U_n) = $

$(\exists n \exists p\forall q>p: f_q(x)\in U_n) = $

$(\exists n \exists p\forall q>p: x\in A(q,n) )$

ce qui montre que l'image réciproque de tout ouvert par $f$ est borélien.

La réciproque est probablement une horreur absolue à cause de nos obsessions pour les fonctions qui apparaissent des objets "isolés".

L'espace d'arrivée étant séparable, on dispose de boule de centre un élément du dense dénombrable et de rayon rationnel. Je les appelle $B_n$.

Tu as une fonction borélienne $f$ de complexité minimum à être contre-exemple (cette notion de minimum, c'est ce que cherche Kechris à formaliser avec ses ordinaux)

Sa borélianité minimum te permet de savoir que pour chaque $x$ et chaque $n$, il y a une famille $p\mapsto A(n,p)$ d'ensembles de l'ensemble de départ, tels que $f^{-1}(B_n) = $ réunion des $A(n,p)$ quand $p$ parcourt $\N$. En outre les $A(n,p)$ sont de complexité suffisamment petite pour que tu puisse exiger la chose suivante:

J'associe à $x$ une suite de boules $C(x,n)$ de rayon $1/n$ qui contiennent $f(x)$, et une famille de $D(x,p,n)$ ensembles de complexité plus petite tels que $f^{-1}(C(x,n) = \cup_p D(x,n,p)$

J'ai une suite de fonctions "Baire" $g_n$ telles que pour tout $x$ et tout $n,p\leq n$, si $x\in D(x,n,p)$ alors $g_n(x)\in C(x,n)$

Cette $g$ existe car elle répond à moins d'exigences que $f$ qui existe.

Bon, c'est très bâclé, je te donne juste l'idée, la construction de $g_n$ requiert un peu plus de soin. Mais in fine, une fois que tu as ta suite de $g_n$, "Baires", elle converge simplement vers $f$ et c'est fini.