Superdensité

christophe c
christophe c
dans Fondements et Logique
Avec des grands cardinaux je crois avoir réussi à construire

une partie DENOMBRABLE $D$ de $\R$ telle que pour toute partie dénombrable $X$ de $\R$, il existe un TRANSLATE $D'$ de $D$ tel que $X\subset D'$.

Qui veut prouver le contraire ? Ce serait cool.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi

Réponses

  • JLT
    JLT
    Supposons qu'une telle partie $D$ existe. Notons $\delta(D)$ l'ensemble des $x-y$ pour $x,y\in D$. Si $D'$ est un translaté de $D$ alors $\delta(X)\subset \delta(D')=\delta(D)$.

    Comme $\delta(D)$ est dénombrable, il existe un réel $x$ n'appartenant pas à $\delta(D)$.

    Soit $X=\{0,x\}$, alors $X$ n'est inclus dans aucun translaté de $D$.
  • christophe c
    christophe c
    Merci JLT !!!!!!!!!

    Tu me rends un fier service!!! Je détaillerai, j'avais le nez sur le guidon, regrettais de ne pas avoir précisé "sans axiome du choix" et me reconnectais presque pour ça, mais tu n'utilises pas du tout l'axiome du choix.

    Mon erreur est hélas "trop simple", elle est d'avoir associé trop inconsciemment à $D$ un élément hors de $D$ (comme tu le fais avec $\delta(D)$), ce que je ne pouvais pas faire dans le cadre de ma construction car le $D$ varie, mais comme c'était tout à la fin...
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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