Objet final dans Ens
Bonjour,
M'initiant à la théorie des catégories, je bute sur la compréhension de l'objet final dans Ens.
Si j'ai bien compris,
- l'objet initial de la catégorie des ensembles Ens est l'ensemble vide car ce dernier, appartenant à tout ensemble E (E pris comme élément de Ens), permet un application injective "ensemble vide" -> E qq. soit E
- les objets finals sont les singletons F de Ens puisque pour chacun on a Id, application injective de F vers F.
Ma question : le singleton est-il objet final
1°) de la catégorie des ensembles Ens,
ou seulement
2°) de la sous-catégorie des singletons de Ens.
Si c'est dans le cas 2°), cela voudrait-il dire qu'il n'y a pas d'objet final dans Ens ?
M'initiant à la théorie des catégories, je bute sur la compréhension de l'objet final dans Ens.
Si j'ai bien compris,
- l'objet initial de la catégorie des ensembles Ens est l'ensemble vide car ce dernier, appartenant à tout ensemble E (E pris comme élément de Ens), permet un application injective "ensemble vide" -> E qq. soit E
- les objets finals sont les singletons F de Ens puisque pour chacun on a Id, application injective de F vers F.
Ma question : le singleton est-il objet final
1°) de la catégorie des ensembles Ens,
ou seulement
2°) de la sous-catégorie des singletons de Ens.
Si c'est dans le cas 2°), cela voudrait-il dire qu'il n'y a pas d'objet final dans Ens ?
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Réponses
Tu en es certain ?
Cordialement,
Thieery
Soient deux ensembles E1 = {a, b} et E2 = {c, d}, éléments de la catégorie Ens
Si je comprends (?), on prend pour E1 l'application telle que, par exemple, a -> u et b -> u qui à E1 fait correspondre le singleton {u}
idem pour E2 : c -> v et d -> v qui à E2 fait correspondre le singleton {v}.
Les singletons {u} et {v}, étant isomorphes, on les note {*}
L'objet final de Ens est alors la sous-catégorie, notée {*}, des singletons de Ens.
Est-ce que ça tient ?
Pour moi, ça n'a aucun sens.
Je te suggère la chose suivante: à chaque fois que tu lis "l'objet final", tu remplaces par "un objet final": tes difficultés devraient disparaître.
Thierry POMA écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2015374,2015594#msg-2015594
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Là, je me suis effectivement mal exprimé : je voulais dire est inclus.
Alors on a naturellement. qu'une et une seule flèche de l'ensemble vide vers E.
Revenons à l'objet final : si j'ai E = { a, b, c } et le singleton S= { d }, comment est-ce que je construis la seule et unique flèche de E vers S ?
Est-ce f telle que f(a) = d, f(b) = d, f'c) = d ?
Dans ce cas, on dit que S est final parce que je ne peux avoir une flèche de S vers E, puisqu'il faudrait qu'à d je fasse correspondre plusieurs éléments de E.
Avant de t'intéresser à la notion d'objet final, il faudrait que tu aies les idées claires sur ce qu'est une application de $A$ dans $B$ (une flèche dans la catégorie des ensembles). Ça n'a pas l'air d'être le cas, d'après la dernière phrase du message précédent.
Justement, ma dernière phrase dit que ce n'est pas possible, qu'on ne peut pas avoir à la fois f(d) = a, f(d) = b, f(d) = c, sinon f ne serait pas une application.
Et que c'est à ce titre que le singleton S = { d } est bien un objet final.
Ce n'est pas correct ?
Dire qu'un singleton $S$ est un objet terminal dans la catégorie des ensembles, c'est dire que pour tout ensemble $E$ il y a une et une seule application de $E$ dans $S$.
Ça ne dit absolument rien des applications de $S$ dans $E$.
Dans la catégorie des espaces vectoriels sur un corps $k$, l'espace vectoriel nul est un objet terminal. Et pour tout $k$-espace vectoriel $E$, il y a une unique flèche $\{0\}\to K$.
Dans la catégorie des anneaux, l'anneau trivial (où $0=1$) est un objet terminal. Et si $A$ est un anneau non trivial, il n'y a aucune flèche de l'anneau trivial dans $A$.
> > Tu peux en avoir une, il y en a en fait trois. Dire qu'un singleton $S$ est un objet terminal
> dans la catégorie des ensembles, c'est dire que pour tout ensemble $E$ il y a une et une seule
> application de $E$ dans $S$. Ça ne dit absolument rien des applications de $S$ dans $E$.
D'accord : il y a f(d) = a, g(d) = b, h(d) = c.
> Et pour tout $k$-espace vectoriel $E$, il y a une unique flèche $\{0\}\to K$.
Est-ce que ça ne dit pas que { 0 } est aussi un objet initial ?
> Dans la catégorie des anneaux, l'anneau trivial (où $0=1$) est un objet terminal. Et si $A$ est
> un anneau non trivial, il n'y a aucune flèche de l'anneau trivial dans $A$.
$A$ n'aurait donc pas d'objet initial ?
Franchement, as-tu réfléchi avant d'écrire ça ?
En réfléchissant, il y a $Z$.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Ne confondrais-tu pas une catégorie et ses objets ?
EDIT : On parle d'un objet final d'une catégorie, pas d'un objet final d'un autre objet.
C'est exactement le problème dont j'essaie de me sortir.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Ens, catégorie des ensembles munis des applications d'un ensemble vers un autre ensemble (ou lui-même).
L'ensemble vide { 0 } est l'objet initial puisqu'il existe une et une seule application de { 0 } vers tout ensemble E de Ens : { 0 }->E
Cette application vérifie bien qu' "à tout élément de { 0 } correspond un élément de E".
{ 0 } n'ayant pas d'élément, on appelle cette application l'application vide.
Tout singleton S { x } est un objet terminal de Ens car à tout élément E de Ens, correspond une et une seule application de E vers S. Cette application est celle qui à tout élément de E fait correspondre l'élément x de S : E->{ x }
Ai-je mieux compris ?
Tu as un sérieux problème, qui n'est pas totalement imputable aux catégories, mais aux théories des ensembles. L'ensemble vide se note $\emptyset$, voire parfois $\{\}$. Je vais revenir sur tout çà.
Cordialement,
Thierry
Y a-t-il quelque part un guide simple sur le codage des notations mathématiques dans le forum ?
Lors de l'envoi un "plantage système" disait qu'il y avait mélange de codages
Par exemple, pour écrire $\emptyset$, j'ai écrit "dollar \emptyset dollar" (en remplaçant le mot dollar par le symbole)
tout à fait d'accord.
Ce serait un raison suffisante pour que $\{\}$ ne puisse être un objet terminal.
Grâce aux indications d'écritures, je peux donc écrire ceci :
$\emptyset$ ou mieux, $\{\}$ est un objet initial,
mais {$\emptyset$} ou mieux $\{\{\}\}$, ensemble des parties de $\{\}$ est un singleton, et donc à ce titre, un objet terminal.
C'est correct ?
si un ensemble n'est pas vide, il ne peut y avoir d'application de cet ensemble vers l'ensemble vide.
Donc, un ensemble source qui contient au moins un élément ne vérifie pas " qu'il existe une (et une seule) application vers tout élément de Ens " : la cible {}, élément de Ens, empêche en effet que la proposition soit vérifiée.
[Inutile de recopier l’antépénultième message. Un lien suffit. AD]
Je n'en doute pas : je trouve simplement intéressant qu'à passer à l'ensemble des parties, on passe de l'initial au terminal comme du 0 au 1 (Von Neumann ou Frege)
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Alors, plus simplement, si E = { a, b } et S = { x }, il y 2 applications de S vers E f : x-> a et g : x-> b.
L'application n'étant pas unique, S ne peut être un objet initial.
Ceci dit, ma réponse avec l'ensemble vide me semble correcte.
Pour ceci : soit $A$ un $\mbox{Ens}$-objet distinct de $\{\}$. Comme tu l'a indiqué,\[f\in\mathfrak{P}(A\times{}\{\})\mbox{ et }(\forall\,x)(\forall\,u)(\forall\,v)\left((x,\,u)\in{f}\mbox{ et }(x,\,v)\in{f}\Rightarrow{u=v}\right)\mbox{ et }(\forall\,x)\left(x\in{A}\Rightarrow(\exists\,y)((x,\,y)\in{f})\right)\]n'est pas vérifiée, ne serait qu'en raison du fait que $f=\{\}$, de sorte que l'on ne peut avoir $(\forall\,x)\left(x\in{A}\Rightarrow(\exists\,y)((x,\,y)\in{f})\right)$. Donc, $\mbox{Hom}_{\mbox{Ens}}\left(A,\,\{\}\right)=\{\}$.
Pour ceci : tu viens de prouver (sic) que, si $B$ est un $\mbox{Ens}$-objet distinct d'un singleton, alors $\mbox{Hom}_{\mbox{Ens}}\left(\{\mathbf{x}\},\,B\right)$ ne se réduit pas à un singleton, ce qui prouve que $\{\mathbf{x}\}$ n'est pas un $\mbox{Ens}$-objet initial.
En revanche, je ne vois pas ta réponse avec l'ensemble vide qui te semble correcte. Peut-être est-ce dû à la fatigue.