Raisonnements : règle du jeu

Hélas actuellement, je suis peu disponible. Je fais un post complet de définition des raisonnements mathématiques (donc scientifiques) en marge de
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2010316

où je mettrai un lien au premier post qui renverra vers celui-ci afin de fixer les idées, avant parcours, ensuite du reste du fil.

Je simplifie (mais ça reste parfaitement valable formel et complet) les choses habituellement présentées dans les manuels de logique mathématique.

J'ai souvent fait des posts comme ça, je radote, mais j'essaierai de me baser sur celui-ci comme référence récente si on me pose des questions.

1/ Premièrement tout est écrit avec comme seul connecteur, le connecteur "implique" que je noterai $\to$.

2/ Les théorèmes sont produits à partir d'un axiones avec une seule règle de greffage.

3.1/ Etant donné une phrase $A\to B$, ses conclusions sont elle-même ainsi que les conclusions de $B$.



3.2/ Etant donné une phrase $A\to B$, ses hypothèses sont $A$ ainsi que les hypothèses de $B$.

3.3/ J'utilise l'abréviation récursive suivante: $((A;L)\vdash := ( A\to (L\vdash )$, où $L$ est une liste, éventuellement vide**, de phrases (séparées par des point-virgule)

3.4/ $ListeVide\vdash A$ est la phrase $A$.

4/ Voici comment on obtient de nouveaux théorèmes à partir d'anciens.

4.1/ On peut permuter les hypothèses d'un théorème: la phrase obtenue devient un nouveau théorème

4.2/ Partant des théorèmes déjà construits $L\vdash A$ et $B\to C$, on obtient un nouveau théorème :

$$ L\vdash ((A\to \to C) $$

5/ Remarque: ce sont Là LES SEULES REGLES FONDAMENTALES DU RAISONNEMENT SCIENTIFIQUE.

5/ Règles "ajoutées" FONDAMENTALES:

5.1/ on peut ajouter des connecteurs et des axiomes qui jouent comme rôle de les définir. Je ne le fais pas, c'est évident à produire.

5.2/ il est par contre très important de préciser que nous ne parlons pas qu'avec des phrases construites à partir d'autres phrases, mais avec des verbes/sujets qui s'appliquant les uns aux autres. Ca donne ce qu'on appelle la logique du premier ordre. En voici les règles :

5.3/ Si $x$ n'est pas évoqué dans $L$, et si on a produit le théorème $L\vdash A$, alors on peut considérer $L\vdash (\forall xA)$ comme un théorème.

5.4/ On peut toujours passer du théorème $A\to B$ au théorème $(\forall xA) \to B$

6/ Règles ajoutées DOCTRINAIRES:

Les règles qui suivent sont DE VRAIMENT PURS AXIOMES ASSUMES de la science MATHEMATIQUE avec forte imprégnation pour la physique, mais hésitation depuis la révolution quantique.

6.1/ On peut JETER une hypothèse: c'est l'axiome $A\to (B\to A)$

6.2/ On peut cloner la garantie d'une hypothèse: c'est l'axiome $[A\to (A\to ]\to (A\to $

6.3/ Et enfin, on peut raisonner par l'absurde: c'est l'axiome $((A\to \to \to ((B\to A)\to A)$ (qui permet de lire $(X\to Y)\to Y$ comme signifiant $<<X$ ou $Y>>$

7/ Second ordre: il n'y a aucune gène à avoir pour raisonner au second ordre, mais ça s'appelle du second ordre.

7.1/ Ca consiste, par exemple à écrire : $\forall X: (Y\to X)$ qui est UNE MANIERE de dire $non(Y)$

7.2/ L'esprit TDE (théorie des ensembles) englobe le second ordre (vous remplacer une lettre majuscule désignant une phrase $X$ par une lettre minuscule $x$ et la phrase $\emptyset \in x$.

Avec ça vous avez tout.

8/ Quelques remarques:

8.1/ Il est très difficile de prouver des choses "directement" (en logique on dit "sans coupure"). Par exemple, il vous arrivera souvent de prouver des choses comme :

$$ (X\to X); (Y\to Y); (Z\to (T\to Z)); ((R\to (R\to S))\to (R\to S)) \vdash P$$

et non $P$ directement.

C'est pas grave, vous garderez $P$ en archive et non pas la longue liste d'hypothèse qui sont venues avec la maladresse de votre preuve (elles attestent que vous avez "coupé", utilisé des lemmes et tant mieux)

8.2/ Il n'y a pas de modus ponens à strictement parler, mais la règle suivante est contenue dans 4.2:


[size=x-large]$$ \frac{A; A\to B}{(A\to A)\to B} $$[/size]

Vous vous promonez ensuite avec le $A\to A$ comme s'il n'était pas là.

8.3/ Divers théorèmes de logique dit "d'élimination des coupures dit qu'en procédant autrement vous auriez pu, avec ces règles ci-dessus arriver à la conclusion $P$ et non pas $(X\to X); \dots \vdash P$.