Périphérie de "comprendre la logique"
Réponses
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Gai Requin salut,
J'ai bien vu ta suggestion mais ça me pose un problème. Si cette est posée au Capes ( je doute fort car débile ) et si Oshine applique ta suggestion. Que pensera les jurys.Le 😄 Farceur -
Si cette question est posée au Capes, il faut faire péter la notion de degré d'un polynôme.
Si, comme cc, on impose d'utiliser la dérivation, je pense que c'est pour faire dire au candidat ce que j'ai raconté dans mon message précédent. -
;-)Le 😄 Farceur
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@JLT :-D parce quand on est dans le Cantal on a tendance à poster des idées avec le peau sur le forum en venant juste de les cueillir sur l'arbre :-D
Merci pour ta simplification manifeste!!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Gai Requin salut.
Je ne trouve rien à faire alors une question débile : démontrer que la dérivée $n^{ième } $ de $x\to \frac 1 {1+x^2} $ n'est pas un polynome. Une reponse débile commence par calculer la dérivée $n^{ième } $. Une solution non débile ?Le 😄 Farceur -
C'est la même question. Pour toute fonction $f:\R\to\R$, on a l'équivalence entre
1) $f$ est un polynôme
2) Il existe $n$ tel que la dérivée $n$-ième de $f$ est un polynôme
3) Il existe $n$ tel que la dérivée $n$-ième de $f$ est nulle. -
Ca rejoint ma réflexion. Si une dérivée d' une fonction est un polynome, alors f est aussi un polynome . Je suis curieux de voir la réaction de Oshine sur cette question. Je suis presque certain qu'il va commencer son raisonnement par calculer la dérivée $n^{ième } $Le 😄 Farceur
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Une autre variante moins débile pour Oshine.
Est ce que $x\to \frac 1 {1+x^2} $ peut etre une limite uniforme sur R d'une suite de polynomes.Le 😄 Farceur -
Essayons !
Attention, je suis une quiche en analyse !
Soit $(f_n)$ une suite de polynômes convergeant uniformément vers $f:x\mapsto\dfrac 1{1+x^2}$ sur $\mathbb R$.
Alors, pour $n$ suffisamment grand, $||f_n-f||_{\infty}\leq 1$ et $||f_n||_{\infty}\leq 1+||f||_{\infty}\leq 2$ donc $f_n$ est un polynôme constant.
Ainsi, pour $n$ suffisamment grand, $f_n(1)=f_n(0)$ donc, en faisant tendre $n$ vers $+\infty$, on a $f(1)=f(0)$ : contradiction. -
Plus généralement : une limite uniforme de fonctions polynomiales de $\R$ dans $\R$ est polynomiale.
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Bien GR mais n'oubli pas que je suis aussi une poule mouillé en algèbre ,maintenant une variante moins évidente
Existe-il a>0 tel que $x\to \frac1{1+x^2}$ est limite simple sur [-a,a] d'une suite de polynômes
Existe-il a>0 tel que $x\to \frac1{1+x^2}$ est limite uniforme sur [-a,a] d'une suite de polynômesLe 😄 Farceur -
N'importe quel $a>0$ convient d'après Weierstrass non ?
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oui mais j'ai cru que tu étais vraiment une guiche en analyse:-DO, on complique , exhibe moi une de tres simple. pour comprendre ce que je voulais dire $x\to \frac1 {1-x}$ est limite simple d'une suite de polynôme sur ]-1,1[ assez connueLe 😄 Farceur
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Soit, pour tous $n\in\mathbb N$ et $x\in\mathbb R$, $f_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n (-x^2)^k$.
Alors, pour tout $0<a<1$, $(f_n)$ converge normalement vers $f$ sur $[-a,a]$.
Enfin, je crois. B-) -
GR j'ai édité mon message.
Je me pose un question ( je ne connais pas la réponse) est-ce que la dite fonction peut etre une limite simple d'uns suite de polynômes sur $\mathbb R$ ( par exemple $x\to e^x$ est une limite simple sur $\mathbb R $ de $x\to (1+x/n)^n$)Le 😄 Farceur -
oui juste GR et pour ma dernière question aussi question posé à JLTLe 😄 Farceur
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Une fonction continue $f$ de $\R$ dans $\R$ est limite simple de polynômes.
En effet, pour tout $n$ entier il existe un polynôme $P_n$ tel que $||f_{[-n,n]}-(P_n)_{[-n,n]}||_\infty<1/n$. Alors $(P_n)$ converge simplement vers $f$ (et même uniformément sur tout compact). -
JLT merci.
peut-on exhiber une (question posée à tous)Le 😄 Farceur -
Les polynômes de Bernstein permettent de donner une suite explicite de polynômes qui converge uniformément vers une fonction continue sur un segment donnée.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Approximation_de_Bernstein -
Intéressant Merci infiniment JLT
À ne pas regarder ce que j'ai caché en dessous pour votre santé mathématique.
$$\forall x\in \mathbb R,\quad \frac 1 {1+x^2}=\lim_{n\to +\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{n^2}{1+k^2}C^k_n x^k (1-x)^{n-k} $$Le 😄 Farceur -
Ah non c'est plus compliqué que ça.
Les polynômes de Bernstein permettent d'approximer une fonction continue sur $[0,1]$, mais pour une fonction $f$ de $\R$ dans $\R$, il faut d'abord ramener $[-n,n]$ à $[0,1]$ en considérant la fonction $g_n(x)=f(-n+2nx)$, l'approcher par un polynôme $P_{m_n}(g_n)$ sur $[0,1]$ pour $m_n$ assez grand, puis ramener à $\R$ en considérant $x\mapsto P_{m_n}(g_n)(\frac{1}{2}+\frac{x}{2n})$. -
c'est une faute grossière. Mh l’écriture n'est pas évidente
GR helpLe 😄 Farceur -
Je vais réfléchir plus tard à l’écriture de la question au dessus.
Une autre variante mais je ne sais pas si c'est débile.
Montrer qu'on ne peut pas écrire $$\frac1{1+x^2}=P(f)$$ avec f une fonction $C^{\infty}$ de R et P un polynôme de degré >1
(si le degré est 1 on peut prendre $P(x)=x$ et $f(x)= \frac1{1+x^2}$Le 😄 Farceur -
$P(x)=x^2$, $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
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Ah c'est débile .Le 😄 Farceur
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Je lance un petit défi à tous sur l'exo 13 de cc.
Démontrer que $x\to x^3$ est injective sur $\R $ en respectant le cahier de charge suivant.
1-Ne pas utiliser un raisonnement basé sur la stricte monotonie.
2- Ne pas utiliser le fait que $x^2+xy+y^2\neq 0,\quad \forall x,y\in \R $Le 😄 Farceur -
Soit $j=e^{2i\pi/3}$.
Alors pour tous $x,y$ réels, $x^3-y^3=(x-y)(x-jy)(x-j^2y)$.
Donc, si $x^3=y^3$, alors $x=y$. -
Tu triches mon ami car $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ et ce que tu fais c'est seulement tu prouves que le terme $x^2+xy+y^2 $ ne s'annule dans R.Le 😄 Farceur
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Sauf qu'il s'annule quand $x=y=0$. :-D
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En une journée, j' ai dit un max de bêtises :-DLe 😄 Farceur
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GR voici ma méthode.
Si $x^3=y^3$, alors
1- si l ' un est nul, l'autre est nul
2- ils sont de même signe.
On peut supposer donc que x,y sont positifs. Après on passe au log, on simplifie par 3 et on passe à l'exponentiel et hop x=y
Une autre variante pour l'exo 13 de cc
Si P est polynôme démontrer que $Q(y)= \int_a^b \frac1 {3+x^2}P(x-y)dy$ est un polynôme. Vraiment je ne sais pas comment Oshine va s'en sortirLe 😄 Farceur -
$0=x^3-y^3 = \int_y^x 3t^2 dt \implies x=y$ car $t \mapsto 3t^2$ est positive, nulle en un seul point, donc son intégrale sur tout segment non réduit à un point est strictement positive.
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Si l'un des nombres parmi $x$ et $y$ est nul alors l'autre aussi. Supposons donc $x$ et $y$ non nuls. Soit $t=y/x$. On a $t^3=1$ et il faut montrer que $t=1$.
Si $t<0$ on a $t^3<1$ donc $t^3 \ne 1$. Supposons donc $t>0$.
Quitte à échanger les rôles de $x$ et $y$, on peut supposer que $t\geqslant 1$. Ecrivons $t=1+u$ avec $u\geqslant 0$. On a $1=t^3=(1+u)^3=1+3u+3u^2+u^3\geqslant 1+u=t \geqslant 1$ donc $t=1$. -
Intéressante méthodes de Alexique et JLT.
Gai Requin, j'attends ta preuve.
J 'espère que P nous donne un raisonnement probabiliste.
Rescassol ou pappus une preuve géométrique ?
Cc peut-on savoir ta preuve (s'il respecte mon cahier de charge).Le 😄 Farceur -
Je rappelle c'est pour le funLe 😄 Farceur
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Bonjour JLT & GR, j'ai besoin de l' aide toujours sur l exercice 17 de cc
En discutant avec mes amis(es), on m ' a posé une question : gebrane caracterise les espaces X pour lesquels $x\to x^3$ est une injection. Ça devient faux si $X=\C $ ou l ensemble des matrices ou ...
Quel structure d'anneau ou d'algebre permettant d'avoir la propriété : x^3=y^3 implique x=yLe 😄 Farceur -
En tout cas pour les corps de caractéristique $\ne 2$, la condition est que $-3$ n'est pas un carré.
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très intéressant. Par exemple dans le corps Z/3Z de caractéristique 3 ,on voit que -3 est un carré($-3=0=0^2$) donc la propriété est fausse . On le voit clairement: $0^3=2^3$ (lol j'ai cru que 2^3=6) mais $0\neq 2$ dans Z/3Z
j'espère que la preuve de ta caractérisation n'est pas difficile je vais y réfléchirLe 😄 Farceur -
Pardon je me suis trompé.
Si le corps est de caractéristique $3$, alors on a toujours $x^3=y^3\implies x=y$. En effet, $x^3-y^3=(x-y)^3$.
C'est pour les corps de caractéristique différente de $2$ et de $3$ qu'on a l'équivalence entre :
1) $\forall x,y,\; x^3=y^3\implies x=y$
2) $\forall x,\; x^2\ne -3$. -
Pour l'exercice 52,je prends pour définition (folle) de $\pi$ la valeurs de l’intégrale convergente $2\int_0^1\frac 1{\sqrt {1-x^2}} dx$. Démontrer que $\pi$ n'est pas un entier
Mon but est de se donner une définition de $\pi$ qui rend compliquée la preuve.Le 😄 Farceur -
Notons $I_n=\int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$. On montre en intégrant par parties que $I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$, ce qui permet de calculer explicitement $I_{11}=\dfrac{256}{693}$.
De plus, $nI_nI_{n-1}=\frac{\pi}{2}$ pour tout $n$ (ce qui se montre par récurrence). Comme $I_n<I_{n-1}$, on en déduit que $\pi>2nI_n^2$ pour tout $n$. En particulier pour $n=11$ on obtient $\pi>\dfrac{131072}{43659}>3$.
De même, $\pi<2nI_{n-1}^2$ donc en particulier $\pi<4I_1^2=4$.
Finalement, $3<\pi<4$. -
J'ai raté mon coup.
Merci JLT pour cette belle preuveLe 😄 Farceur -
Une définition de $\pi$ qui rend la preuve encore plus compliquée?Le 😄 Farceur
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Je crois qu’historiquement, y a de la littérature sur ce genre d’énigme depuis Richardson et ça a été popularisé par cet article: https://en.m.wikipedia.org/wiki/How_Long_Is_the_Coast_of_Britain?_Statistical_Self-Similarity_and_Fractional_Dimension
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.Le 😄 Farceur
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.Le 😄 Farceur
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