Quelle est la question ?
Ce que tu écris n'est certainement pas une convention de la théorie des ensembles.
C'est une conséquence des définitions quand on travaille dans le treillis des parties d'un ensemble $E$.
Une justification : la moindre des choses que l'on attende des intersections c'est que pour tout ensembles d'indices $I$ et $J$ et toutes familles $(A_i)_{i \in I}$ et $(A_i)_{i \in J}$ de parties de $E$, on ait $$\Big(\bigcap_{i \in I} A_i \Big) \cap \Big(\bigcap_{i \in J} A_i \Big) = \bigcap_{i \in I \cup J} A_i.$$ Cela impose que $$\bigcap_{i \in \emptyset} A_i = E$$ puisque pour tout ensemble d'indices $I$ et toute famille de parties $(A_i)_{i \in I}$ on veut que $$\Big(\bigcap_{i \in I} A_i \Big) \cap \Big(\bigcap_{i \in \emptyset} A_i \Big) = \bigcap_{i \in I} A_i.$$
Ce n'est pas une convention. C'est une conséquence de la définition de l'intersection d'une famille $(A_i)_{i\in I}$ de parties de $E$ comme la plus grande partie de $E$ contenue dans tous les $A_i$.
l'intersection est $\{x\mid \forall i\in I: x\in A_i\}$.
Quand $i=\emptyset$, ça donne tout l'univers. Le couper à $E$ est une autre affaire et peut se voir en faisant mine de rien en remplaçant le début d'expression $<<\{x\mid >> $ par $<< \{x\in E\mid >>$.
Mais en te rappelant que
- la notation $\{x\in X\mid Y\}$ est une abréviation de $\{x\mid x\in E\Rightarrow Y\}$
- la notation $\forall x\in Y: Z$ est une abréviation de $\forall x: [(x\in Y)\Rightarrow Z]$
Si on enlève les abréviations et écrit tout ça donne:
Le problème vient peut-être que certains auteurs (et non des moindres : voir par exemple les cours d'Arnaudiès-Fraysse et de Ramis-Deschamps-Odoux...) ont présenté cela (ainsi que les autres résultats sur l'ensemble vide : réunion, produit) comme des conventions.
Ce n'est pas une convention. Soit $\text{I}$ un ensemble d'indices, $\text{E}$ un ensemble et $\left(\mbox{A}_{\alpha}\right)_{\alpha\in\text{I}}$ une famille de sous-ensembles de $\text{E}$. Par définition,\[\bigcap_{\alpha\in\text{I}}\mbox{A}_{\alpha}=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in\text{E}\text{ et }(\forall\,\alpha)\left(\alpha\in\text{I}\Rightarrow{}x\in\mbox{A}_{\alpha}\right)\end{array}\right\}\]Que se passe-t-il lorsque $\text{I}=\emptyset$ ? Comme l'on a\[(\forall\,\alpha)\left(\alpha\in\emptyset\Rightarrow{}x\in\mbox{A}_{\alpha}\right)\]alors\[x\in\text{E}\text{ et }(\forall\,\alpha)\left(\alpha\in\emptyset\Rightarrow{}x\in\mbox{A}_{\alpha}\right)\Longleftrightarrow{x\in\text{E}}\]de sorte que\[\bigcap_{\alpha\in\emptyset}\mbox{A}_{\alpha}=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in\text{E}\text{ et }(\forall\,\alpha)\left(\alpha\in\emptyset\Rightarrow{}x\in\mbox{A}_{\alpha}\right)\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in\text{E}\end{array}\right\}=\text{E}\]comme attendu.
Cordialement,
Thierry
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Ce n'est pas une convention si on considère que la théorie des ensembles où on travaille est typée.
Mais ZF et ses dérivés ne fonctionnent pas comme ça.
Ci-dessous "$E\subseteq F$" abrège $\forall x(x\in E \Rightarrow x \in F)$.
Soient $X,Y$ des ensembles tels que $ X\subseteq Y$, $I$ un ensemble et $A$ une fonction de domaine $I$ telle que pour tout $k\in I$, $A_k\subseteq X$.
Lorsque $I=\emptyset$, $\bigcap_{i\in I} A_i$ est-il égal à $X$ ou à $Y$ ?
[size=x-small]Dans une théorie typée on écrirait plutôt quelque chose comme "$\bigcap^X_{i\in I} A_i$" et $\mathcal P(X)$ n'aurait aucun élément en commun avec $\mathcal P(Y)$ !!![/size]
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
ont présenté cela (ainsi que les autres résultats sur l'ensemble vide : réunion, produit) comme des conventions.
De toute façon, scientifiquement, il n'y a que deux choses. Les définitions, les conventions tout ça, ça n'existe pas. Opératoirement ce sont des axiomes point barre (ou des théorèmes quand pas des axiomes).
$4 = 3+1$ est un axiome, même s'il est humainement classé dans les définitions car n'a rien d'évident intuitivement***. Quand tu t'en sers, c'est supposé comme un axiome.
*** j'ai classé les axiomes en tout grande catégories:
1/ ceux qui sont affirmés parce qu'intuitivement incontestables, mais pas prouvés.
2/ ceux qui sont totalement gratuits et apparemment stupides. Cette deuxième catégorie porte le nom de "définitions". Leur spécificté n'est pas leur crédibilité (nulle), mais leur inoffensivité. 4 = 3+1 n'est pas crédible, par contre, si dans une preuve tu remplace partout le caractère 4 par 3+1, tu obtiendras 3+1 = 3+1 là où c'est affirmé et ta preuve marchera. Inoffensivité.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Quelle est la question ?
Ce que tu écris n'est certainement pas une convention de la théorie des ensembles.
C'est une conséquence des définitions quand on travaille dans le treillis des parties d'un ensemble $E$.
l'intersection est $\{x\mid \forall i\in I: x\in A_i\}$.
Quand $i=\emptyset$, ça donne tout l'univers. Le couper à $E$ est une autre affaire et peut se voir en faisant mine de rien en remplaçant le début d'expression $<<\{x\mid >> $ par $<< \{x\in E\mid >>$.
Mais en te rappelant que
- la notation $\{x\in X\mid Y\}$ est une abréviation de $\{x\mid x\in E\Rightarrow Y\}$
- la notation $\forall x\in Y: Z$ est une abréviation de $\forall x: [(x\in Y)\Rightarrow Z]$
Si on enlève les abréviations et écrit tout ça donne:
$$ \cap_{i\in I} A_i = \{ x \mid \forall i: [ (i\in I) \Rightarrow (x\in A_i) ]\}$$
Et comme Poirot et GBZM, tu vois bien que ce n'est pas une convention, mais la définition.
Ce n'est pas une convention. Soit $\text{I}$ un ensemble d'indices, $\text{E}$ un ensemble et $\left(\mbox{A}_{\alpha}\right)_{\alpha\in\text{I}}$ une famille de sous-ensembles de $\text{E}$. Par définition,\[\bigcap_{\alpha\in\text{I}}\mbox{A}_{\alpha}=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in\text{E}\text{ et }(\forall\,\alpha)\left(\alpha\in\text{I}\Rightarrow{}x\in\mbox{A}_{\alpha}\right)\end{array}\right\}\]Que se passe-t-il lorsque $\text{I}=\emptyset$ ? Comme l'on a\[(\forall\,\alpha)\left(\alpha\in\emptyset\Rightarrow{}x\in\mbox{A}_{\alpha}\right)\]alors\[x\in\text{E}\text{ et }(\forall\,\alpha)\left(\alpha\in\emptyset\Rightarrow{}x\in\mbox{A}_{\alpha}\right)\Longleftrightarrow{x\in\text{E}}\]de sorte que\[\bigcap_{\alpha\in\emptyset}\mbox{A}_{\alpha}=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in\text{E}\text{ et }(\forall\,\alpha)\left(\alpha\in\emptyset\Rightarrow{}x\in\mbox{A}_{\alpha}\right)\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in\text{E}\end{array}\right\}=\text{E}\]comme attendu.
Cordialement,
Thierry
Mais ZF et ses dérivés ne fonctionnent pas comme ça.
Ci-dessous "$E\subseteq F$" abrège $\forall x(x\in E \Rightarrow x \in F)$.
Soient $X,Y$ des ensembles tels que $ X\subseteq Y$, $I$ un ensemble et $A$ une fonction de domaine $I$ telle que pour tout $k\in I$, $A_k\subseteq X$.
Lorsque $I=\emptyset$, $\bigcap_{i\in I} A_i$ est-il égal à $X$ ou à $Y$ ?
[size=x-small]Dans une théorie typée on écrirait plutôt quelque chose comme "$\bigcap^X_{i\in I} A_i$" et $\mathcal P(X)$ n'aurait aucun élément en commun avec $\mathcal P(Y)$ !!![/size]
De toute façon, scientifiquement, il n'y a que deux choses. Les définitions, les conventions tout ça, ça n'existe pas. Opératoirement ce sont des axiomes point barre (ou des théorèmes quand pas des axiomes).
$4 = 3+1$ est un axiome, même s'il est humainement classé dans les définitions car n'a rien d'évident intuitivement***. Quand tu t'en sers, c'est supposé comme un axiome.
*** j'ai classé les axiomes en tout grande catégories:
1/ ceux qui sont affirmés parce qu'intuitivement incontestables, mais pas prouvés.
2/ ceux qui sont totalement gratuits et apparemment stupides. Cette deuxième catégorie porte le nom de "définitions". Leur spécificté n'est pas leur crédibilité (nulle), mais leur inoffensivité. 4 = 3+1 n'est pas crédible, par contre, si dans une preuve tu remplace partout le caractère 4 par 3+1, tu obtiendras 3+1 = 3+1 là où c'est affirmé et ta preuve marchera. Inoffensivité.