Périphérie de "comprendre la logique"

Bravo à JLT (j'imagine qu'à calculer et latexifier ça a pris tout de même quelques minutes, j'ai voulu le faire à la main hier soir, puis une erreur de manip et post perdu m'a fait abandonner).

JLT exhibe formellement l'inspiration que j'évoquais par:



où on voit la connaissance du déterminant s'appliquer.

Je "me dois" de rappeler (car des curieux peuvent s'arracher les cheveux pour le coup) en quelques lignes une des preuves de ma vie que j'ai mis le plus de temps à trouver (j'ai longtemps conjecturé son existence sans la trouver). Elle prouve que dans tout anneau où $1\neq 0$, une matrice ayant $n+1$ lignes et $n$ colonnes a ses lignes liées (ou liables plutôt). Le déterminant n'étant pas supposé connu.

1/ Supposons que $f$ soit injective et linéaire de $A^{n+1} \to A^n$. Alors à partir de $f$ on peut construire $g$ injective et linéaire de $A^p$ dans $A^n$ pour tout $p$ en remarquant que

$$(x_1,..,x_{n+1}, y_1,..y_k) \mapsto (f_1(x), .. , f_n(x), y_1,..,y_k) $$

envoie $A^{n+1+k}$ dans $A^{n+k}$ permutant une récurrence en composant après avec une injection linéaire $A^{n+k}\to A^n$

2/ On peut donc supposer qu'il n'y a pas d'injection linéaire de $A^{n+1} \to A^n$ pour un entier $n$ sur qui on ne suppose rien de plus et prouver que ça entraine qu'il n'y en a pas non plus de $A^{2n+2} \to A^{n+1}$

3/ Soit donc une matrice $M$ ayant $2n+2$ lignes et $n+1$ colonnes avec coefs dans un anneau $A$.

4/ Soit $N$ la matrice composée des $n+1$ premières lignes de $M$ et de ses $n$ premières colonnes coupeées aux $n$ premières coordonnées. Soit $V$ un vecteur ligne ayant $n+1$ coordonnées non otutes nulles tel que $VN=0$.

5/ Soit $N_2$ la matrice $N$ à laquelle on joute la dernière colonne (coupée de 1 à $n+1$) de $M$.

6/ On obtient $Vn_2= (0,0,...,0,r)$

7/ Soit $J$ l'idéal des $x\in A$ tels que $rx=0$.

8/ On applique le même raisonnement à la "deuxième moitié basse de $M$", je la note $N_3$, mais dans l'anneau $A/J$, de sorte qu'on obtient un vecteur $W$ lignes avec au moins une coordonnée par dans $A\setminus J$ tel que toutes les coordonnées de $WN_3$ sont dans $J$ sauf éventuellement la dernière $s$.

9/ On met bout à bout les deux vecteurs $sV$ et $-rW$, et on obtient $U$ vecteur ligne non nul tel que $UM=0$.

10/ On peut noter l'impressionnante vitesse de croissance engendrée par ce raisonnement. (exponentielle, voire hyperexponentielle).



Comme autre argument (sans aucun déterminant), on en a un très rapide, mais ... utilisant LE LEMME DE ZORN (en apparence):

1/ On prend un idéal max $J$ tel que $A/J$ est exceptionnel

2/ On "constate" que $J$ est forcément premier

3/ On sait que c'est vrai pour les anneaux intègres dès le L1 (corps des fractions + multilpication par les dénominateurs)

4/ Contradiction, $A/J$ n'est pas exceptionnel.

Dans ce cas, le couple $(n,n+1)$ suffit, pas de croissance exponentielle