Hilbert = araignée

christophe c · May 2020

Je trouve dommage qu'on "ait viré des Hilbert" tout ce qui dérangeait, par exemple, sous le prétexte (dim infinie) que la diagonale d'un 'hypercube unité est infiniment longue, plein de coins de ce cube sautent, c'est triste.

Et le palliatif Banach ne conserve pas la "belle géométrie" issue de Pythagore.

Qui aurait envie d'alimenter ce fil collaboratif pour construire des "neoHilbert" où au lieu de changer la topologie, on rajoute les coins (et autres vilains points) virés et on assume les segments infiniment longs ?

Héhéhé · May 2020

On a viré quoi des espaces de Hilbert ?

christophe c · May 2020

Bin le coin supérieur opposé à l'origine dans un hypercube. (Si tu préfères sur un exemple, la suite constante $1$, quand tu penses au Hilbert $l^2(\dots )$ (je mets des petits points, je ne sais même plus comment on note l'espace des suites dont la somme des carrés converge)

Ok, tu me diras, on lui a trouvé un point de chute, en la mettant dans $l^\infty$, mais bon...

Héhéhé · May 2020

Ha ok ce n'était pas clair.

Imaginons qu'on se place sur le $\R$-espace vectoriel $E = \R^\N$ des suites à valeurs réelles (afin d'avoir comme tu dis tous les coins du cube unité $\{0,1\}^\N$).

A quelle(s) propriété(s) es-tu prêt à renoncer:
* le produit scalaire sur $E$ généralise le produit scalaire usuel (si on prend deux suites nulles à partir d'un certain rang $n$, on retrouve le produit scalaire de $\R^n$) ?
* l'espace $E$ muni de la norme issue du produit scalaire est complet ?
* le fait d'avoir un produit scalaire ?
* etc.

christophe c · May 2020

Je pense que je renoncerais bien à IR tout simplement. La diagonale, ie l'ensemble

$$ \{Constante(t) \mid t\in [0,1]\} $$

est infinment longue, bin c'est la vie.. Mais qu'est-ce que ça implique de renoncer à IR et de gardre le plus possible du reste, (en particulier l'unicité de la projectin sur les convexes)???

Héhéhé · May 2020

Qu'est-ce que tu veux dire par "renoncer à $\R$" ? Tu n'imposes plus que ton ensemble soit un $\R$-espace vectoriel ?

christophe c · May 2020

J'aurais envie de dire, mais c'est un peu superficiel aujourd'hui, je voulais ne pas oublier de poster ce sujet auquel j'ai pensé souvent, quelque chose comme la longue droite pour parler de la diagonale de l'hypercube, etc.

En gros, renoncer au fait que les droites soient toutes limitées à avoir "la longueur de $\R$".

Hilbert = araignée

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