Théorie des tresses

Salut François,
Je n'y connais rien mais je pense qu'il vaut mieux que tu te bases sur la dernière version, à savoir son livre sur les groupes de tresses qui est sorti en juillet 2019, juste avant son décès, donc.

modestement, je peux vous inviter à regarder ma thèse "le bon ordre des tresses positives" ou l'article qui lui correspond
"the wellordering of positive braids" dans JPAA ou ici : https://core.ac.uk/reader/82097190

Pour la question de départ, la tresse $\Delta_n$ est définie par un demi-tour de la tresse triviale à $n$ brins (triviale voulant dire : brins parallèles sans croisement). Vu ainsi, c'est alors facile de la définir par récurrence : le brin de gauche passe à droite et la récurrence s'applique sur le reste.

$\Delta_2=\sigma_1$ et pour tout $n>2$ : $\Delta_{n}=\sigma_1\sigma_2\dots\sigma_{n-1}\Delta_{n-1}$

> vous ne savez pas ce que vous avez fait!!! :-D

Je n'ai pas compris la blague. Dans le contexte, c'est vrai que j'ai fait ce travail sur les tresses sans trop savoir de quoi il s'agissait à la base et sans aucune formation solide en maths pures. J'étais plutôt formé à l'informatique pratique et théorique.

Sans vous donner la réponse directement (mais presque),
observez que $\Delta_n$ commute d'une certaine manière avec les $\sigma_i$ et "bouffe" les $\sigma_i^{-1}$. Cependant, ce repas est quelque peu indigeste et ne laisse pas $\Delta_n$ indemne. Il en faut parfois plusieurs à la rescousse pour venir à bout de tous les négatifs indigestes.
Bon, avec cette métaphore gastronomique c'était plus pour vous embrouiller que pour vous aider ;-)

Réponse du soir à l'exercice.

Pour votre exemple (et de manière générale), il suffit simplement d'appliquer les relations de tresses. Je note en oubliant les $\sigma$.
Les relations sont $i.j.i=j.i.j$ pour $j=i+1$ et $i.j=j.i$ pour $j>i+1$ et celles du groupe libre $i.i^{-1}=i^{-1}.i=\epsilon$.

On a $\Delta_4=123121$ et $B=12^{-1}31^{-1}$

$$\eqalign{\Delta_4B&=12312112^{-1}31^{-1}\cr
&=123(121)12^{-1}31^{-1}\cr
&=12321212^{-1}31^{-1}\cr
&=1232(121)2^{-1}31^{-1}\cr
&=12322122^{-1}31^{-1}\cr
&=123221(22^{-1})31^{-1}\cr
&=12322131^{-1}\cr
&=12322(13)1^{-1}\cr
&=12322311^{-1}\cr
&=123223(11^{-1})\cr
&=123223\cr
&=1(232)23\cr
&=132323\cr
}$$

exercice formel : montrez pour $1\le i\le n-1$ que
a) $\Delta_n.\sigma_i=\sigma_{n-i}.\Delta_n$
b) $\Delta_n.\sigma_i^{-1}$ est une tresse positive (pouvant être représentée sans inverses $\sigma_.^{-1}$)