Objet final dans Ens

Tu devrais réécrire les définitions (ce n'est pas très long) de ta question, il n'y a rien à "comprendre" en sous-main, tout est dit dans les définition de catégorie, de ENS et de "objet final".

Bonjour,

l'objet initial de la catégorie des ensembles Ens est l'ensemble vide car ce dernier, appartenant à tout ensemble E

Tu en es certain ?

Cordialement,

Thieery

Thierry Poma t'a posé une question très pertinente, dommage que tu n'y aies pas répondu.

Pachat a écrit:

L'objet final de Ens est alors la sous-catégorie, notée {*}, des singletons de Ens.

Pour moi, ça n'a aucun sens.

Je te suggère la chose suivante: à chaque fois que tu lis "l'objet final", tu remplaces par "un objet final": tes difficultés devraient disparaître.

Bonjour Pachat,

Avant de t'intéresser à la notion d'objet final, il faudrait que tu aies les idées claires sur ce qu'est une application de $A$ dans $B$ (une flèche dans la catégorie des ensembles). Ça n'a pas l'air d'être le cas, d'après la dernière phrase du message précédent.

je ne peux avoir une flèche de S. vers E

Tu peux en avoir une, il y en a en fait trois.
Dire qu'un singleton $S$ est un objet terminal dans la catégorie des ensembles, c'est dire que pour tout ensemble $E$ il y a une et une seule application de $E$ dans $S$.
Ça ne dit absolument rien des applications de $S$ dans $E$.

Dans la catégorie des espaces vectoriels sur un corps $k$, l'espace vectoriel nul est un objet terminal. Et pour tout $k$-espace vectoriel $E$, il y a une unique flèche $\{0\}\to K$.

Dans la catégorie des anneaux, l'anneau trivial (où $0=1$) est un objet terminal. Et si $A$ est un anneau non trivial, il n'y a aucune flèche de l'anneau trivial dans $A$.

Oui, l'espace vectoriel nul est aussi un objet initial de la catégorie des $k$-espaces vectoriels.

$A$ n'aurait donc pas d'objet initial ?

Franchement, as-tu réfléchi avant d'écrire ça ?

Bonjour Pachat,

Ne confondrais-tu pas une catégorie et ses objets ?
EDIT : On parle d'un objet final d'une catégorie, pas d'un objet final d'un autre objet.

Oui, tu as compris, mais ta notation pour l'ensemble vide n'est pas la bonne. Ecrit comme tu le fais, ton "ensemble vide" a un élément ($0$). Tu peux l'écrire $\{\}$ si tu veux (si tu tiens à utiliser des accolades) ou $\emptyset$ (ou encore $\varnothing$, mais j'aime moins)

Il est possible de définir la notion d'application de différentes manières. Pour une fois, je vais changer mon registre. Étant donné des ensembles $A$ et $B$, l'on appelle application de $A$ dans $B$, un ensemble (car il s'agit bien d'un ensemble), que je note $f$, vérifiant l'assertion [f\in\mathfrak{P}(A\times{}B)\mbox{ et }(\forall\,x)(\forall\,u)(\forall\,v)\left((x,\,u)\in{f}\mbox{ et }(x,\,v)\in{f}\Rightarrow{u=v}\right)\mbox{ et }(\forall\,x)\left(x\in{A}\Rightarrow(\exists\,y)((x,\,y)\in{f})\right)\]Si $A=\{\}$, tu constates que ton assertion est vérifiée, quel que soit l'ensemble $B$. En revanche, si $B=\{\}$, ton assertion n'est vérifiée que si $A=\{\}$. Dans le cas contraire, il n'existe pas d'application d'un ensemble non vide dans $\{\}$. Vois-tu ?

Pour écrire en LaTeX, tu mets ton code entre symboles dollar.
Par exemple, pour écrire $\emptyset$, j'ai écrit "dollar \emptyset dollar" (en remplaçant le mot dollar par le symbole)

@Pachat : soit $\mathbf{x}$ un $\mbox{Ens}$-objet. Pourquoi le $\mbox{Ens}$-objet $\{\mathbf{x}\}$ ne peut-il en aucun cas être initial ? En espérant ne pas avoir une réponse dans six semaines.

@Pachat :

Pour ceci : soit $A$ un $\mbox{Ens}$-objet distinct de $\{\}$. Comme tu l'a indiqué,\[f\in\mathfrak{P}(A\times{}\{\})\mbox{ et }(\forall\,x)(\forall\,u)(\forall\,v)\left((x,\,u)\in{f}\mbox{ et }(x,\,v)\in{f}\Rightarrow{u=v}\right)\mbox{ et }(\forall\,x)\left(x\in{A}\Rightarrow(\exists\,y)((x,\,y)\in{f})\right)\]n'est pas vérifiée, ne serait qu'en raison du fait que $f=\{\}$, de sorte que l'on ne peut avoir $(\forall\,x)\left(x\in{A}\Rightarrow(\exists\,y)((x,\,y)\in{f})\right)$. Donc, $\mbox{Hom}_{\mbox{Ens}}\left(A,\,\{\}\right)=\{\}$.

Pour ceci : tu viens de prouver (sic) que, si $B$ est un $\mbox{Ens}$-objet distinct d'un singleton, alors $\mbox{Hom}_{\mbox{Ens}}\left(\{\mathbf{x}\},\,B\right)$ ne se réduit pas à un singleton, ce qui prouve que $\{\mathbf{x}\}$ n'est pas un $\mbox{Ens}$-objet initial.

En revanche, je ne vois pas ta réponse avec l'ensemble vide qui te semble correcte. Peut-être est-ce dû à la fatigue.