Idéaux et Banach

Martial · May 2020

Bonjour à tous,

Je dois lire un article qui suppose un certain background en théorie des ensembles, et donc l'auteur ne se sent pas obligé de rappeler certaines définitions "élémentaires" qui pour moi ne le sont pas.
Je voudrais juste savoir si mes définitions sont correctes. Ça parle d'idéaux de parties et de Banach.

A noter qu'il y a un problème sur le compilateur du forum, je n'arrive plus à écrire "crochet ouvrant S crochet fermé" en latex (pas plus d'ailleurs qu'en mode texte). Donc dans la suite, $S$ étant un ensemble quelconque, je noterai $S_{\omega}$ l'ensemble des parties dénombrables de $S$.

Définition 1 : Soit $\mathcal{I} \subseteq S_{\omega}$. $I$ est un idéal de $S_{\omega}$ ssi :
a) $\forall X,Y (X \in \mathcal{I} \land Y \subseteq X) \Rightarrow (Y \in \mathcal{I})$.
b) $\mathcal{I}$ est stable par réunions finies.

Définition 2 :: Soit $E$ un espace de Banach. $E$ est de densité $\aleph_1$ ssi il existe $D \subseteq E$, $|D| = \aleph_1$, tel que $\overline{D} = E$.

Merci d'avance

Martial

Calli · May 2020

Salut,
Je pense que dans la définition 2 il faut aussi que $E$ ne soit pas séparable. Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_cardinale#Fonctions_cardinales_en_topologie, 4e point.

Martial · May 2020

@Calli : merci, tu as raison.
Je résume pour les lecteurs.
Un Banach est de densité $\aleph_1$ s'il existe une partie dense de cardinal $\aleph_1$ et s'il n'existe pas de parties denses dénombrables.

Comme d'hab, cette définition n'a d'intérêt que si l'hypothèse du continu est fausse.

Maxtimax · May 2020

Je vois pas trop ce que "idéal" pourrait vouloir dire d'autre donc je pense que ta def 1 est ok. Il est possible (ça dépend des textes) qu'il soit demandé que $\mathcal I$ soit "propre", i.e. différent de $[ S ]_\omega$ (et ton b) est bien formulé, parce qu'il impose $\mathcal I\neq \emptyset$; souvent les textes demandent "réunion binaire", et ajoutent cette condition à la main)

(pour ton problème de latex : c'est que crochet s crochet est l'introduction du mode de texte barré, comme ici. Donc le compileur [ je connais pas le mot précis ] du site attend que tu refermes le mode texte barré; mais tu ne le fais pas, donc le site est pas content. Pour régler le problème, il faut mettre un espace entre le crochet et S puis entre S et le crochet fermant.
C'est pareil que pour crochet u crochet quand tu écris du xymatrix)

Martial · May 2020

Merci Max.
J'ai compris pour le latex.
Pour le reste tu considères une réunion vide comme une réunion finie, c'est ça ?
Et donc $\emptyset \in \mathcal{I}$, et donc $\mathcal{I} \neq \emptyset$.
Astucieux, je n'y avais même pas pensé, lol

Maxtimax · May 2020

Yes, exactement !

(pareil : un anneau intègre est un anneau dans lequel $\prod_{i\in I}a_i = 0 \implies \exists i\in I, a_i = 0$ - ça prend en compte à la fois le classique $ab = 0\implies (a=0 \lor b=0)$ et le $1\neq 0$; les deux sont des instances de "negative thinking")

Martial · May 2020

Interesting ! Je n'avais jamais pensé à ce raccourci. Par exemple, dans ma définition d'un corps le dernier axiome est $1 \neq 0$, pour empêcher l'anneau trivial d'être un corps.

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