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Démontrer que $A\cup\emptyset=A$

Envoyé par Ilexiste 
Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Bonjour
Après quelques tentatives, j'ai finalement lu une solution qui se base sur la méthode de la double inclusion.
Voici la première.
1/ Si x est un élément de A, alors x appartient à A ou à [l'ensemble vide]
Je suis bloqué ici car je ne comprends pas par quel raisonnement x appartient à l'[ensemble vide].
Je sais que [ensemble vide] est inclus dans tout ensemble. Mais cela ne m'avance pas pour en déduire, dans ce cas précis, que x est élément de A ou de l'ensemble vide. Je ne vois pas le lien. C'est peut-être idiot mais je ne le conçois pas.

Si j'admets que x est élément de A ou de l'[ensemble vide] sans le comprendre, cela permet d'écrire que A est inclus dans [A union l'ensemble vide] et donc d'obtenir la première inclusion : A inclus dans [A union ensemble vide]

Voici la seconde.
2/ Si x est un élément de [A union ensemble vide]
Alors x appartient à A ou x appartient à l'[ensemble vide].
Or x ne peut appartenir à l'[ensemble vide] car l'[ensemble vide] ne contient aucun élément.
Donc x appartient à A. Ce qui permet de conclure que [A union ensemble vide] est inclus dans A.

Conclusion.
On a donc:
1/ A inclus dans [A union ensemble vide]
2/ [A union ensemble vide] est inclus dans A.
Par conséquent, [A union ensemble vide] = A

C'est bien la démonstration de la première inclusion qui me pose problème, je n'ai pas de difficultés avec la seconde.
Merci pour votre aide.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Demontrer que [A union ensemble vide] = A
il y a six semaines
X => (X ou Y)

est un axiome logique. Il n'y a rien à justifier (tu donnes l'impression de confondre "ou" avec "et", non?)

Dansle deuxième sens, ta justification est inélégante. Si $x\in A$ ou $x\in \emptyset$ alors $x\in A$ ou $x\in A$, donc $x\in A$. Ca colle mieux avec TA déclaration que $\emptyset\subset A$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Demontrer que [A union ensemble vide] = A
il y a six semaines
Bonjour,
Merci pour votre réponse, mais je ne n'ai pas compris excusez moi.
Je vais essayer de préciser mon propos.

Ce que j'ai écrit correspond à une correction qui n'émane pas de moi. J'ai recopié ce que j'ai lu et je l'ai soumis sur ce forum parce que je ne comprends la démonstration de la première inclusion.

Mon problème est la démonstration de: A est inclus dans [A union ensemble vide].
J'ai bien compris l'objet de la démonstration qui consiste à prendre un élément x appartenant à l'ensemble A et prouver que cet élément x appartient aussi à [A union ensemble vide].

Donc la démonstration de la première inclusion commence par poser:
a/ Si x appartient à A [je comprends parfaitement]
b/ Alors x appartient à A [je comprends parfaitement]
c/ Ou x appartient à ensemble vide. [je ne conçois pas que x puisse appartenir à ensemble vide, qu'est-ce qui permet d'écrire cela?]

C'est vraiment le point c/ qui me pose un problème. Je ne comprends pas que partant de la condition "Si x appartient à A" on puisse en déduire le "ou x appartient à ensemble vide" qui ne passe pas, ce qui me paraît pas du tout évident partant du fait que x appartient à A.

Merci encore.
Re: Demontrer que [A union ensemble vide] = A
il y a six semaines
Ce qui devrait être évident, c'est qu'il n'est pas possible de démontrer une phrase de la forme « ou P », dans laquelle P est une proposition. La conjonction « ou » se met entre deux propositions, disons « Q » et « P », pour former une troisième proposition, « Q ou P ». Pour démontrer que « Q ou P » est vraie, il suffit de démontrer que « Q » est vraie – il suffit aussi de démontrer que « P » est vraie mais ce n'est pas la peine de faire les deux.
Re: Demontrer que [A union ensemble vide] = A
il y a six semaines
Je parie pourtant que tu mesures plus de 4m50 ou que tu mesures plus de 70cm. tu es en train de m'expliquer que je ne gagne pas mon pari parce que tu ne mesures pas plus de 4m50, c'est ça? Tu "ne conçois pas" de mesure plus de 4m50?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Bonjour
Merci pour votre explication.
Peut-être devrais-je passer par une autre formulation qui collerait plus avec vos explications:

Pour démontrer que $A\cup\emptyset=A$ suffirait-il de démontrer les implications suivantes ?
1/ $A \Rightarrow A\cup\emptyset$
2/ $A\cup\emptyset \Rightarrow A$

Si oui, je pourrais utiliser la table de vérité en posant $E$ et $F$ deux énoncés valides.
Par exemple $E = A$ et $ F = A\cup\emptyset$ donc on pourrait écrire à la condition que $E$ et $F$ soient deux énoncés valides (le sont-ils? je ne sais pas) que :

1/ $E \Rightarrow F$ = (non(E) ou F) est vrai si non(E) est vrai ou F est vrai.

2/ $F \Rightarrow E$ = (non(F) ou E) est vrai si non(F) est vrai ou E est vrai.

Merci pour votre patience.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
avatar
bon et tant pis si cc me tape sur les doigts grinning smiley

Si $a\in A\cup \varnothing$. Alors $a\in A$ ou $a\in\varnothing$. puisque $a\in\varnothing$ est fausse, on peut affirmer si $a\in A\cup \varnothing$, alors $a\in A$ est vraie, donc $A\cup \varnothing \subseteq A$. la réciproque est triviale puisque , $A\cup \varnothing \supseteq A$ finalement $A=A\cup\varnothing$

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
On ne peut pas démontrer l'implication « $A\implies A\cup\emptyset$ » parce que « $A$ » et « $A\cup\emptyset$ » ne sont pas des énoncés valides / propositions / assertions mais des noms. Un nom n'a pas de valeur de vérité. Un nom ne peut pas être mis à la place d'une proposition (une phrase avec un verbe) autour d'un connecteur logique.

Ce qu'on doit montrer, c'est que $A\subset A\cup\emptyset$, ce qui est à peu près évident (si $a\in A$ alors $[a\in A\ \text{ou}\ a\in\emptyset]$) et que $A\cup\emptyset\subset A$, ce qui l'est aussi (si $a\in A\cup\emptyset$, alors $[a\in A\ \text{ou}\ a\in\emptyset]$ et comme la deuxième branche de l'alternative, « $a\in\emptyset$ », est fausse, on en déduit que $a\in A$).
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Écoute,
les évidences logiques portent le nom "d'axiomes logiques". Et point de "table de vérité" ou autres usines à gaz ici. Tu es juste en train d'essayer de prouver un axiome. Voici la liste des axiomes logiques dispensés de justification (en mode informelle mais précis, le signe = accélère).

A ou B = B ou A

A et B = B et A

A et (B et C) = (A et B) et C

A ou (B ou C) = (A ou B) ou C

[(A ou B) => C ] = [(A=>C) et (B=>C) ]

(non(A)) = (A => (Tout est vrai))

(non(non(A))) = A

A=>(B=>A)

A = (A et A) = (A ou A)

[(A=>B) et (B=>C)] => (A=>C)

[(A et B) => C ] = [A=>(B=>C)]

A=> (A ou B)

Avec ça, tu as un système complet sur mesure, je t'ai soigné, c'est redondant. C'est considéré comme dispensé de justification et éternellement supposé dans tout échange mathématique sauf forte spécialisation logique.

Dis-moi lesquels tu serais tenté de ne pas accepter pour ta sensibilité personnelle, je te le prouverai plus en amont éventuellement.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Merci à tous pour votre aide
Je vais laisser "infuser" vos explications, j'espère que cela deviendra une évidence également pour moi dans quelques temps.
A bientôt
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Attention: les axiomes logiques, souvent qualifiés d'évidence, servent aussi de définition des connecteurs (ils les font marcher).

Donc ta relation au mot "ou" doit être examinée (par toi-même of course)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
D'accord merci,

OK : A ou B = B ou A

OK : A et B = B et A

OK : A et (B et C) = (A et B) et C

OK : A ou (B ou C) = (A ou B) ou C

KO : [(A ou B) => C ] = [(A=>C) et (B=>C) ]

KO : (non(A)) = (A => (Tout est vrai))

OK : (non(non(A))) = A

KO : A=>(B=>A)

OK : A = (A et A) = (A ou A)

KO : [(A=>B) et (B=>C)] => (A=>C)

KO : [(A et B) => C ] = [A=>(B=>C)]

KO : A=> (A ou B)
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
avatar
@Ilexiste
Si tu es intéressé par la logique, tu peux regarder les exercices proposés par cc dans ce fil [www.les-mathematiques.net]

Pour tes KO tu peux regarder [fr.wikipedia.org])

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par gebrane.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
PARFAIT: j'ai noté les SIX axiomes en face desquels tu écris "KO". Je te fais un topo avant minuit. (Là, je vais sortir un peu avant)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Merci c'est très gentil de votre part mais il n'y a pas d'urgence, je dois aussi y réfléchir, ne prenez pas tout ce temps pour cela.
Il est possible que même si vous le faites aujourd'hui cela ne sera pas forcément digéré aujourd'hui. Vraiment il n'y a pas d'urgence.
Encore merci.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Pas de souci:

sauf erreur de ma part, toutes les phrase que tu as cochées contiennent un =>, et réciproquement.

C'est le signe => dont tu voudrais un parsing?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Par exemple ici
A=> (A ou B) je comprendrais que A => A sans problème mais je ne vois pas que vient faire B ici.

Par exemple ici
[(A et B) => C ] = [A=>(B=>C)] je comprendrais que (A et B) => C mais je ne vois pas de manière évidente pourquoi c'est égal à [A=>(B=>C)].
Disons que dans [(A et B) => C ] je vois (A et B) comme une condition suffisante de C.
Alors que dans [A=>(B=>C)] c'est A qui est condition suffisante de (B=>C). Pour moi c'est loin d'être évident, j'espère sincèrement que ça le deviendra.

Merci encore mais n'y voyez pas de mission à essayer de m'expliquer ce qui devrait normalement venir de manière aisée pour d'autres.
Il suffit peut-être que j'y réfléchisses encore et encore.
En tous les cas merci pour tout.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Pour le deuxième que tu commentes je peux te convaincre immédiatement, en principe.

Es-tu d'accord que tu comprends la même chose que ce soit 1 ou que ce soit 2 ci-dessous qui t'est dit?

1/ Si tu manges alors si tu es riche alors nous irons danser

2/ Si tu manges et tu es riche alors nous irons danser.


Le "alors si" est transformé en "et".

3/ Si A alors si B alors C

4/ Si (A et B) alors C


(3) et (4) sont compris comme disant la même chose par les gens et la science.

Rappel: A=>B est une abréviation de Si A alors B

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
avatar
.

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par gebrane.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Il est utile de connaître la déduction naturelle.
Donnons les règles de raisonnement *classique* pour les connecteurs propositionnels: Par ensemble d'hypothèses on veut dire une liste (éventuellement vide) pouvant comprendre des répétitions ou non. Si K est une liste et F un énoncé, K+F désigne la liste obtenue en ajoutant F à K. Je ne les mets pas en latex exceptionnellement comme ça on peut les citer facilement.
"non(A)" est considéré comme l'abréviation de "A => faux".

Soit H un ensemble d'hypothèses.

-Règles structurelles:

axiome) Si A est dans H, A est prouvable en supposant H
affaiblissement) Si H est inclus dans K et A est prouvable en supposant H alors A est prouvable en supposant K


-Règles d'introduction (comment montrer un énoncé contenant un symbole logique spécifique):

I/\°) Pour prouver "A et B" en supposant H, on prouve A en supposant H et on prouve B en supposant H
I\/°) Pour prouver "A ou B" en supposant H, on prouve au moins une des deux phrases A,B en supposant H
I=>°) Pour prouver "A implique B" en supposant H, on prouve B en supposant H+A (on dit "supposons A...")
Ineg°) Pour prouver "non A" en supposant H, on prouve "faux" en rajoutant A à H ("non A" signifie la même chose que "A implique faux" et on utilise en fait la règle I=>°)


-Règles d'exploitation de résultats déjà démontrés:

E/\°) Si "A et B" est prouvé en supposant H, alors A est prouvable en supposant H et B l'est aussi.
E\/°) Si "A ou B" est prouvé en supposant H, alors si de plus (i) C est prouvé en supposant H+A (ii) C est prouvé en supposant H+B, alors C est prouvé en supposant H seul (distinction de cas)
E=>°) Si "A" ainsi que "A implique B" sont prouvés en supposant H alors B est prouvable en supposant H (modus ponens)
RPA) Si "non(non A)" est prouvé en supposant H alors A est prouvable en supposant H ("raisonnement par l'absurde").


#############
Exemples:
1°) "ex falto sequitur quod libet" ("EA dans la suite"): si faux est prouvable à partir de H, n'importe quel énoncé A est prouvable à partir de H.
-en effet, faux est aussi prouvable à partir de H+ (A implique faux) (affaiblissement).
Donc (A implique faux) implique faux, c'est-à-dire non(non(A)), est prouvable dans H (règle I=>). Donc A est prouvable dans H (par RPA).

NB:le système dans lequel la règle RPA) est remplacée par EA ci-dessus est appelé "logique intuitionniste" et il s'avère que le RPA n'y est plus valide (on ne PEUT PAS prouver cette règle avec EA et les autres).


Montrons comment obtenir l'équivalence de l'exo. "$x\in A\cup B$" veut dire "$x\in A$ ou "$x\in B$".
Si $F$ et $G$ sont des énoncés, $F\Leftrightarrow G$ signifie $(F \Rightarrow G) \wedge (G \Rightarrow F)$ et donc pour prouver $F\Leftrightarrow G$, on prouve $F \Rightarrow G$ et on prouve $G \Rightarrow F$ compte tenu de I/\ ci-dessus.

bref on veut $x\in A\cup \emptyset$ si et seulement si $x\in A$.

La liste des hypothèses courantes ne contient que $non(x\in \emptyset)$ (cf définition de l'ensemble vide qui est implicite dans l'exo).

(i) Supposons $x\in A$. Alors $x\in A$ ou $x\in \emptyset$ (I\/°). Donc $x\in A \Rightarrow (x \in A \wedge x \in \emptyset)$ (I=>°)

(ii) Supposons $x \in A\vee x \in \emptyset$. Distinguons des cas (E\/°)
(c1) si de plus $x \in A$ alors $x\in A$ (règle "axiome")
(c2) si de plus $x\in \emptyset$ alors comme on a $non(x\in \emptyset)$ (i.e. $(x\in \emptyset) \Rightarrow faux$) prouvable ( à partir de la liste en cours, grâce à la règle d'affaiblissement, puis d'axiome).
Donc faux est prouvable (règle E=>°).
Donc $x\in A$ est prouvable (règle EA ci-dessus).

On a prouvé $x\in A$ dans (c1) et (c2) donc $x\in A$ est prouvé (E\/°)sous l'hypothèse $x\in A \cup \emptyset$.
Donc (E=>°) $x\in A \cup \emptyset \Rightarrow x \in A$ est prouvable.

Donc (I/\°) l'équivalence de l'exo est prouvable.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Foys.
Dom
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Je ne suis pas du tout spécialiste mais j'aurais ajouté une étape de transition pour convaincre :

1/ Si (tu manges) alors (si tu es riche alors nous irons danser)

1,5/ Si (tu manges) et Si (tu es riche) alors (nous irons danser)

2/ Si (tu manges et tu es riche) alors (nous irons danser).

A]
Est-ce une bêtise ce "1,5" ?
Et même je m'interroge sur une question de syntaxe.(?)

B]
Autre question :
Au lieu de convaincre avec un contexte, je pressens qu'on essaye de se passer de table de vérités.
N'est-ce pas faisable, du coup, avec moins d'axiomes, de prouver les autres avec des V et des F ?
C'est toujours la question que je me pose : quand on utilise les V et les F (ou les 0 et les 1), qu'est-ce qu'on fait exactement ? Un morphisme de quelque chose ?
Cela a déjà été dit, certainement...?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
1/ Déjà "allège-toi", j'ai remarqué que tu vas chercher trop loin. Ces connecteurs sont des petits connecteurs tot gentils, avec des règles de fonctionnement. Il n'y a pas de "philosophie" derrière, on est en maths.

Tu as coché chaque fois qu'il y avait un "=>".

2/ En maths, (A=>B) est juste une abréviation de "Si A alors B" et en maths classiques, l'expression

"si A alors B"
veut juste dire
"non (A et pas B)"

De plus, non (X et Y) = (nonX) ou (nonY), ce qui fait que (A=>B) abrège juste (nonA) ou B

Je te retraduis juste tes "KO" dans ce contexte, en faisant de simples copiés-collés.



KO1 : [(A ou B) => C ] = [(A=>C) et (B=>C) ]

KO2 : (non(A)) = (A => (Tout est vrai))

KO3 : A=>(B=>A)

KO4 : [(A=>B) et (B=>C)] => (A=>C)

KO5 : [(A et B) => C ] = [A=>(B=>C)]

KO6 : A=> (A ou B)




KO 6 : (nonA) ou A ou B

KO3: (nonA) ou ( nonB) ou A

Pour le KO4, il te dit juste que si [si A alors B] et [si B alors C] alors [si A alors C]. Tu en doutes?

La traduction du KO1: [ (ni A, ni B) ou C ] = [ [([nonA] ou C)] et [([nonB] ou C)] ]

La traduction du KO2: [nonA] = [ (nonA) ou Tout est vrai] (c'est quasiment ton fil cet exemple)

J'ai traité KO5 dans un post précédent

J'en reviens à l'évidence "si A alors (A ou B)" qui t'a fait ouvrir ton post.

Dis-moi ce que tu penses de "si (A et B) alors A"

Je crois surtout que le problème vient de ce que tu cherches "quelque chose" là dedans qu'il n'y a pas besoin de chercher. Si un agence de voyage te demande de fournir :

une attestation du club d'équitation ou un contrat d'assurance pour garantir que tu es couvert quand tu monteras à cheval en Alaska, je suis convaincu que tu comprends très bien que l'agence sera satisfaite si tu lui amènes un contrat d'assurance. Tu ne vas pas lui dire "pardon, mais vous aviez dit "ou un certif d'équitation" et je ne l'ai pas, vous devez être en colère"

En maths, pour très exactement la même raison, si tu prouves que $5^x = 22$, tu as gagné au jeu de prouver que $5^x=22$ ou $10-x = 11$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Le temps que je tape, il y a eu de la dense visite. J'adore le post de Foys!!! Quand il existe va le voir, il va culpabiliser, lui qui me disait de ne pas trop me fatiguer grinning smiley

@dom: j'ai hésité longtemps avant de NE PAS METTRE le "et si".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Bonjour
Et merci à tous de vous donner de la peine de me répondre aussi précisément/rigoureusement. Il me faut un peu de temps pour lire et assimiler ce que vous écrivez, c'est à dire qu'il me faut travailler vos réponses.
Merci encore
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
@Ilexiste, je t'ai mis le post de foys dans un et je joins aussi le latex pour foys, s'li veut changer des détails.

Vois déjà ce que tu en penses et n'hésite pas à revenir vers nous pour des questions. L'avantage du pdf est que tu peux l'imprimer et te balader avec et j'ai rajouté des lignes sautées.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - postDeFoysAExiste.tex (3.7 KB)
ouvrir | télécharger - postDeFoysAExiste.pdf (80.4 KB)
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
MERCI MERCI MERCI
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
avatar
Bonjour,

Sinon, il y a le critère métamathématique suivant : soit $\mathscr{T}$ une théorie mathématique (comportant a minima certains schémas d'axiomes logiques qui restent à préciser), $A$ et $B$ des relations de $\mathscr{T}$. Si $\mbox{non }B$ est un théorème de $\mathscr{T}$, alors $A\mbox{ ou }B\Leftrightarrow{}A$ est un théorème de $\mathscr{T}$.

Cordialement,

Thierry
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
@christophe c
Dans ton pdf tu as oublié la partie suivante:
Citation

Exemples:
1°) "ex falto sequitur quod libet" ("EA dans la suite"): si faux est prouvable à partir de H, n'importe quel énoncé A est prouvable à partir de H.
-en effet, faux est aussi prouvable à partir de H+ (A implique faux) (affaiblissement).
Donc (A implique faux) implique faux, c'est-à-dire non(non(A)), est prouvable dans H (règle I=>). Donc A est prouvable dans H (par RPA).

NB:le système dans lequel la règle RPA) est remplacée par EA ci-dessus est appelé "logique intuitionniste" et il s'avère que le RPA n'y est plus valide (on ne PEUT PAS prouver cette règle avec EA et les autres).

Je m'en sers dans la résolution de l'exo ($x\in \emptyset$ donc $faux$ donc $x\in A$).
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Oui, pardon, je crois me rappeler que j'avais enlevé un passage en voyant "logique intuitionniste" en me disant que "ilexiste" était déjà gâté. Mais je t'ai mis aussi le tex en lien de toute façon, j'avais surtout fait ce tex pour des raisons matérielles, à savoir possibilité d'imprimer, sauts de lignes ajoutés etc, car le post est dense. N'hésite pas à en faire ce que tu veux, considère-le comme le tien, il n'y a pas de compte à me rendre dessus.

Je peux t'envoyer le preambule tex si besoin (qui élargit les lignes, car je crois savoir que le tex par défaut fait des patés très étroits et laisse des marges gauche et droite et énormes)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Bonjour
Je peux essayer de le faire également, je ne connais pas Latex mais j'ai votre fichier et si vous m'envoyer ce qui manque (préambule) je vais essayer avec ce qu'il y a sur le forum à ce sujet.
Merci.
Bon dimanche à tous.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Je me pince : tant de lignes de considérations savantes pour juste prouver que $A\cup\emptyset=A$ !? Est-ce bien raisonnable ? Bon, si les logiciens peuvent payer leur bifteck avec ça, tant mieux pour eux. J'aimerais que Christophe en soit.
Bonne journée.
Fr. Ch.
31/05/2020 (Pentecôte)
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Non, non, ne t'inquiète pas, je parlais à foys, le préambule c'est un machin qui permet de transformer le fichier en pdf lisible, ce n'est ps du contenu. quant au passage qui ne figure pas dans le fichier, foys l'a rappelé juste au dessus, donc tu as tout.

Mais le plus important c'st que tu nous dises ton positionnement général, car a priori aucun matheux n'a pas problème avec A=> (A ou X)

Foys a été très généreux et tenté d'être exhaustif en faisant passer l'idée que tu pars "forcément" d'axiomes ou d'hypothèses admises et DEDUIT, via des règles, de nouvelles choses.

C'est la règle de départ "si A est dans Gamma il n'y a rien à faire".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par christophe c.
Dom
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Ha ! Je suis d’accord avec Chaurien sur l’objet du titre du fil.
Il suffit de savoir qu’il n’existe aucun élément dans l’ensemble vide (ce qui est ce qu’on appelle l’ensemble vide eye rolling smiley).

Par contre la suite du fil m’intéresse : une liste d’axiomes, etc.

Au fait, j’avais posé une question bleue ici : [www.les-mathematiques.net] (Christophe ou autre d’ailleurs, je dirige peu mes questions).

Si c’est une réponse longue, je peux créer un fil bien entendu.
C’est lié à la listes d’axiomes « OK » et « KO » où il me semble que certains se déduisent d’autres avec les Vrai ou Faux (Tables de Vérités, TDV). Il faudrait « un précis » de logique quelque part. Un fascicule qui donne la sémantique de « La Logique ». Je suis certain qu’en fouillant dans le forum on a tout ce qui est suffisant.

Je me lancerai peut-être dans un fil pour « classifier » dans un pdf qui sera modifié à la demande.
Ou alors le projet est vain, il faut un pavé...(?)
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
avatar
Bonjour,
Il me semble bien qu'Ilexiste a compris qu'il n'y a pas d'éléments dans l'ensemble vide et que n'importe quelle proposition qui commence par "quel que soit $x$ dans l'ensemble vide" est forcément fausse.
Ce qui est curieux, c'est de ne pas comprendre qu'il suffit que la proposition "P" soit vraie pour que "P ou Q" soit vraie (que Q soit vraie ou fausse).
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Je ne suis pas si sûr qu'un précis de logique soit suffisant en l'état, dom, et si oui, Foys l'aura somme toute, plutôt fourni. J'ai suivi attentivement les réactions de ilexiste et il a coché "KO" toutes les phrases contenant le signe => sans distinction.

Je pense qu'il faut attendre qu'il réagisse pour plus d'analyse, car peut-être dira-t-il "ah pais oui, pardon, je comprends".

@PM, si "ou" avait été défini par la définition de "et", ce serait normal de ne pas comprendre. on est face à des définitions.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Je suis allaé voir ta question bleue dom: bin ce n'est ni plus ni moins que comme les tables de multiplication, encore que, c'est "un peu plus", car on peut les voir comme des définitions DE DEPART des connecteurs. Rien de plus, rien de moins.

Bon, mais l'usage des TV n'est pas très recommandable, puisqu'il s'agit de sémantique et non de règles de preuves. En outre, quand on creuse, on découvre souvent que l'invité est en désaccord avec un point de la TV ce qui fait que ça n'avance à rien de "l'affirmer". De plus, connaitre la définition de "et" et affirmer son associativité via les TV, bonjour et ce n'est qu'un exemple.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Ok.
Tu as raison, dans ce fil précis, attendons les échanges avec Ilexiste.

Je vais essayer de comprendre cette distinction entre "sémantique" et "règles de preuve".
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Citation
Dom
Il suffit de savoir qu’il n’existe aucun élément dans l’ensemble vide (ce qui est ce qu’on appelle l’ensemble vide eye rolling smiley).

Si { } ne contient aucun élément pourquoi serait-il un ensemble ?
L'ensemble vide est très énigmatique pour la plupart des gens, et le fait d'avoir des règles sur sa manipulation n'éclaire pas la lanterne. L'existence de cet ensemble est un axiome, un choix dirons nous arbitraire. Et comme tous les choix que l'on fait il y a derrière ce choix une ratio, une raison. Raison claire pour les mathématiciens, raison assez nébuleuse pour le reste des communs mortels.
Donc non, il n'y a rien d'évident dans cet object insignifiant et pourtant très significatif aussi. drinking smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Oh c'est juste que savoir que 3+5 = 8 ne dit pas comment on dispose un texte avec des donc qui s'enchainent.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Je répondais à dom

@Serge: la difficulté de ilexiste est un peu plus générale quand-même. Elle est l'ignorance qu'une preuve est une forme (pour résumer)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Citation
SERGE_S
Donc non, il n'y a rien d'évident dans cet object insignifiant et pourtant très significatif aussi.
La peur de l'ensemble vide est le résultat d'un déficit de formation en logique de base, malheureusement encore très répandu.

Citation
SERGE_S
Si { } ne contient aucun élément pourquoi serait-il un ensemble ?
Le schéma de compréhension (1), l'existence d'au moins un ensemble (2), et les outils linguistiques très basiques des mathématiques(3) forcent l'existence d'un ensemble vide.

Le schéma de compréhension est la collection de propriétés suivantes: si $P$ est une propriété et $E$ un ensemble, il existe un ensemble $F$ dont les éléments sont exactement les éléments de $E$ qui satisfont $P$. Autrement dit $F$ est tel que pour tout $y$, $y\in F$ si et seulement si ($y\in E$ et $P(y)$). Cet ensemble est noté "$\{x\in E \mid P(x)\}$".

Soit $V$ un ensemble d'après (2).
L'ensemble $\{x \in V \mid x\neq x\}$ est alors vide.

Si vous refusez l'ensemble vide, demandez-vous laquelle des affirmations (1), (2) (ou (3) avec "$\neq$") vous refusez aussi.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
@ Foys : je vous remercie pour l'explication détaillée. Mais l'ensemble vide ne me procure pas des cauchemars la nuit. grinning smiley J'aurais dû commencer mon dernier post plus haut avec la phrase "tout ce qui suit est dans un ton sarcastique" pour eviter tout malentendu.

Il n'en reste pas moins que l'ensemble vide est un des ces objets mathématiques parmi d'autres qui est à mon avis légèrement surprenant.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a six semaines
Quand on pousse on voit vite que c'est une fenêtre vers l'extérieur de l'univers de ZF dans lequel on taffe et c'est assez cool à gérer. Il n'est pas vide du tout, en fait grinning smiley Mais oui, il est inclus dans tous les autres.

Maintenant attention sur son côté mystérieux, car c'est tout de même la base: On souvent des minimums et des maximums en maths, et en tant que minimum pour $\subset$, c'est dommage de le regarder de travers.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a cinq semaines
christophe c écrivait:
-------------------------------------------------------
> Mais le plus important c'st que tu nous dises ton
> positionnement général, car a priori aucun
> matheux n'a pas problème avec A=> (A ou X)

1/ OK : A ou B = B ou A

2/ OK : A et B = B et A

3/ OK : A et (B et C) = (A et B) et C

4/ OK : A ou (B ou C) = (A ou B) ou C

5/ KO <=OK: [(A ou B) => C ] = [(A=>C) et (B=>C) ]
[non(A ou B) ou C] revient à [(non(A) et non(B)) ou C] ce qui peut s'écrire (par distributivité de "ou") [(non(A) ou C) et (non(B) ou C)] c'est à dire [(A => C) et (B => C)]

6/ KO : (non(A)) = (A => (Tout est vrai)) (TOUJOURS KO)

7/ OK : (non(non(A))) = A

8/ KO <=OK : A=>(B=>A) : non(A) ou (non(B) ou A) revient à (non(A) ou A) ou non(B), or (non(A) ou A) est toujours vrai quelque soit la valeur de vérité de B, donc A=>(B=>A) est vrai quelque soit la valeur de vérité de A et quelque soit la valeur de vérité de B.

9/ OK : A = (A et A) = (A ou A)

10/ KO <=OK : [(A=>B) et (B=>C)] => (A=>C)
D'accord par transitivité.

11/ KO <=OK : [(A et B) => C ] = [A=>(B=>C)]

[(A et B) => C ] peut s'écrire [non(A et B) ou C] ce qui revient à écrire [(non(A) ou (non(B)) ou C] c'est à dire [non(A) ou (non(B) ou C)] qui se note A => (B=>C)


12/ KO <=OK : A => (A ou B)
A => (A ou B) donne non(A) ou (A ou B) c'est à dire (non(A) ou A) ou B, (non(A) ou A) est toujours vrai, donc (non(A) ou A) ou B est toujours vrai peu importe la valeur de vérité de B et peu importe la valeur de vérité de A.

Mais lorsque l'on écrit A => quelque chose, est-ce que l'on suppose toujours A vrai? Je veux dire qu'on ajoute toujours A à la liste H? Tout ce qui est dans la liste H est-il supposé toujours vrai?

> Foys a été très généreux et tenté d'être
> exhaustif en faisant passer l'idée que tu pars
> "forcément" d'axiomes ou d'hypothèses admises et
> DEDUIT, via des règles, de nouvelles choses.

Oui merci @Foys, je vois bien qu'il me prend par la main pour me montrer, mais je ne parviens pas à utiliser la méthode en essayant par exemple de montrer une évidence par exemple (A ou B) <=> (B ou A) juste pour faire l'exercice. Je ne vois pas quoi mettre dans la liste H pour commencer à utiliser les règles d'introduction et les règles d'exploitation. Il me faut plus de temps. Je ne comprends pas le mot "prouvable", je cherche toujours à me rattacher à une valeur de vérité "vrai" ou "faux".

Je vous devais une réponse c'est pourquoi je vous écris aujourd'hui mais je suis encore très loin.

Peut-être pouvez-vous me conseiller une bibliographie pour apprendre les mathématiques?
Merci encore pour votre aide.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a cinq semaines
avatar
Bonjour,

@Ilexiste : je t'ai pourtant donné une piste ici-même pour répondre de ton problème.

Explication détaillée : clairement $x\in{}A\Rightarrow(x\in{}A\mbox{ ou }x\in\emptyset)$ est trivial (enfin, je l'espère !). Inversement, l'on suppose que l'on a $x\in{}A\mbox{ ou }x\in\emptyset$. Comme l'on a visiblement $x\in{}A\Rightarrow{}x\in{}A$, puis $x\in{}\emptyset\Rightarrow{}x\in{}A$, en vertu du fait que l'on a $x\not\in{}\emptyset$, alors la méthode par disjonction des cas nous donne le résultat voulu, à savoir $x\in{}A\mbox{ ou }x\in\emptyset\Rightarrow{x\in{}A}$.

Cordialement,

Thierry



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Thierry POMA.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a cinq semaines
Bonjour,
Vous avez raison merci.
Lorsque j'écris que je suis encore loin. Je voulais dire que je n'étais pas encore capable d'utiliser la méthode proposée par Foys.

C'est dans le sens $x\in{}A\Rightarrow(x\in{}A\mbox{ ou }x\in\emptyset)$ qui n'était pas évident pour moi. Depuis que j'ai vu que $A\Rightarrow(A\mbox{ ou }B)$ n'était plus un problème pour moi, ça passe mieux.

En revanche, dans l'autre sens c'était compris depuis le début.
Citation
Si l'on suppose que l'on a $x\in{}A\mbox{ ou }x\in\emptyset$. Comme l'on a visiblement $x\in{}A\Rightarrow{}x\in{}A$, puis $x\in{}\emptyset\Rightarrow{}x\in{}A$, en vertu du fait que l'on a $x\not\in{}\emptyset$, alors la méthode par disjonction des cas nous donne le résultat voulu, à savoir $x\in{}A\mbox{ ou }x\in\emptyset\Rightarrow{x\in{}A}$.


La démonstration de $A\cup\emptyset=A$ ne me pose pas de problème grâce à vos explications.

Merci et bonne journée.
Re: Démontrer que $A\cup\emptyset=A$
il y a cinq semaines
Citation

6/ KO : (non(A)) = (A => (Tout est vrai)) (TOUJOURS KO)

Bon c'est déjà génial, il ne reste plus qu'un seul item.

Je te le prouve.

supposons non(A)

donc (nonTout => nonA)
donc non non A => non non Tout
donc A => non non Tout
donc A=>Tout

La réciproque:

Supposons A=> Tout

donc nonTout => non A
donc non A (car non Tout)

J'espère que ce dernier "KO", va devenir "OK" winking smiley

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