Produit cartésien

nckgtr
nckgtr
dans Fondements et Logique
Bonjour, j'ai une simple question de convention. Si $A$ est un ensemble quelconque, l'ensemble : $$
A^{n}\times A^{n}
$$ désigne-t-il l'ensemble des couples de familles de $n$ éléments de $A$, ou l'ensemble des familles à $2n$ éléments de $A$ ?

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    C'est le premier truc. "Couple de "
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Comme le dit Christophe, c'est, par définition, l'ensemble des couples d'éléments de $A^n$ : $$A^n \times A^n = \{(a,b) \mid a, b \in A^n\}.$$ Après il est évident que l'on dispose d'une bijection entre $A^n \times A^n$ et $A^{2n}$, de sorte que passer de l'un à l'autre est sans danger.
  • christophe c
    christophe c
    Je ne veux pas compliquer les choses, mais de toute façon, il y a en plus une ambiguité sur la notation $X^n$, dont on ignore s'il s'agit de l'ensemble des applications de $n$ dans $X$ ou s'il s'agit de l'itéré de *** , tant que les auteurs ne précisent pas. Ca peut jouer parfois des tours même si c'est rare.

    *** $X^{n+1} := X\times (X^n)$, avec $X^1:=X$.
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  • Poirot
    Poirot
    @CC : $X^3 = X \times (X \times X)$ ou $X^3 = (X \times X) \times X$ ? :-D
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Comme je sais que Christophe aime bien identifier l'entier $n$ à l'ordinal $[\![0,n-1]\!]$, on a qu'à dire que $X^3$ est l'ensemble des applications $3\to X$. Comme ça c'est bien pédagogique. X:-(
  • christophe c
    christophe c
    A priori, Poirot, ton premier choix.

    Cela provient d'une habitude "des listes". Premier élément, pointeur vers la suite. Krivine faisait pareil je crois.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Dom
    Dom
    Donc, comme il n'y a qu'une réponse, "c'est le couple de", on en déduit que le produit cartésien n'est pas associatif sauf à considérer la bijection évidente. C'est ça ?
  • christophe c
    christophe c
    Exactement!

    Avec l'associativité, tu aurais:

    $$(a,(b,a)) = ((a,b),a) $$

    donc $(a,b) = a = (b,a) $

    donc $a=b$.
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  • Dom
    Dom
    Ok.

    Mais ça ne pose pas déjà un problème, par exemple d'avoir : $(a,a)=a$ ?

    Je ne connais pas bien la Théorie Des Ensembles et j'imagine que la réponse est dedans.
  • christophe c
    christophe c
    Tu fais une hypothèse, dont je DEDUIS que $(a,b)=a$, à partir de $\forall x,y,u,v: (x,y)=(u,v)\to (x=u)$ et $(y=v)$.

    On n'a donc pas besoin de considérer cet "éventuel problème".

    Sans l'axiome de fondation, on peut tout à fait avoir $a =(a,a)$, etc.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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