ZF, ZFC et Peano

ciola · June 2020

Bonjour tout le monde,
J'ai une petite question pour les spécialistes des fondements.
Dans la démonstration suivante qui prouve que la sommes de deux nombres impairs est forcément un nombre pair, quels sont les axiomatiques nécessaires et suffisantes?
Prenons deux nombres impairs $i_1$ et $i_2$. D'après la définition d'un nombre impair suivante, on sait qu'il existe deux nombres entiers naturels $e_1$ et $e_2$ qui vérifient les deux égalités suivantes : $i_1 = 2 \times e_1 + 1$ et $i_2 = 2 \times e_2 + 1$. Ainsi, si j'additionne ces deux nombres impairs, j'obtiens que $i_1 + i_2 = 2 \times (e_1 + e_2) + 2$, ce qui me donne $i_1 + i_2 = 2 \times (e_1 + e_2 + 1)$. Or $e_1 + e_2 + 1$ est bien un nombre entier naturel car on sait que la somme d'entiers naturels donne toujours un entier naturel. D'après la définition d'un nombre pair, la somme $i_1 + i_2$ est bien paire puisqu'elle peut s'écrire 2 fois un nombre entier naturel.

D'avance merci,

Ciola

PS : Pourquoi une barre verticale apparaît à la fin du rendu des expressions LaTeX?

michael · June 2020

Pour ton problème d'affichage de barre verticale après les expressions LaTeX, tu peux jeter un œil à ce fil, plus précisément ce message.

ciola · June 2020

Super ça marche.

jacquot · June 2020

Après, si tu écrivais Peano comme il se doit, ce serait plus respectueux à son égard.

[C'est corrigé. Merci jacquot]

Chaurien · June 2020

Giuseppe Peano (1858-1932)
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Peano/

jacquot · June 2020

Il a inventé la machine à remonter le temps ;-)

Poirot · June 2020

Eh bien il n'y a qu'à lire ta démonstration : tu utilises la commutativité de l'addition et la distributivité de la multiplication sur l'addition, donc tu as simplement besoin de ces choses-là, qui sont bien sûr strictement incluses dans l'axiomatique de Peano.

christophe c · June 2020

Le truc important c'est surtout que un nombre entier qui n'est pas le double d'un nombre entier s'obtient en ajoutant 1 au double d'un nombre entier.

Et je pense que Ciola l'avait dans son inconscient sans avoir pensé à l'exprimer. Je ne crois pas que son souci venait de $$

2a+1 + 2b+1 = 2\times (UnEntier).

$$ L'axiome de récurrence, si on est dans Peano ou la définition de IN si on est dans ZF, entraine(nt) ce truc puisque

[large]si[/large] $$

n=2p\quad\text{ou}\quad n=2q+1 .

$$ [large]alors[/large] $$

n+1 = 2(q+1)\quad\text{ou}\quad n+1= 2p+1 .$$

ciola · June 2020

Bonjour,
je ne comprends pas cette histoire d'inconscient avec plus 1. Je pensais avoir été clair et explicite dans le fait que tout nombre impair peut s'écrire sous la forme 2 x un autre entier + 1.
Je renouvelle ma question : D'un point de vue axiomatique, la démonstration que j'ai faite, fait-elle intervenir (de façon cachée) l'axiomatique ZF ou ZFC. Si oui, où ça exactement et quel(s) axiomes et quelle(s) primitive?
Je vous pose cette question car je ne suis pas un spécialiste de ces axiomatiques. De mon point de vue, je pensais qu'il fallait utiliser ZF car dès qu'on utilise des ensembles, il me semble que ZF intervient.
Concernant l'axiomatique de Peano, j'ai l'impression qu'elle devrait s'appuyer sur ZF ou ZFC car elle utilise des ensembles. Qu'en pensez-vous?
En fait, ce que j'aimerais, c'est compléter cette démonstration en remontant jusqu'aux racines pour ne rien oublier et connaitre tous les axiomes et toutes les primitives en jeu.
D'avance merci.

Ciola

gerard0 · June 2020

Bonjour

Axiomes de Peano : 1889
Axiomes de Zermelo-Fraenkel : à partir de 1908.

L'axiomatique de Peano ne s'appuie que sur ses propres axiomes, et utilise le mot français "ensemble" comme on l'utilisait à l'époque (théorie naïve des ensembles, celle de Cantor).

Cordialement.

christophe c · June 2020

ciola a écrit:

quels sont les axiomatiques nécessaires ?

La ,notion "d'axiomes nécessaires" n'a pas de sens précis autre que le risque de te voir répondre le truc lui-même, ie pour prouver $P$, il faut et il suffit de prouver $P$.

Cela dit, ton raisonnement du premier post est fait dans tout (et même semi-anneau) anneau unitaire. Il n'y a absolument pas besoin de théories fortes comme Peano, ZF, etc.

Poirot · June 2020

ciola a écrit:

D'un point de vue axiomatique, la démonstration que j'ai faite, fait-elle intervenir (de façon cachée) l'axiomatique ZF ou ZFC. Si oui, où ça exactement et quel(s) axiomes et quelle(s) primitive?

J'ai répondu à cette question au-dessus. Inutile d'invoquer ZF ou je ne sais quoi. Christophe a reformulé ma réponse.

christophe c · June 2020

Ah pardon EXACTEMENT POIROT, je n'avais pas du tout vu que tu avais répondu, sorry (;-) à chaurien pour cet anglicisme).

Poirot · June 2020

Pas de soucis, je reproche surtout à ciola de ne pas avoir vu ma réponse avant de reposer sa question :-D

ciola · June 2020

Bonjour,
J'ai bien lu votre réponse mais je n'y ai pas trouvé ce que je cherche.
Merci pour votre aide.

ciola · June 2020

Bonjour
Il me semble qu'historiquement nous avons déjà eu des constructions axiomatiques incomplètes. Par exemple, Hilbert a finalisé l'axiomatique euclidienne plus de 2000 ans plus tard. Cela montre que l'axiomatique de Peano peut très bien avoir des trous. En particulier, quand elle fait appel aux ensembles d'ensembles.

ciola · June 2020

Bonjour,
Je croyais que l'addition chez les entiers naturels était définie grâce aux axiomes de Peano (Dedekind pour rendre à César ce qui appartient à César).

ciola · June 2020

Bonjour,
Il me semble que votre argument concernant une structure algébrique (anneau unitaire) n'invalide en rien le fait de s'appuyer sur telle ou telle axiomatique.
Par exemple, immaginons que le concept d'espace vectoriel ne soit pas encore inventé, mais que celui des matrices le soit. Et bien, cela ne veut pas du tout dire que la construction des matrice n'a pas besoin de système axiomatique pour être construit.
Ainsi, de la même manière, ce n'est pas parce que cette démonstration peut être rangée le monde des anneaux unitaires qu'aucune axiomatique n'est nécessaire.

gerard0 · June 2020

Attention, Ciola,

on dit parfois que l'axiomatique d'Euclide était incomplète parce qu'en ajoutant certains axiomes (genre celui des deux cercles), on pouvait rendre correctes certaines démonstrations. mais en fait, avec l'axiomatique complète d'Euclide, certaines de ses preuves sont fausses. "Incomplet", ça ne veut rien dire pour une suite d'axiomes. Ou tout autre suite. (1,5,7,-3) est-ce complet ou incomplet ?

Cordialement.

christophe c · June 2020

ciola, tu utilises le mot "nécessaire" avec un telle frénésie qu'on ne sait pas quoi te dire. Evidemment que non ce n'est pas nécessaire puisque toi-même tu le fais sans. Essaie d'être plus précis dans ta demande.

ciola · June 2020

Bonjour Christophe c,
Il me semble que vous utilisez le mot "Frénésie" avec démesure et que cela ne corresponde pas à votre signature "aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi", à moins que vous ne vous aidiez également avec exagération.
Frénésie :
nom féminin
1. État d'exaltation violente qui met hors de soi.
2. Ardeur ou violence extrême.

Plus sérieusement, j'utilise "axiomatique nécessaire à cette démonstration", l'ensemble des axiomes qui vont apparaître quand on va vouloir écrire toutes les règles sans exception qui interviennent, et cela jusqu'à arriver sur des axiomes. C'est le but de ma démarche : connaitre avec précisions tous ces axiomes. En particulier, j'aimerais savoir si l'axiome du choix apparait où pas. Par exemple, si je prends comme définition de nombre pair : nombre entier naturel divisible par 2, j'aimerais connaitre l'ensemble des axiomes qui permettent de prouver l'existence de $e_i$.
Merci pour votre implication.

Martial · June 2020

@ciola : indépendamment de toute polémique je pense que la notion d'axiomes "nécessaires" ne signifie pas grand-chose.

Je comprends ce que tu cherches : tu veux une liste d'axiomes qui te permette d'aboutir à ton résultat. Mais une fois ceci fait, rien ne te garantit que ta liste d'axiomes est minimale. Peut-être qu'au prix d'un gros cassage de tête et d'une preuve plus longue quelqu'un arrivera un jour à prouver la même chose en se passant d'un ou deux des axiomes de la liste. Et dans ce cas ces axiomes "nécessaires" ne le seront plus.

En tous cas je peux te rassurer sur un point : l'axiome du choix n'a RIEN, mais alors RIEN de RIEN, à faire ici.

Poirot · June 2020

Soit $\varphi$ l'énoncé formalisé disant "la somme de deux nombres impairs est pair". Je te propose la liste minimale suivante d'axiomes permettant de déduire $\varphi$ : $\{\varphi\}$. Content ?

christophe c · June 2020

Le mot "frénésie" étant péjoratif, était du coup mal choisi, j'aurais peut-être dû écrire que tu utilises "trop facilement" le mot "nécessaire".

ciola · June 2020

Bonjour Martial,
En fait, j'ai l'impression qu'en partant de la preuve et non d'un ensemble d'axiomes, on devrait arriver à la liste minimale en se dirigeant vers les axiomes.

À propos des "axiomes nécessaires", sauf erreur de ma part, j'ai utilisé le fait que l'absence de ces axiomes entraînerait l'impossibilité de réaliser la preuve. Je pensais que c'était la définition de la nécessité comme dans l'exemple suivant. Si pas de condition nécessaire à quelque chose alors forcément pas de ce quelque chose. L'eau est nécessaire à la vie. Autrement dit, l'absence d'eau entraîne l'absence de vie. Ce qui donne par contraposée que la présence de vie entraîne la présence de l'eau.
Je ne comprends pas mon erreur dans le contexte de ma question initiale.