Démontrer que $A\cup\emptyset=A$

X => (X ou Y)

est un axiome logique. Il n'y a rien à justifier (tu donnes l'impression de confondre "ou" avec "et", non?)

Dansle deuxième sens, ta justification est inélégante. Si $x\in A$ ou $x\in \emptyset$ alors $x\in A$ ou $x\in A$, donc $x\in A$. Ca colle mieux avec TA déclaration que $\emptyset\subset A$.

Ce qui devrait être évident, c'est qu'il n'est pas possible de démontrer une phrase de la forme « ou P », dans laquelle P est une proposition. La conjonction « ou » se met entre deux propositions, disons « Q » et « P », pour former une troisième proposition, « Q ou P ». Pour démontrer que « Q ou P » est vraie, il suffit de démontrer que « Q » est vraie – il suffit aussi de démontrer que « P » est vraie mais ce n'est pas la peine de faire les deux.

On ne peut pas démontrer l'implication « $A\implies A\cup\emptyset$ » parce que « $A$ » et « $A\cup\emptyset$ » ne sont pas des énoncés valides / propositions / assertions mais des noms. Un nom n'a pas de valeur de vérité. Un nom ne peut pas être mis à la place d'une proposition (une phrase avec un verbe) autour d'un connecteur logique.

Ce qu'on doit montrer, c'est que $A\subset A\cup\emptyset$, ce qui est à peu près évident (si $a\in A$ alors $[a\in A\ \text{ou}\ a\in\emptyset]$) et que $A\cup\emptyset\subset A$, ce qui l'est aussi (si $a\in A\cup\emptyset$, alors $[a\in A\ \text{ou}\ a\in\emptyset]$ et comme la deuxième branche de l'alternative, « $a\in\emptyset$ », est fausse, on en déduit que $a\in A$).

PARFAIT: j'ai noté les SIX axiomes en face desquels tu écris "KO". Je te fais un topo avant minuit. (Là, je vais sortir un peu avant)

Pas de souci:

sauf erreur de ma part, toutes les phrase que tu as cochées contiennent un =>, et réciproquement.

C'est le signe => dont tu voudrais un parsing?

Pour le deuxième que tu commentes je peux te convaincre immédiatement, en principe.

Es-tu d'accord que tu comprends la même chose que ce soit 1 ou que ce soit 2 ci-dessous qui t'est dit?

1/ Si tu manges alors si tu es riche alors nous irons danser

2/ Si tu manges et tu es riche alors nous irons danser.

Le "alors si" est transformé en "et".

3/ Si A alors si B alors C

4/ Si (A et alors C

(3) et (4) sont compris comme disant la même chose par les gens et la science.

Rappel: A=>B est une abréviation de Si A alors B

Il est utile de connaître la déduction naturelle.
Donnons les règles de raisonnement *classique* pour les connecteurs propositionnels: Par ensemble d'hypothèses on veut dire une liste (éventuellement vide) pouvant comprendre des répétitions ou non. Si K est une liste et F un énoncé, K+F désigne la liste obtenue en ajoutant F à K. Je ne les mets pas en latex exceptionnellement comme ça on peut les citer facilement.
"non(A)" est considéré comme l'abréviation de "A => faux".

Soit H un ensemble d'hypothèses.

-Règles structurelles:

axiome) Si A est dans H, A est prouvable en supposant H
affaiblissement) Si H est inclus dans K et A est prouvable en supposant H alors A est prouvable en supposant K


-Règles d'introduction (comment montrer un énoncé contenant un symbole logique spécifique):

I/\°) Pour prouver "A et B" en supposant H, on prouve A en supposant H et on prouve B en supposant H
I\/°) Pour prouver "A ou B" en supposant H, on prouve au moins une des deux phrases A,B en supposant H
I=>°) Pour prouver "A implique B" en supposant H, on prouve B en supposant H+A (on dit "supposons A...")
Ineg°) Pour prouver "non A" en supposant H, on prouve "faux" en rajoutant A à H ("non A" signifie la même chose que "A implique faux" et on utilise en fait la règle I=>°)


-Règles d'exploitation de résultats déjà démontrés:

E/\°) Si "A et B" est prouvé en supposant H, alors A est prouvable en supposant H et B l'est aussi.
E\/°) Si "A ou B" est prouvé en supposant H, alors si de plus (i) C est prouvé en supposant H+A (ii) C est prouvé en supposant H+B, alors C est prouvé en supposant H seul (distinction de cas)
E=>°) Si "A" ainsi que "A implique B" sont prouvés en supposant H alors B est prouvable en supposant H (modus ponens)
RPA) Si "non(non A)" est prouvé en supposant H alors A est prouvable en supposant H ("raisonnement par l'absurde").


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Exemples:
1°) "ex falto sequitur quod libet" ("EA dans la suite"): si faux est prouvable à partir de H, n'importe quel énoncé A est prouvable à partir de H.
-en effet, faux est aussi prouvable à partir de H+ (A implique faux) (affaiblissement).
Donc (A implique faux) implique faux, c'est-à-dire non(non(A)), est prouvable dans H (règle I=>). Donc A est prouvable dans H (par RPA).

NB:le système dans lequel la règle RPA) est remplacée par EA ci-dessus est appelé "logique intuitionniste" et il s'avère que le RPA n'y est plus valide (on ne PEUT PAS prouver cette règle avec EA et les autres).


Montrons comment obtenir l'équivalence de l'exo. "$x\in A\cup B$" veut dire "$x\in A$ ou "$x\in B$".
Si $F$ et $G$ sont des énoncés, $F\Leftrightarrow G$ signifie $(F \Rightarrow G) \wedge (G \Rightarrow F)$ et donc pour prouver $F\Leftrightarrow G$, on prouve $F \Rightarrow G$ et on prouve $G \Rightarrow F$ compte tenu de I/\ ci-dessus.

bref on veut $x\in A\cup \emptyset$ si et seulement si $x\in A$.

La liste des hypothèses courantes ne contient que $non(x\in \emptyset)$ (cf définition de l'ensemble vide qui est implicite dans l'exo).

(i) Supposons $x\in A$. Alors $x\in A$ ou $x\in \emptyset$ (I\/°). Donc $x\in A \Rightarrow (x \in A \wedge x \in \emptyset)$ (I=>°)

(ii) Supposons $x \in A\vee x \in \emptyset$. Distinguons des cas (E\/°)
(c1) si de plus $x \in A$ alors $x\in A$ (règle "axiome")
(c2) si de plus $x\in \emptyset$ alors comme on a $non(x\in \emptyset)$ (i.e. $(x\in \emptyset) \Rightarrow faux$) prouvable ( à partir de la liste en cours, grâce à la règle d'affaiblissement, puis d'axiome).
Donc faux est prouvable (règle E=>°).
Donc $x\in A$ est prouvable (règle EA ci-dessus).

On a prouvé $x\in A$ dans (c1) et (c2) donc $x\in A$ est prouvé (E\/°)sous l'hypothèse $x\in A \cup \emptyset$.
Donc (E=>°) $x\in A \cup \emptyset \Rightarrow x \in A$ est prouvable.

Donc (I/\°) l'équivalence de l'exo est prouvable.

1/ Déjà "allège-toi", j'ai remarqué que tu vas chercher trop loin. Ces connecteurs sont des petits connecteurs tot gentils, avec des règles de fonctionnement. Il n'y a pas de "philosophie" derrière, on est en maths.

Tu as coché chaque fois qu'il y avait un "=>".

2/ En maths, (A=>B) est juste une abréviation de "Si A alors B" et en maths classiques, l'expression

"si A alors B"
veut juste dire
"non (A et pas "

De plus, non (X et Y) = (nonX) ou (nonY), ce qui fait que (A=>B) abrège juste (nonA) ou B

Je te retraduis juste tes "KO" dans ce contexte, en faisant de simples copiés-collés.



KO1 : [(A ou => C ] = [(A=>C) et (B=>C) ]

KO2 : (non(A)) = (A => (Tout est vrai))

KO3 : A=>(B=>A)

KO4 : [(A=>B) et (B=>C)] => (A=>C)

KO5 : [(A et => C ] = [A=>(B=>C)]

KO6 : A=> (A ou




KO 6 : (nonA) ou A ou B

KO3: (nonA) ou ( nonB) ou A

Pour le KO4, il te dit juste que si [si A alors B] et [si B alors C] alors [si A alors C]. Tu en doutes?

La traduction du KO1: [ (ni A, ni ou C ] = [ [([nonA] ou C)] et [([nonB] ou C)] ]

La traduction du KO2: [nonA] = [ (nonA) ou Tout est vrai] (c'est quasiment ton fil cet exemple)

J'ai traité KO5 dans un post précédent

J'en reviens à l'évidence "si A alors (A ou " qui t'a fait ouvrir ton post.

Dis-moi ce que tu penses de "si (A et alors A"

Je crois surtout que le problème vient de ce que tu cherches "quelque chose" là dedans qu'il n'y a pas besoin de chercher. Si un agence de voyage te demande de fournir :

une attestation du club d'équitation ou un contrat d'assurance pour garantir que tu es couvert quand tu monteras à cheval en Alaska, je suis convaincu que tu comprends très bien que l'agence sera satisfaite si tu lui amènes un contrat d'assurance. Tu ne vas pas lui dire "pardon, mais vous aviez dit "ou un certif d'équitation" et je ne l'ai pas, vous devez être en colère"

En maths, pour très exactement la même raison, si tu prouves que $5^x = 22$, tu as gagné au jeu de prouver que $5^x=22$ ou $10-x = 11$

@christophe c
Dans ton pdf tu as oublié la partie suivante:

Exemples:
1°) "ex falto sequitur quod libet" ("EA dans la suite"): si faux est prouvable à partir de H, n'importe quel énoncé A est prouvable à partir de H.
-en effet, faux est aussi prouvable à partir de H+ (A implique faux) (affaiblissement).
Donc (A implique faux) implique faux, c'est-à-dire non(non(A)), est prouvable dans H (règle I=>). Donc A est prouvable dans H (par RPA).

NB:le système dans lequel la règle RPA) est remplacée par EA ci-dessus est appelé "logique intuitionniste" et il s'avère que le RPA n'y est plus valide (on ne PEUT PAS prouver cette règle avec EA et les autres).

Je m'en sers dans la résolution de l'exo ($x\in \emptyset$ donc $faux$ donc $x\in A$).

Non, non, ne t'inquiète pas, je parlais à foys, le préambule c'est un machin qui permet de transformer le fichier en pdf lisible, ce n'est ps du contenu. quant au passage qui ne figure pas dans le fichier, foys l'a rappelé juste au dessus, donc tu as tout.

Mais le plus important c'st que tu nous dises ton positionnement général, car a priori aucun matheux n'a pas problème avec A=> (A ou X)

Foys a été très généreux et tenté d'être exhaustif en faisant passer l'idée que tu pars "forcément" d'axiomes ou d'hypothèses admises et DEDUIT, via des règles, de nouvelles choses.

C'est la règle de départ "si A est dans Gamma il n'y a rien à faire".

Bonjour,
Il me semble bien qu'Ilexiste a compris qu'il n'y a pas d'éléments dans l'ensemble vide et que n'importe quelle proposition qui commence par "quel que soit $x$ dans l'ensemble vide" est forcément fausse.
Ce qui est curieux, c'est de ne pas comprendre qu'il suffit que la proposition "P" soit vraie pour que "P ou Q" soit vraie (que Q soit vraie ou fausse).

Je suis allaé voir ta question bleue dom: bin ce n'est ni plus ni moins que comme les tables de multiplication, encore que, c'est "un peu plus", car on peut les voir comme des définitions DE DEPART des connecteurs. Rien de plus, rien de moins.

Bon, mais l'usage des TV n'est pas très recommandable, puisqu'il s'agit de sémantique et non de règles de preuves. En outre, quand on creuse, on découvre souvent que l'invité est en désaccord avec un point de la TV ce qui fait que ça n'avance à rien de "l'affirmer". De plus, connaitre la définition de "et" et affirmer son associativité via les TV, bonjour et ce n'est qu'un exemple.

Dom a écrit:

Il suffit de savoir qu’il n’existe aucun élément dans l’ensemble vide (ce qui est ce qu’on appelle l’ensemble vide 8-)).

Si { } ne contient aucun élément pourquoi serait-il un ensemble ?
L'ensemble vide est très énigmatique pour la plupart des gens, et le fait d'avoir des règles sur sa manipulation n'éclaire pas la lanterne. L'existence de cet ensemble est un axiome, un choix dirons nous arbitraire. Et comme tous les choix que l'on fait il y a derrière ce choix une ratio, une raison. Raison claire pour les mathématiciens, raison assez nébuleuse pour le reste des communs mortels.
Donc non, il n'y a rien d'évident dans cet object insignifiant et pourtant très significatif aussi. :)o

Je répondais à dom

@Serge: la difficulté de ilexiste est un peu plus générale quand-même. Elle est l'ignorance qu'une preuve est une forme (pour résumer)

@ Foys : je vous remercie pour l'explication détaillée. Mais l'ensemble vide ne me procure pas des cauchemars la nuit. :-D J'aurais dû commencer mon dernier post plus haut avec la phrase "tout ce qui suit est dans un ton sarcastique" pour eviter tout malentendu.

Il n'en reste pas moins que l'ensemble vide est un des ces objets mathématiques parmi d'autres qui est à mon avis légèrement surprenant.