Périphérie de "comprendre la logique"

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Réponses

  • Une fois n'est pas coutume, je suis complètement d'accord avec Chaurien, je ne vois absolument pas comment un étudiant pourrait progresser avec cet assemblage d'exercices étranges, complètement artificiels, qui sont plus là pour montrer la maitrise des auteurs qu'autre chose.

    Si on veut progresser en logique mathématique de base, il n'y a pas 36000 solutions, il faut faire des gammes. Il y a plein d'exercices par exemple de début de prépa qui apprennent les "gestes de base" : manipulation des quantificateurs, négation d'une proposition logique, manipulation ensemblistes, etc.

    Par exemple http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/logique.html me parait être un excellent départ.
  • @ Cher brian
    Dans ta solution pourquoi tu joues aux devinettes si après tu poses la question après... c'est terminé, non?
    je rappelle, ce fil nous est destiné pour bavarder sans rien cacher
    Le 😄 Farceur


  • Cher gebrane, sur quoi voudrais-tu voir un éclaircissement : ce que j'ai caché sous des points de suspension ou la suite (la suite me paraît très simple par rapport au début, mais ce n'est peut-être pas une rédaction « logicien-compliant » que j'ai en tête ;-)) ?
  • brian Je ne veux aucun éclaircissement, je demande de remplir le vide de tes pointillés. :-D
    Le 😄 Farceur


  • Bonjour,

    Comme le dit Brian, $E$ étant fini, $E_x$ l'est aussi, et il suffit alors de choisir la première séquence extraite qui se mord la queue et la parcourir à l'envers.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Merci de ne pas troller le fil avec des cmmentaires ou des corrections. Vous disposez d'un autre fil associé au présent fil pour venir exposer vos égos ou autres.

    @chaurien dont je sais bie que lui ne vient pas exposer son ego, merci d'exprimer ton OPINION dans l'autre fil aussi. Même si ces événements te sont difficiles à comprendre, ce n'est pas la peine de les freiner.

    Je rappelle que contrairement à des préjugés répandus, dont on voit chaque jour l'échec*** (ce qui du même coup tend à faire s’interroger sur pourquoi ils persistent) en maths, la maîtrise de la langue mathématique est une condition nécessaire à l'aisance, qui ne s'acquiert ABSOLUMENT PAS avec la pratique mais qui s’acquiert complètement à part.

    Des gens, qui souvent ont travaillé dur, et ne veulent pas que leurs descendants travaillent moins, voudraient forcer un peu tout le monde à suivre le même parcours ""idiot" du "j'apprends à me battre sur le terrain de bataille", non parce qu'ils ont raisonné à leur position mais parce qu'il leur est insupportable, rien que l'idée qu'on puisse dépasser leur niveau en travaillant 10 fois moins.

    Bon, bin c'est la vie.

    L'alternative en 2020, vu le crash du secondaire ET EN GRANDE PARTIE du supérieur, c'est que si une personne n'a pas les idées claires et tentent, comme dans les années 90-2000 d'apprendre à se battre sur le terrain de bataille, elle meurt E PI C TOU

    Donc merci d'évacuer vos sentiments vers l'autre fil.

    *** si les docs habituels (comme ce qu'a mis héhéhé par exemple) marchaient ça se saurait depuis longtemps (et tout le monde serait matheux) et OShine en a lu plein, sans succès.


    [large]Je retire mes reproches, vu que vous étiez dans LE BON FIL? TOUTES MES EXCUSES!!![/large]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Exercice 33. Soit $E $ un ensemble fini et soit $f$ une application de $E$ dans $E$. Prouve qu'il existe une suite $(u_n)_{n \in \mathbb N } $ d'éléments de $E $ telle que pour tout entier naturel $n$ : $u_n=f(u_{n+1})$.

    Commentaire de Christophe : « Pour le 33 je ne te demande pas de rédiger une solution ni de la trouver, mais de partager tes émotions et ta recherche ». Poser un problème sans demander de le trouver, mais demander de « partager les émotions » (!) c'est du Grand N'importe Quoi. Ça ressemble à ce que dépeint et dénonce Ramon régulièrement et légitimement à propos des « activités » prônées par les pédagogistes.

    Bon, c'est tout de même un problème, moyennement intéressant. Pour aller dans le même sens que brian, disons que la suite des ensembles-images $(f^{n}(E))_{n \in \mathbb N^* }$ est décroissante pour l'inclusion, et comme ce sont des ensembles finis, cette suite est stationnaire. Il existe $p\in \mathbb N^*$ tel que tout $n \ge p$ vérifie : $f^{n}(E)=f^{p}(E)$. Soit $K:=f^{p}(E)$, non vide, qui est aussi : $\displaystyle K=\underset{n\in \mathbb{N}^{\ast }}{\bigcap }f^{n}(E)$.
    On a : $f(K)=K$, et l'application $f$ induit sur $K$ une application $g$ qui est une bijection de $K$. La suite $u_n$ vérifie : $u_0 \in K$ et $u_n=g^{-n}(u_0)$. Ceci démontre l'existence de la suite $u_n$ et donne toutes les suites $u_n$ qui conviennent. Du moins si je ne me suis pas trompé.

    La finitude de $E$ est essentielle. On pourrait penser par exemple à un énoncé analogue. Soit $F $ une partie compacte non vide d'un espace métrique $E$ et soit $f$ une application continue de $F$ dans $F$. Existe-t-il une suite $(u_n)_{n \in \mathbb N } $ d'éléments de $F$ telle que pour tout entier naturel $n$ : $u_n=f(u_{n+1})$ ?

    Bonne après-midi.
    Fr. Ch.
  • @gebrane

    Le vide de mes pointillés ? Comme tu y vas ! Je pourrais demander réparation, tu sais. :-D

    Bon. Soit $x$ un élément de $E$ (qu'il faut supposer non vide, sinon la propriété à démontrer est fausse). L'ensemble $E_x = \{ f^n(x), n\in \N \}$ est inclus dans $E$ (car $f$ est à valeurs dans $E$ et $x = f^0(x) \in E$), donc est fini. $\N$ étant infini, le principe des tiroirs (ou du pigeonnier...) nous assure qu'il existe $n_1$ et $n_2$ dans $\N$ avec $n_1 < n_2$ et $f^{n_1}(x) = f^{n_2}(x)$. Soit $A = \{n\in \N, n_1 < n \leqslant n_2 \text{ et } f^n(x) = f^{n_1}(x) \}$. $A$ est une partie non vide de $\N$ (elle contient $n_2$) ; elle admet donc un plus petit élément $n'$. On a $n_1 < n' \leqslant n_2$, $f^{n_1}(x) = f^{n'}(x)$ et les $f^{k}(x)$, avec $n_1 < k < n'$, sont tous distincts de $f^{n_1}(x)$, sinon $n'$ ne serait pas le plus petit élément de $A$. $f$ induit donc une permutation sur $F = \{ f^{n_1}(x), f^{n_1 + 1}(x), \dotsc, f^{n'-1}(x) \}$, à savoir le cycle $g = \begin{pmatrix} f^{n_1}(x) & f^{n_1 + 1}(x) & \cdots & f^{n'-1}(x)\end{pmatrix}$. $F$ est non vide et chacun de ses éléments a ainsi un unique antécédent par $f$ dans $F$ (éventuellement lui-même).

    On peut donc choisir un élément quelconque de $F$ et l'appeler $u_0$. Supposons que $u_0, \dotsc, u_n$ aient été définis pour un certain $n$ de $\N$ et posons $u_{n+1} = g^{-1}(u_n)$, de sorte que $f(u_{n+1}) = (f\circ g^{-1})(u_n) = u_n$. Par récurrence, ceci définit une suite répondant à la question. J'espère avoir dissipé tes doutes et éclairé ta lanterne, cher gebrane. ;-)
  • Pour la 33, quand on voit ce qu'OShine en a fait http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2003520,2020804#msg-2020804 il n'était pas si idiot de ne pas demander de le résoudre mais de partager ses réflexions...

    Voici une autre solution (en supposant $E$ non vide) :

    On choisit $y_0\in E$ et on définit par récurrence la suite $(y_n)_{n\in\N}$ par $y_{n+1}=f(y_n)$.

    Soit $E_n=\{a\in E^\N\mid \forall k=0,\ldots,n,\; a_k=f(a_{k+1})\}$. L'ensemble $E_n$ est non vide puisque toute suite telle que $a_k=y_{n+1-k}$ pour $0\leqslant k\leqslant n+1$ appartient à $E_n$.

    L'espace $E^\N$ muni de la topologie produit est compact, et les $E_n$ forment une suite de fermés emboîtés, donc leur intersection est non vide. Un élément $u$ de cette intersection répond à la question.

    On remarquera que la démonstration se généralise au cas d'un espace compact non vide $E$ et d'une application continue $f$.
  • Cher brian merci

    Le pauvre gebrane comme la nature, a horreur du vide. Tu as dissipé mes doutes.
    Ton idée des itérées de f est brillante Cher brian

    D'autres méthodes pour d'autres intervenants?

    edit message envoyé avant de voir le post de JLT
    Le 😄 Farceur


  • On peut aussi le montrer par récurrence sur $n=\mathrm{Card}(E)\geq 1$ en remarquant que soit $f$ est bijective, soit il existe $x\in E$ tel que $f$ induise une application de $E\setminus\{x\}$ dans lui-même (prendre $x\notin\mathrm{Im}(f)$).
  • Chaurien a écrit:
    Commentaire de Christophe : « Pour le 33 je ne te demande pas de rédiger une solution ni de la trouver, mais de partager tes émotions et ta recherche ». Poser un problème sans demander de le trouver, mais demander de « partager les émotions » (!) c'est du Grand N'importe Quoi. Ça ressemble à ce que dépeint et dénonce Ramon régulièrement et légitimement à propos des « activités » prônées par les pédagogistes.

    Tu vois, tu es pris en flagrant délit de prisme déformant à cause de l'idéologie :-D

    Au point d'en arriver à confondre un de mes propos avec ce que dénonce Ramon, il fallait y aller.

    Je suis assez étonné de ta "perception" des choses, car on pourrait imaginer que "tu refuses" de voir ou d'entendre certaines choses dans l'objectif de rester ferme et d'assumer une idéologie (ce dont tu ne te caches pas).

    Alors qu'en fait ce n'est pas un refus, c'est réellement un "non-vu". Et tu n'es pas le seul que j'ai observé ces derniers mois où "la lecture idéologique" conduit à une perception ou bien de choses non ou peu présentes dans un truc ou bien à une absence totale de perception d'un truc pourtant super bien visible par les autres (dans un truc).

    Mais, mais, mais, c'était "bien à gauche" que je l'ai le plus vu, on va dire que tu viens équilibrer les camps (je n'ai pas fait de comptabilité non plus :-D )

    Sur le plan mathématique, je rappelle que pour toute suite $f$ de fonctions continues telle que pour tout n: $f(n)$ va du quasicompact $E(n+1)$ dans le quasicompact $E(n)$, il existe une suite $u$ telle que pour tout $n: u(n)\in E(n)$ et $u(n)=f(n)(u(n+1))$.

    Il n'y a pas ici de quoi "nourrir" énormément les intervenants "habituels" du forum, avides de choses "dures et excitantes". Ma phrase totalement non mathématique à OShine est une simple remarque pour lui dire que même s'il n'y parvient pas, il peut poster. C'est un contexte, un forum, 2 personnes. Transposer ça à la politique éducative du pays, faut y aller fort. Devrais-je penser à Ramon la prochaine foi que j'aurai la chance de vivre des ébats sexuels torrides, au risque de laisser aller, sinon, quelques propos partageant 3 mots communs avec un discours pédagogistes :-D ?

    Si les solutions exploitant la périodicité sont valides, elles n'en sont pas moins artificielles, ainsi que ta solution Chaurien et ne reposent que sur le fait que j'ai juste "oublié" d'indicer les $E_n$. Si j'avais été moins vite, j'aurais "évidemment" posé:

    Pour chaque entier $n$, soit $E_n$ un ensemble fini, et non vide, et $f_n: E_{n+1} \to E_n$. Prouver l'existence d'une suite $u$ telle que pour tout $n : u_n = f_n(u_{n+1})$ et $u_n\in E_n$.

    Même si on est dans le bon fli périphérique, il me semble que les critiques trop gratuites (et même pas gratuites) ne sont pas trop acceptables, car elles peuvent inutilement "décourager" OShine (qui peut sans le dire, peut-être lire en diagonale) de s'intéresser. Or c'est tout de même le seul endroit du forum où il est un peu forcé de faire des maths sans simuler.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Pour les autres intervenants que OShine (qui heuresement ne semble pas venir sur ce fil), je vous conseille de prouver l'affirmation que j'ai mise en violette SANS REGARDER LA CORRECTION DE JLT.

    Quitte à "jouer", jouer avec un vrai ballon, je pense que ça vous sera profitable (éet évitera les commentaires trop spontanés.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Qu'on me comprenne bien, j'ai une véritable sympathie pour Christophe. Je pense qu'il est un brillant logicien et devrait se consacrer à créer une œuvre personnelle dans ce domaine, ce que personne ne peut faire à sa place. Un travail d'aide-soignant pour traiter un cas désespéré me semble du temps perdu pour lui : c'était le sens de ma remarque. Elle peut s'appliquer à d'autres membres de ce forum, dont le niveau remarquable peut s'employer mieux que dans une cause perdue.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • cc dans l'exercice 36 il y a une redondance : si g est une primitive blabla sur R alors automatiquement exp(g) est dérivable sur R.
    D’après ton exercice toute fonction continue sur R vérifie : $f(50) - f(5) + 10^{50-5}\geq 0$
    Une coquille dans l’énoncé?
    Le 😄 Farceur


  • chaurien a écrit:
    Un travail d'aide-soignant pour traiter un cas désespéré me semble du temps perdu pour lui :

    Notre désaccord tient au fait que selon moi ce n'est pas une cause perdue du tout. Je pense avoir détecté des capacités réelles et un emmagasinement réel d'infos, un peu comme un disque dur, sans OS. Il reste l'OS (et ça tombe bien ce sont ses initiales).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @chaurien : sorry je n'ai pas eu le courage de lire tout ce fil, et je n'ai pas compris cette histoire d'aide-soignant.
    Tu veux dire que Christophe se propose d'être l'aide-soignant de OShine alors qu'il pourrait être son grand professeur chirurgien, c'est ça ?
  • @ cc J'ai dit que ton exercice 36 est faux et aucun retour de ta part. (td)

    Pour l'exercice 33, le seul raisonnement accessible à Oshine est celui de Gai requin(tu) basé sur une récurrence sur le nombre d’éléments de E
    Le 😄 Farceur


  • Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci cc pour le retour. Je bouillonne pour tempérer l' exercice à oshine
    J'aimerai que tu regardes cet énigme http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2006748,2026680#msg-2026680. On cherche le nombre d’étapes minimale . Parfois tu vois des choses qu'un simple mortel ne croit même pas à leurs existences. Ton génie te suggère quoi comme façon de réfléchir
    Le 😄 Farceur


  • gebrane a écrit:
    Parfois tu vois des choses qu'un simple mortel ne croit même pas à leurs existences.

    Euuu je ne pas le souvenir d'avoir souvent vu des choses dans le domaine des tours de Hanoi, etc :-D

    Ca ne correspond pas du tout à ma sensibilité ou mes "cordes d'arc" on va dire ... Je suis un mathématicien moyen disposant d'une sorte d'extra-lucidité philosophique que je ré-importe (sporadiquement) vers le formel, et je serais étonné que les tours de Hanoi ait un "gros message" philosophique à faire passer :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • cc ton exercice 31 est très marrant :-D
    Si je pars du principe qu'un nombre ne peut pas parler à lui même, ma réponse est un non!. Sauf si ce nombre est fou à lier nul :-D
    Le 😄 Farceur


  • Je crois que j'ai sauté sur une mine à l' exercice 31 que cc a bien placé . Car ces nombres en question peuvent vivre dans l 'anneau Z/4Z.
    Le 😄 Farceur


  • Aussi comme Oshine, je ne comprends pas l'exercice 49 (:P)
    Si je prends $A=\{1\}$ !?
    Le 😄 Farceur


  • Salut gebrane,

    Il fallait lire "Prouver qu'il existe $e\in\Q$,..." !
  • Gai Requin
    Donc cc s'amuse à proposer des énoncés faux, que Oshine doit corrger d 'abord
    Le 😄 Farceur


  • @JLT,
    A propos de la propriété "Pour tout anneau A et tout n > 0, le A-module An ne contient aucun système libre à n+1 éléments", j'ai vu que Bourbaki la reléguait dans les exercices : Algèbre, ch. II, parag. 1, ex. 18, lequel s'appuie sur l'ex. 16 dont voici le début de l'énoncé :

    Soit A un anneau tel qu'il existe un A-module M ayant un système de n générateurs, mais contenant un système libre de n+1 éléments.
    a) Montrer qu'il existe dans An un système libre de n+1 éléments.
    b) En déduire qu'il existe dans M un système libre infini (construire un tel système par récurrence en utilisant a)).
    c) ...

    Le a) est facile, mais je bute sur le b). J'arrive seulement à montrer que A est infini. J'ai pris ensuite le cas le plus simple, à savoir A pour le A-module M et n = 1 pour voir ce qui se passait. On a donc 1 comme base de A et l'on suppose une paire libre {a, b} d'éléments de A (ce qui est a posteriori impossible bien sûr). Je suis incapable déjà de trouver un triplet libre.

    Sans me donner d'indication, peux-tu me confirmer que c'est possible (sinon facile :-) )
  • On peut montrer en 2 lignes que si $A^n$ a un système libre de n+1 vecteurs alors il en a un de n+2 vecteurs.
  • Ca alors ! Merci. Il doit me manquer une case, ah non, une ligne ! :-)
  • Indication pour GG: si $A^{n+1}$ se plonge linéairement dans $A^n$ alors $A^{n+2}$ se plonge linéairement dans $A^{n+1}$ et on conclut par composition <- en blanc!!
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Merci Foys, j'ai craqué ! :-)
  • @GG: si tu "aimes" quand ce n'est pas constructible, tu peux aussi si tu veux prouver le truc avec Zorn sans augmenter $n$. La preuve que j'ai donné se réécrit en une preuve qu'une matrice ayant au moins $2^n$ lignes et $n$ colonnes a ses lignes liées et elle est constructible.

    ATTENTION: avec le déterminant, on va bcp bcp bcp plus loin, tout ceci est dit en faisant "comme si" on ne l'avait jamais découvert.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • cc dit que l'exercice de logique sur l'équivalence peut se traiter dans Z/2Z. Si c'est l'exercice 16, alors
    vraiment je n'y comprends rien de rien et je ne vois aucun lien
    Le 😄 Farceur


  • L'idée est la suivante : $1$ symbolise "vrai", $0$ symbolise "faux".

    non(a) correspond à $a+1$.

    (a et b) correspond à $ab$.

    (a ou b) correspond à $ab+a+b$. En effet, (a ou b) équivaut à non(non(a) et non(b)), et il suffit de combiner les deux formules précédentes.

    $a\implies b$ équivaut à (non a) ou b, donc correspond à $a(b+1)+1=ab+a+1$.

    $a\iff b$ correspond à $a+b+1$.

    Pour revenir à l'exercice 16, $(a\iff b)\iff c$ correspond à $(a+b+1)+c+1=a+b+c$, et de même pour $a\iff (b\iff c)$.
  • Si c'est l'exercice 16, alors
    vraiment je n'y comprends rien de rien et je ne vois aucun lien

    JLT vient de te répondre et a choisi la tradition.

    En fait, c'est plus court avec:

    $vrai:=0$

    $faux:=1$

    $(x$ ou $y):=xy$

    car alors $(x\iff y) = (x+y)$.

    A noter qu'on peut aller bcp plus loin, car essentiellement $x=y$ et $x+y$ veulent dire pareil dans $F_2$ avec ce que je viens de poser et que toute expression avec des lettres des $\neq$ et des $=$ est insensible aux parenthèses. C'est donc "un peu plus fort" que l'associativité.

    Par exemple
    $(x=(y\neq z) ) = (t= (x=t))$ et
    $x=(((y\neq z) = t)= (t=x))$

    ont la même valeur dans $F_2$.

    Mais je n'ai pas voulu donner ça à OS of course. L'associativité de $\iff$ m'a paru suffisante.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Mais c'est l’algèbre de Boole et c'est la méthode initiée par Alexique et utilisé par Oshine. J'ai cru à une nouvelle méthode.

    Bon!. Je reconnais ma défaillance et je n'ai aucune excuse.:zero pour gebrane à la question.
    Le 😄 Farceur


  • @gebrane : pas tout à fait si tu regardes bien. J'utilise la négation alors que JLT la traduit avec $+$.
    Ainsi $a+1$ vaut 1 chez moi un peu par convention (1 OU a) alors que chez JLT, $a+1$ est "NON a" et dépend de a.
    Mon "a OU b" est alors $a+b$ mais dans Z/2Z, c'est $ab+a+b$.
    En fait, je bidouille avec ma convention $+1$ pour ne pas dépasser 1 strictement, alors que modulo 2, on n'a plus ce problème.
  • Alexique
    j'ai posté avant d’étudier la réponse de JLT
    ( j’avais lu seulement les valeurs assignées pour vrai et faux. )
    Ce n'est pas une excuse et merci d'avoir insisté.
    Je pense que je suis le seul qui n'a pas compris comment traiter la question sur Z/2Z, pourtant j'ai posé la question http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2003520,2030764#msg-2030764 et j'ai eu comme réponse de cc dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2003520,2031520#msg-2031520 si cc avait parlé de Z/2Z dans son message , cela aura m’éviter de paraître débile dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2010316,2032680#msg-2032680
    Le 😄 Farceur


  • Apres avoir lu attentivement JLT puis cc , je m'emrouile plus que Oshine dans cette question. Prouver $x-y=0 \iff x=y$
    comme analyste je procède comme suit:
    sens direct $y=y+0=y+(x-y)=x$
    sens réciproque $0=y+(-y)=x+(-y)=x-y$
    Dans Z/2Z c'est le noir sur noir avec
    JLT $a\iff b$ correspond à $a+b+1$
    cc $(x\iff y) = (x+y)$.
    Le 😄 Farceur


  • Je ne comprends pas quelle est ta question, mais il faut faire attention au fait que cc a pris la convention opposée à la mienne.

    Pour moi, vrai = 1 et faux = 0.
    Pour cc, vrai = 0 et faux =1.

    Avec la convention de cc,

    $x\iff y$ si et seulement si ($x$ et $y$ sont tous deux vrais, ou sont tous deux faux)
    si et seulement si ($x=y=1$ ou $x=y=0$)
    si et seulement si $x=y$
    si et seulement si $x+y=0$ (puisque dans $\Z/2\Z$ on a $y=-y$)
    si et seulement si $x+y$ est vrai.

    Avec ma convention,

    $a\iff b$ si et seulement si ($a$ et $b$ sont tous deux vrais, ou sont tous deux faux)
    si et seulement si $a+b=0$ (même raisonnement que plus haut)
    si et seulement si $a+b+1=1$
    si et seulement si $a+b+1$ est vrai.
  • JLT Ma question est simple, comment démontrer dans Z/2Z
    $$(x-y=0)\iff (x=y)$$
    en utilisant par exemple que $a\iff b$ si et seulement si a+b+1 est vrai. Je m'embrouille sur le sens de
    $(x-y=0) \iff (x=y) $ si et seulement si $(x-y=0)+(x=y)+1$ est vrai
    Le 😄 Farceur


  • C'est une manière compliquée de procéder, mais essayons.

    Avec ma convention (0 = faux, 1 = vrai), pour tous $x,y\in\Z/2\Z$, la valeur de vérité de (x=y) est égale à $x+y+1$.

    La valeur de vérité de $x-y=0$ est $(x-y)+0+1=x-y+1$.

    On a bien $(x+y+1)+(x-y+1)+1=1$ = vrai.
  • Merci JLT Je viens de comprendre, il me manquait la traduction de (x=y) dans Z/2Z
    Peux-tu proposer des exercices non triviaux sur des preuves dans Z/2Z ( que je viens de découvrir)
    Le 😄 Farceur


  • @JLT,
    je reviens à mon idée de récurrence : pour tout anneau A $\neq$ 0 et toute M $\in$ Mn, n+1(A), il existe X $\in$ An+1 tel que MX = 0 et X $\neq$ 0.

    Soit M $\in$ Mn+1, n+2(A), M = (ai j).
    Si l'un des aij n'est pas diviseur de 0, on construit X $\in$ An+2 comme j'en avais donné l'exemple dans mon premier message. S'ils sont tous diviseurs de 0, je considère la suite des quotients A1 = A/(a11), A2/(a'12), A3 = A2/(a''13), etc, jusqu'à tomber soit sur un a,..,1k non diviseur de 0, soit sur le module nul, soit tous les a,..,1i sont nuls.
    Encore une idée foireuse ? :-)

    P.S. ah oui, c'est le cas !
  • De mon téléphone à GG . Tu as même pas besoin de récurrence. Tu prends la preuve non constructible avec Zorn et tu retires Zorn "admis" pour le remplacer par un Zorn partiel prouvé. Ça ressemble à ce que tu dis mais ça se retient bien plus facilement car c'est structuré en mémoire. Zorn joue comme raccourci "zip" et non comme axiome et c'est un rôle tout à fait éminent.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Cc avec ton indication sur la méthode de dérivation. Tu supposes quoi comme connu sur les polynômes?
    Le 😄 Farceur


  • @gebrane:

    [small]Supposes que $(X^2+3)P=1$

    Alors $- 2XP = (X^2+3)P'$

    Soit $aX^n$ le "monôme dominant" de $P$.

    Alors $-2aX^{n+1} = an X^{n+1}$ alors $n=-2$[/small]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @cc : pourquoi dans ce cas ne pas partir directement de l'égalité $(X^2+3)P=1$ sans dériver et appliquer ton raisonnement ?
  • Je me le demande aussi. Si P est de degré n, alors on tombe sur n+2=0 sauf si tu interdis les propriétés de degré
    Le 😄 Farceur


  • Salut gebrane,

    L'idée d'OShine, mal exprimée, était de calculer les dérivées successives de $f$ pour constater qu'elles ne sont pas identiquement nulles. Mais il n'a pas réussi à faire le calcul.
    Je lui ai donc indiqué [ici] une méthode au programme du Capes pour s'en sortir.
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