Siméon a parfaitement donné une formalisation sympa possible de l'énoncé (un peu vague à cause de "opérations numériques"), j'ai vu que tu as proposé une solution, mais elle est sur l'autre page, je vais aller la copier et revenir dans 3mn.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
gebrane écrivait:
> Si il s ' agit de la proposition de S que je
> salue, une solution bidon je remplace ?Par
$-x+(x-5)^2+5+(y-90)^2-y+ $
Tu écris "cc doit réagir", mais, je veux juste m'excuser, je serai peut-être peu dispo cette semaine.
Mais aussi, quelle difficulté as-tu pour demandre ça, tu proposes un truc, bin je vais le copier-coller à la place du "?", mais tu pourrais le faire toi-même non?
$\forall x,y\ dans\ \R : [(x -x+(x-5)^2+5+(y-90)^2-y+ y = 5)\iff ((x=0) \ ET \ (y=90))]$
voilà.
Je n'ai pas le temps de te dire si c'est vrai ou pas. Je effacé le "?" et mis ta proposition à la place, et si la phrase obtenue est vraie alors tu as gagnée (à l'exo6, après discute avec Siémon pour ses contraintes un peu plus fortes)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
désolé il y a une coquille dans ma proposition
$$\forall x,y\ dans\ \R : [(x -x+x^2+5+(y-90)^2-y+ y = 5)\iff ((x=0) \ ET \ (y=90))]$$
cc on dirait ta dyscalculie t'a empêché de voir ma coquille sur-le-champ :-) edit cette solution n'est pas valable avec les nouvelles exigences de Simeon utilisation seulement de +,-,0,...,9, x,y edit 2 après réflexion, je ne sais pas traiter la question avec les exigences de Simeon
Cher gebrane, tu peux essayer de démontrer que c'est impossible. Le cas des additions/soustractions est le plus simple. Quels x?y peut-on obtenir de cette manière ?
Quitte à modifier les constantes, le problème revient à chercher une fonction $f:\R^2\to\R$ telle que $f(0,0)=0$ et $f(x,y)\ne 0$ pour tout $(x,y)\ne (0,0)$.
Avec seulement des +, -
Pour a entier,
x?y=a $\iff$ (x,y) appartient à une droite (à coefficients dans Z). Puisque le graphe d'une droite n'est jamais réduit à un point . La reponse c'est impossible
N.B $\alpha x$ pour $\alpha $ dans Z et x un réel peut s'écrire sous forme d'une somme finie.
je laisse le cas des +,$\times$ pour Gai requin ;-)
Soit $P\in\R[X,Y]$ dont les coefficients sont des entiers naturels et tel que $P(0,90)=5$.
Soit $Q(Y)=P(0,Y)$.
Les coefficients de $Q$ sont des entiers naturels donc, si $\deg Q\geq 1$, $Q(90)\geq 90$.
Donc $Q$ est constant et $Q(0)=P(0,0)=5$...
après réflexion, je ne sais pas traiter la question avec les exigences de Simeon
Certes, mais même si ce fil, comme tu dis gebrane, pour toi, et OShine n'a pas vocation à y venir car risque de spoil, tu as dit que tu voulais"profiter comme lui" de sa "nature". Alors, bien que peu disponible (et stress extérieur), je te fais profiter de l'ADN du fil.
L'important n'est pas d'y arriver (pour TROUVER en maths, il faut beaucoup de temps, on l'oublie souvent), mais, quand on y est arrivé de s'apercevoir qu'on y est arrivé. Du coup je te signale que quand tu as trouvé (coquille mise à part), tu voulais tout de même que je vienne valider.
Je crois que tu es jeune, mais ça ne change rien, tu pouvais "revendiquer" la victoire (j'ai tout de même dû faire le copier-coller, geste que tu n'as pas fait), etc. C'est ça "l'autonomie scientifique". Ce que tu as "est devant toi", aucun implicite n'a droit de vie ou de mort sur le lecteur. Il peut y avoir des implicites, mais tu peux les "charrier".
Pour les exercices de Siméon, c'est pareil, si tu lui demandes la solution (et c'est tout à fait ton droit), tu te priveras "définitivement" de la trouver. Bon en maths il existe assez vite des milliards d'exercices possibles, donc ça va, mais plus on spécialise, plus tu risque d'être sur une "petite thématique" où le fait d'avoir été soulagé par quelqu'un d'autre te prive définitivement de tout espoir de savoir ce que tu AURAIS OBTENU EN TOI en cherchant longtemps.
L'avantage de ne pas être "fort ou inspiré" de manière immédiate et je parle bien d'AVANTAGE, c'est que tu explores plus longtemps le labyrinthe. L'inconvénient: tu en sors moins vite.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Mais qu'est ce que tu racontes cc en disant tu voulais tout de même que je vienne valider. Tu as compris de travers mon appel Cc doit réagirhttp://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2010316,2022066#msg-2022066. J'ai voulu de toi que tu expliques pour Oshine ce que tu sous entends par opérations numériques
Crois-tu vraiment que j'aurais besoin de cc pour valider un calcul de collège.
Puisque tu lis toujours en diagonale, tu n'as même pas vu que j'ai donné une solution à la question de Simeon .
Je croyais que ce fil était de discuter, tes exercices pour enlever des coquilles , les améliorer, critiquer aussi.... et pour moi était une occasion de réviser le langage mais bon . @gai requin belle preuve
je prends mes valises pour le fil d'analyse.:-D
Merci Simeon pour le temps consacré à nous. Je partage ta nouvelle question avec Gai Requin. Moi le +,- comme d'habitude:-D. Je vais regarder dans la journée.
Tu peux aussi si tu as le temps Cher Siemon enrichir la liste d'exercices de cc.
G1/ On est dans $\Z$, mais on n'a pas le droit de connaitre la multiplication. Par contre on dispose de $1$ et de $+$, pluss évidemment des lettres et des quantificateurs et mots logiques comme "implique", "et" etc.
Peut-on définir "être dans $\N$" avec ces données?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
46/ Prouver avec uniquement les bases du collège et sans Thalès que les points A,B,C étant alignés dans cet ordre, on a:
$$x_Ay_B=x_By_A$$
le plan ayant été supposé muni d'un repère orthonormé.
Je ne vois pas comment cette égalité peut être vraie sans faire appel au point C (il suffit de prendre par exemple $A = (1;2)$, $B = (7;0)$ et $C\in (AB)$ et c'est foutu).
@Tous: en fait ce n'est pas possible, donc, comme c'est pour gebrane, je le laisse avec un truc costaud à mettre KO (prouver que ce n'est pas possible).
@dom: certes, mais ce n'est pas donné comme possible d'office. Après tu obtiens des trucs en les prouvant à partir des hypothèses.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Pour l'exo G1 de cc je passe, ll ne définit pas les règles de jeu @Gai requin
Je passe le premier pour l'exo de Simeon version +, -
D’après le cahier de charge de Simeon $$x?y=\{P(x,y)=ax+by+c; a,b,c \in Z\}$$. On cherche ? pour que $$x?y=5\iff x=0\, \text {ou}\, y=90 $$
Pour avoir l'implication $$x=0\, \text {ou}\, y=90 \Longrightarrow x?y=5$$ on doit avoir
$P(0,y)=5\quad \forall y \quad$ ou $\quad P(x,90)=0 \quad \forall x$
c'est à dire
$by+c=5\quad \forall y \quad$ ou $\quad ax+90b+c=5 \quad \forall x$
c'est à dire
$P(x,y)=ax+5 \quad$ ou $\quad P(x,y)=b(y-90)+5$
Apres on voit qu'une CNS pour avoir l’équivalence est que
$$x?y=P(x,y)=ax+5, a\in Z^*\quad \text {ou}\quad P(x,y)=b(y-90)+5, b\in Z^*$$
Apres il est facile de chercher ? pour que
@Cere : Grosso modo, il s'agit de quantifier sur $\Z$ pour récupérer $\N$.
Par exemple, avec plus d'opérations que celles permises par cc,$$\forall n\in\Z,\ n\in\N\Leftrightarrow\exists (a,b,c,d)\in\Z^4,\ n=a^2+b^2+c^2+d^2.$$
@Siméon, je n'ai pas bien compris tes challenges. Est-ce qu'il s'agit, à partir des équivalences
x.x + (y-90)(y-90) + 5 = 5 <=> (x = 0 et y = 90)
x(y-90) + 5 = 5 <=> (x = 0 ou y = 90)
d'exprimer les premiers membres avec seulement des + et des -, ou alors seulement avec des x et des /, ou encore autre chose ?
Pas exactement : tu montres qu'il est possible de remplacer le point d'interrogation ? par une chaîne de caractères pris dans $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,y,+,-,\times,\div\}$ pour rendre vraie la proposition
\[
\boxed{\forall x\in\R,\forall y\in\R,\ (x?y = 5 \iff (x = 0 \text{ ET } y = 90)}
\]
De même pour la proposition
\[
\boxed{\forall x\in\R,\forall y\in\R,\ (x?y = 5 \iff (x = 0 \text{ OU } y = 90)}
\]
La question posée à gebrane : ceci est-il possible en disposant seulement des caractères $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,y,+,-\}$ ? seulement des caractères $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,y,+,\times\}$ ? Il ne s'agit pas de reconstituer forcément tes fonctions.
Challenge est un bien grand mot, j'ai juste proposé une variante naturelle de l'exercice de christophe. On peut en imaginer bien d'autres.
Gai Requin je ne suis pas d'accord avec ton interprétation du problème, si tu continues tes calculs , tu vas tomber sur un polynôme constant qui n'est pas solution. On cherche un polynôme en x,y de la forme ax+by+c qui soit identifié soit à la droite edit verticale x=0 ou la droite horizontale y=90
mais tu remarques bien que le problème admet des solution par exemple P(x,y)=ax+5
Pour l'exo G1 de cc je passe, ll ne définit pas les règles de jeu
Si tu préfères comme ça: existe-t-il une formule $R(x)$ du premier ordre à une variable libre $x$ du langage $L(\Z;+;1)$ telle que pour tout entier relatif $n: [n\in \mathbb{N} \iff R(n)]$?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
J'ai une question avant de répondre; d’après toi pas de solution?
Aussi de gebrane le schtroumf joyeux grognon à cc le schtroumf bavard ok la c'est bien formulé
J'ai une solution pour le nouveau problème $+,\times$ mais j'ai envie de te laisser la main.
C'est un bon exercice, pas trop difficile.
Ton défi : ne pas fumer tant que tu n'auras pas posté une solution correcte.
En attendant, je vais m'en griller une. :-D
De mon téléphone j'essaye G1.
Je l'écris en blanc comme si ce que j'écrivais était précieux haha ( edit: remis en noir)
Je définis $ 0 : x=0$ équivaut $x\in Z$ et $x+1 =1$.
$N : 0 \cup \{x+1 \in Z$ tq $x \in N\}$.
Il y a de grande chance que j'ai écrit n'importe quoi, je ne suis déjà vraiment pas sûr d'avoir saisi l'exercice.
Mais bon, soyez bienveillant envers moi 8-)
@Cere : tu as écrit n'importe quoi car tu ne peux pas utiliser $\N$ pour définir $\N$...
Voici une idée : une formule $P(x)$ de la forme $\exists y_1\cdots\exists y_n,\; ax=a_1y_1+\cdots+a_ny_n+b$ définit un singleton, ou l'ensemble vide, ou $\Z$, ou une classe de congruence.
Pour toutes parties finies $F,G,H$ et tout entier $n$, notons $A_{n,F,G,H}=\left(\{x\in\Z\mid \exists y\in F,\; x\equiv y\pmod{n}\}\setminus G\right)\cup H$. Disons qu'une partie $A$ de $\Z$ est bonne s'il existe $F,G,H,n$ telle que $A=A_{n,F,G,H}$. En utilisant le théorème des restes chinois, l'ensemble des parties bonnes de $\Z$ est stable par réunion, intersection et passage au complémentaire.
Je pense qu'une partie de $\Z$ est définissable avec les contraintes indiquées par cc si et seulement si elle est bonne. Si c'est vrai, on conclut en remarquant que $\N$ n'est pas bon.
Je viens de relire, c'est vrai que j'ai écrit nombre, donc on peut faire des divisions, donc la géométrie de l'espace ici engagée rend bien plus simple des solutions avec des nombres. Comme j'ai toujours fait une fixette sur le fait que c'est vrai dans tout anneau commutatif, j'ai un biais de préférence pour les raisonnements où on ne divise pas. Mais c'est effectivement très personnel.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@JLT
Exact, je voulais construire N par récurrence mais c'est tombé à l'eau. Je ne sais pas si il y a de quoi bidouiller.
Par contre; je ne vois pas pourquoi on pourrait utiliser les modulos? Puis tu utilise la multiplication non?
Gai requin, effectivement on démontre aussi que le polynôme est constant avec l'argument 90>0 et P à coefficients positifs ( on utilise que si une somme de positifs est nulle alors chaque terme de la somme est nul)
Si tu ne vois ce que je veux dire je peux donner les détails.
Simeon tu as posé un très bonne exercice, moralité de l'exercice dans le cas $+,\times$
Soit $P\in \mathbb R [X,Y]$ à coefficients positifs, $x_0$ et $y_0$ deux réels dont l'un est strictement positif . Si $y\to P(x_0,y)$ et $x\to P(x,y_0)$ sont des polynômes constants, alors le polynôme P est aussi constant
@JLT
Merci, tu m'as dispensé d'un KO prémédité par cc @Cere
Un amusement, si on te permet d'utiliser le symbole $\geq$ comment procèdes-tu ? mais attention interdiction d'utiliser 0 seulement des + et des 1
Je dispose de 3mn, je vais faire du racontage de life amusant, et narcissique et vantard, car j'ai un souvenir assez net (alors que j'ai oublié beaucoup d'autres choses). Ca va donner une indication de la forte puissance mathématique de JLT (dont j'ai lu la proposition de solution, mais par manque de dispo, suis pas encore capable de dire si ça marche)
1/ Comme je l'ai souvent raconté, je n'ai pas inventé les ultrafiltres directement vers 20ans. J'ai fumé la moquette en discutant de casino avec des gens (des potes de sorties nocturnes) et ai prouvé "hébété" que un tirage au sort d'une suite d"éléments de $E$ (supposé bien ordonné) donnait, en supposant des propriétés naturelles pour la proba:
et faisait donc de l'ensemble des $A\in E$ tels que $\Proba ( \{u \mid min_n(u_n) \in A \} )$ un truc fascinant qu'à l'époque j'ai appelé "vision" (au féminin, j'appelais ça "une vision"). J'en ai étudié les propriétés et j'ai trouvé ça vraiment excitant. Bref, je venais "quasiment" pour la première fois de ma vie de commencer à faire des maths (non parce que le système scolaire s'était crashé à l'époque, mais parce "moi" tout simplement, j'allais peu en classe, et quasiment jamais en maths).
2/ Après ce premier dégrossissement, je me suis rendu à la bibliothèque où siégaient comme seuls livres de logique ceux de Rolland Fraisse. C'est la toute première fois de ma vie que j'ai lu des maths (et en l'occurrence de la logique) après avoir lu, mais un peu en diagonale, je m'étais juste "humé" à l'odorat des Bourbaki du fait que maths = suites formelles de symboles avec règles strictes.
3/ A la fin des d'un des Fraisse, figurait un problème déclaré comme ouvert qui est (sauf erreur de mémoire) celui que j'ai posé en G1
4/ Je l'ai résolu aussitôt et me suis dit "rolalala, je vais peut-être gagner plein d'argent si je suis fort en maths comme ça". J'ai donc contacté un mathématicien, lui ai présenté ma solution, et bref, je ne vous raconte pas la suite.
5/ Ma solution était bien entendu que je construisais une ultrapuissance de $(\Z, + , 1)$ où j'envoyais les entiers positifs infinis sur des entiers négatifs par isomophisme, ce qui rendait $\N$ non définissable. Je me rappelle que j'avais galéré (dsycalculie) pour obtenir que $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ entre autre à cause des nombres impairs, etc :-D
6/ Vue la nature de l'exercice pour Oshine (définissabilité numérique de "et"), j'y ai repensé et embêté gebrane avec ce difficile problème G1
7/ Et je suis heureux de voir qu'en peu de temps JLT semble proposer une solution sans aucun ultrafiltre et ce qu'on appellerait aujourd'hui une approche constructive. (Mes "visions" (qui sont les ultrafiltres") vivent quand-même dans $P(P(E))$ )
8/ Voilà pour la petite histoire..... ça devait être vers 85-90 à la louche.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je te fais confiance sur le dernier problème $+,\times$. ;-)
Un principe de prolongement juste pour toi : Soit $P\in\R[X,Y]$ et $S,T$ des parties infinies de $\R$ telles que $P$ s'annule sur $S\times T$. Montrer que $P$ est nul.
Réponses
Pour aller plus loin : peut-on s'en sortir avec seulement + ou - ? Avec seulement + ou × ?
Exercice6: remplace le point d'interrogation par des opérations numériques pour garantir que :
$$\forall x,y\ dans\ \R : [(x?y = 5)\iff ((x=0) \ ET \ (y=90))]$$
Siméon a parfaitement donné une formalisation sympa possible de l'énoncé (un peu vague à cause de "opérations numériques"), j'ai vu que tu as proposé une solution, mais elle est sur l'autre page, je vais aller la copier et revenir dans 3mn.
> Si il s ' agit de la proposition de S que je
> salue, une solution bidon je remplace ?Par
$-x+(x-5)^2+5+(y-90)^2-y+ $
Tu écris "cc doit réagir", mais, je veux juste m'excuser, je serai peut-être peu dispo cette semaine.
Mais aussi, quelle difficulté as-tu pour demandre ça, tu proposes un truc, bin je vais le copier-coller à la place du "?", mais tu pourrais le faire toi-même non?
voilà.
Je n'ai pas le temps de te dire si c'est vrai ou pas. Je effacé le "?" et mis ta proposition à la place, et si la phrase obtenue est vraie alors tu as gagnée (à l'exo6, après discute avec Siémon pour ses contraintes un peu plus fortes)
$$\forall x,y\ dans\ \R : [(x -x+x^2+5+(y-90)^2-y+ y = 5)\iff ((x=0) \ ET \ (y=90))]$$
cc on dirait ta dyscalculie t'a empêché de voir ma coquille sur-le-champ :-)
edit cette solution n'est pas valable avec les nouvelles exigences de Simeon utilisation seulement de +,-,0,...,9, x,y
edit 2 après réflexion, je ne sais pas traiter la question avec les exigences de Simeon
Gebrane a choisi la fonction $f(x,y)=x^2+y^2$.
Avec seulement des +, -
Pour a entier,
x?y=a $\iff$ (x,y) appartient à une droite (à coefficients dans Z). Puisque le graphe d'une droite n'est jamais réduit à un point . La reponse c'est impossible
N.B $\alpha x$ pour $\alpha $ dans Z et x un réel peut s'écrire sous forme d'une somme finie.
je laisse le cas des +,$\times$ pour Gai requin ;-)
Soit $P\in\R[X,Y]$ dont les coefficients sont des entiers naturels et tel que $P(0,90)=5$.
Soit $Q(Y)=P(0,Y)$.
Les coefficients de $Q$ sont des entiers naturels donc, si $\deg Q\geq 1$, $Q(90)\geq 90$.
Donc $Q$ est constant et $Q(0)=P(0,0)=5$...
Certes, mais même si ce fil, comme tu dis gebrane, pour toi, et OShine n'a pas vocation à y venir car risque de spoil, tu as dit que tu voulais"profiter comme lui" de sa "nature". Alors, bien que peu disponible (et stress extérieur), je te fais profiter de l'ADN du fil.
L'important n'est pas d'y arriver (pour TROUVER en maths, il faut beaucoup de temps, on l'oublie souvent), mais, quand on y est arrivé de s'apercevoir qu'on y est arrivé. Du coup je te signale que quand tu as trouvé (coquille mise à part), tu voulais tout de même que je vienne valider.
Je crois que tu es jeune, mais ça ne change rien, tu pouvais "revendiquer" la victoire (j'ai tout de même dû faire le copier-coller, geste que tu n'as pas fait), etc. C'est ça "l'autonomie scientifique". Ce que tu as "est devant toi", aucun implicite n'a droit de vie ou de mort sur le lecteur. Il peut y avoir des implicites, mais tu peux les "charrier".
Pour les exercices de Siméon, c'est pareil, si tu lui demandes la solution (et c'est tout à fait ton droit), tu te priveras "définitivement" de la trouver. Bon en maths il existe assez vite des milliards d'exercices possibles, donc ça va, mais plus on spécialise, plus tu risque d'être sur une "petite thématique" où le fait d'avoir été soulagé par quelqu'un d'autre te prive définitivement de tout espoir de savoir ce que tu AURAIS OBTENU EN TOI en cherchant longtemps.
L'avantage de ne pas être "fort ou inspiré" de manière immédiate et je parle bien d'AVANTAGE, c'est que tu explores plus longtemps le labyrinthe. L'inconvénient: tu en sors moins vite.
Crois-tu vraiment que j'aurais besoin de cc pour valider un calcul de collège.
Puisque tu lis toujours en diagonale, tu n'as même pas vu que j'ai donné une solution à la question de Simeon .
Je croyais que ce fil était de discuter, tes exercices pour enlever des coquilles , les améliorer, critiquer aussi.... et pour moi était une occasion de réviser le langage mais bon .
@gai requin belle preuve
je prends mes valises pour le fil d'analyse.:-D
Si tu en veux encore, mêmes questions avec cette fois la CNS suivante : $(x = 0 \ OU\ y = 90)$.
Tu peux aussi si tu as le temps Cher Siemon enrichir la liste d'exercices de cc.
Je te laisse l'honneur de commencer. ;-)
x.x + (y-90)(y-90) + 5 = 5 <=> (x = 0 et y = 90)
x(y-90) + 5 = 5 <=> (x = 0 ou y = 90)
d'exprimer les premiers membres avec seulement des + et des -, ou alors seulement avec des x et des /, ou encore autre chose ?
G1/ On est dans $\Z$, mais on n'a pas le droit de connaitre la multiplication. Par contre on dispose de $1$ et de $+$, pluss évidemment des lettres et des quantificateurs et mots logiques comme "implique", "et" etc.
Peut-on définir "être dans $\N$" avec ces données?
Au point de vue de l’écriture c’est pratique.
Mais comment as-tu crée $\mathbb{Z}$ avant $N$ ?
Je ne vois pas comment cette égalité peut être vraie sans faire appel au point C (il suffit de prendre par exemple $A = (1;2)$, $B = (7;0)$ et $C\in (AB)$ et c'est foutu).
C'est louche mais j'ai l'impression que si c'est vrai alors $A = \mathbb Q$.
@cere: présentement je le suppose donné.
@Tous: en fait ce n'est pas possible, donc, comme c'est pour gebrane, je le laisse avec un truc costaud à mettre KO (prouver que ce n'est pas possible).
@dom: certes, mais ce n'est pas donné comme possible d'office. Après tu obtiens des trucs en les prouvant à partir des hypothèses.
@Gai requin
Je passe le premier pour l'exo de Simeon version +, -
D’après le cahier de charge de Simeon $$x?y=\{P(x,y)=ax+by+c; a,b,c \in Z\}$$. On cherche ? pour que $$x?y=5\iff x=0\, \text {ou}\, y=90 $$
Pour avoir l'implication $$x=0\, \text {ou}\, y=90 \Longrightarrow x?y=5$$ on doit avoir
$by+c=5\quad \forall y \quad$ ou $\quad ax+90b+c=5 \quad \forall x$
c'est à dire
$$x?y=P(x,y)=ax+5, a\in Z^*\quad \text {ou}\quad P(x,y)=b(y-90)+5, b\in Z^*$$
Apres il est facile de chercher ? pour que
Gai requin tu valides ?
Par exemple, avec plus d'opérations que celles permises par cc,$$\forall n\in\Z,\ n\in\N\Leftrightarrow\exists (a,b,c,d)\in\Z^4,\ n=a^2+b^2+c^2+d^2.$$
Pas exactement : tu montres qu'il est possible de remplacer le point d'interrogation ? par une chaîne de caractères pris dans $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,y,+,-,\times,\div\}$ pour rendre vraie la proposition
\[
\boxed{\forall x\in\R,\forall y\in\R,\ (x?y = 5 \iff (x = 0 \text{ ET } y = 90)}
\]
De même pour la proposition
\[
\boxed{\forall x\in\R,\forall y\in\R,\ (x?y = 5 \iff (x = 0 \text{ OU } y = 90)}
\]
La question posée à gebrane : ceci est-il possible en disposant seulement des caractères $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,y,+,-\}$ ? seulement des caractères $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,y,+,\times\}$ ? Il ne s'agit pas de reconstituer forcément tes fonctions.
Challenge est un bien grand mot, j'ai juste proposé une variante naturelle de l'exercice de christophe. On peut en imaginer bien d'autres.
mais tu remarques bien que le problème admet des solution par exemple P(x,y)=ax+5
Si tu préfères comme ça: existe-t-il une formule $R(x)$ du premier ordre à une variable libre $x$ du langage $L(\Z;+;1)$ telle que pour tout entier relatif $n: [n\in \mathbb{N} \iff R(n)]$?
Si $a\neq 0$, que vaut $P(1,90)$ ?
Aussi de gebrane le schtroumf joyeux grognon à cc le schtroumf bavard ok la c'est bien formulé
allé à toi maintenant :-D évite les étourderies
C'est un bon exercice, pas trop difficile.
Ton défi : ne pas fumer tant que tu n'auras pas posté une solution correcte.
En attendant, je vais m'en griller une. :-D
Je l'écris en blanc comme si ce que j'écrivais était précieux haha ( edit: remis en noir)
Je définis $ 0 : x=0$ équivaut $x\in Z$ et $x+1 =1$.
$N : 0 \cup \{x+1 \in Z$ tq $x \in N\}$.
Il y a de grande chance que j'ai écrit n'importe quoi, je ne suis déjà vraiment pas sûr d'avoir saisi l'exercice.
Mais bon, soyez bienveillant envers moi 8-)
Voici une idée : une formule $P(x)$ de la forme $\exists y_1\cdots\exists y_n,\; ax=a_1y_1+\cdots+a_ny_n+b$ définit un singleton, ou l'ensemble vide, ou $\Z$, ou une classe de congruence.
Pour toutes parties finies $F,G,H$ et tout entier $n$, notons $A_{n,F,G,H}=\left(\{x\in\Z\mid \exists y\in F,\; x\equiv y\pmod{n}\}\setminus G\right)\cup H$. Disons qu'une partie $A$ de $\Z$ est bonne s'il existe $F,G,H,n$ telle que $A=A_{n,F,G,H}$. En utilisant le théorème des restes chinois, l'ensemble des parties bonnes de $\Z$ est stable par réunion, intersection et passage au complémentaire.
Je pense qu'une partie de $\Z$ est définissable avec les contraintes indiquées par cc si et seulement si elle est bonne. Si c'est vrai, on conclut en remarquant que $\N$ n'est pas bon.
Je viens de relire, c'est vrai que j'ai écrit nombre, donc on peut faire des divisions, donc la géométrie de l'espace ici engagée rend bien plus simple des solutions avec des nombres. Comme j'ai toujours fait une fixette sur le fait que c'est vrai dans tout anneau commutatif, j'ai un biais de préférence pour les raisonnements où on ne divise pas. Mais c'est effectivement très personnel.
Exact, je voulais construire N par récurrence mais c'est tombé à l'eau. Je ne sais pas si il y a de quoi bidouiller.
Par contre; je ne vois pas pourquoi on pourrait utiliser les modulos? Puis tu utilise la multiplication non?
Je n'ai pas utilisé les multiplications. Par exemple, soit $A=\{x\in\Z\mid x\equiv 2\pmod{3}\}$. Alors
$$\forall x\in\Z,\; [x\in A\iff \exists y,\; x=y+y+y+1+1].$$
Si tu ne vois ce que je veux dire je peux donner les détails.
Simeon tu as posé un très bonne exercice, moralité de l'exercice dans le cas $+,\times$ Merci Simeon, un autre développement ?
Merci, tu m'as dispensé d'un KO prémédité par cc
@Cere
Un amusement, si on te permet d'utiliser le symbole $\geq$ comment procèdes-tu ? mais attention interdiction d'utiliser 0 seulement des + et des 1
1/ Comme je l'ai souvent raconté, je n'ai pas inventé les ultrafiltres directement vers 20ans. J'ai fumé la moquette en discutant de casino avec des gens (des potes de sorties nocturnes) et ai prouvé "hébété" que un tirage au sort d'une suite d"éléments de $E$ (supposé bien ordonné) donnait, en supposant des propriétés naturelles pour la proba:
$$ Proba( \{u\mid min_n (u(2n)) = min_n (u(2n+1)) \} ) = 1 $$
et faisait donc de l'ensemble des $A\in E$ tels que $\Proba ( \{u \mid min_n(u_n) \in A \} )$ un truc fascinant qu'à l'époque j'ai appelé "vision" (au féminin, j'appelais ça "une vision"). J'en ai étudié les propriétés et j'ai trouvé ça vraiment excitant. Bref, je venais "quasiment" pour la première fois de ma vie de commencer à faire des maths (non parce que le système scolaire s'était crashé à l'époque, mais parce "moi" tout simplement, j'allais peu en classe, et quasiment jamais en maths).
2/ Après ce premier dégrossissement, je me suis rendu à la bibliothèque où siégaient comme seuls livres de logique ceux de Rolland Fraisse. C'est la toute première fois de ma vie que j'ai lu des maths (et en l'occurrence de la logique) après avoir lu, mais un peu en diagonale, je m'étais juste "humé" à l'odorat des Bourbaki du fait que maths = suites formelles de symboles avec règles strictes.
3/ A la fin des d'un des Fraisse, figurait un problème déclaré comme ouvert qui est (sauf erreur de mémoire) celui que j'ai posé en G1
4/ Je l'ai résolu aussitôt et me suis dit "rolalala, je vais peut-être gagner plein d'argent si je suis fort en maths comme ça". J'ai donc contacté un mathématicien, lui ai présenté ma solution, et bref, je ne vous raconte pas la suite.
5/ Ma solution était bien entendu que je construisais une ultrapuissance de $(\Z, + , 1)$ où j'envoyais les entiers positifs infinis sur des entiers négatifs par isomophisme, ce qui rendait $\N$ non définissable. Je me rappelle que j'avais galéré (dsycalculie) pour obtenir que $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ entre autre à cause des nombres impairs, etc :-D
6/ Vue la nature de l'exercice pour Oshine (définissabilité numérique de "et"), j'y ai repensé et embêté gebrane avec ce difficile problème G1
7/ Et je suis heureux de voir qu'en peu de temps JLT semble proposer une solution sans aucun ultrafiltre et ce qu'on appellerait aujourd'hui une approche constructive. (Mes "visions" (qui sont les ultrafiltres") vivent quand-même dans $P(P(E))$ )
8/ Voilà pour la petite histoire..... ça devait être vers 85-90 à la louche.
Je te fais confiance sur le dernier problème $+,\times$. ;-)
Un principe de prolongement juste pour toi : Soit $P\in\R[X,Y]$ et $S,T$ des parties infinies de $\R$ telles que $P$ s'annule sur $S\times T$. Montrer que $P$ est nul.