Catégories sans objet initial ou final ?

Pachat
Pachat
Modifié (August 2022) dans Catégories et structures
Auriez-vous des exemples ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    La catégorie à deux objets avec pour seuls morphismes l'identité.

    La catégorie des entiers avec un morphisme de $i$ dans $j$ si et seulement si $i \leq j$.
  • christophe c
    christophe c
    "entiers relatifs" du coup :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Oui bien sûr !

    C'est peut-être une déformation de théoricien des nombres, mais quand je parle d'entiers je pense aux relatifs.
  • christophe c
    christophe c
    Remarque j'ai traduit "sans (X ou Y)" par "ni X, ni Y"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Pachat
    Pachat
    Donc, si je comprends, les exemples donnés n'ont ni objet initial, ni objet final parce que :

    > La catégorie à deux objets avec pour seuls morphismes l'identité.
    car chacun des objets n'ayant de flèche vers l'autre, ne peut donc être ni initial ni final.
    => Y a-t-il des exemples "concrets" de telle catégorie à deux objets ?

    En revanche, si la catégorie ne comporte qu'un seul objet, la flèche Id le rend à la fois initial et final (c'est à dire nul)


    > La catégorie des entiers avec un morphisme de i dans j si et seulement si i<=j.
    car pour tout i, dans Z,
    - il y a i-1 qui ne peut recevoir de flèche de i (i ne peut donc être initial).
    - et i+1 qui ne peut envoyer de flèche vers i (i ne peut donc être final).
  • Foys
    Foys
    Les ensembles ordonnés fournissent une classe d'exemples déjà riche de catégories.

    En effet, si $(E,\leq)$ est ordonné, en posant pour tous $x,y\in E$, $Hom_{E,\leq}(x,y):=\{\emptyset \}$ si $x\leq y$ et $\emptyset$ dans le cas contraire (autrement dit $Hom_{E,\leq}(x,y)$ a toujours $0$ ou $1$ élément, et en a un si et seulement si $x$ est plus petit que $y$), on construit une structure de catégorie.

    Réciproquement si $C$ est une catégorie dont les objets constituent un ensemble (on dit que $C$ est "petite") et si:
    (i) pour tous $a,b\in C$, $Hom_C {a,b}$ est réduit à un élément
    (ii) pour tous $d\in C$, $d$ est le seul élément de $C$ isomorphe à $d$,
    alors l'ensemble des objets de $C$ est un ensemble ordonné par $a\leq b$ si et seulement si $Hom_{\C} (a,b)$ est non vide.

    Avec ces considérations, un objet initial (resp final) d'un enemble ordonné n'est rien d'autre que son plus petit (resp plus grand) élément.

    Si $(E,\leq_E)$ et $(F,\leq F)$ sont ordonnés, les foncteurs covariants (resp. contravariants) entre les catégories déduites de ces ensembles ordonnés sont précisément les fonctions croissantes (resp. décroissantes) de $(E,\leq_E)$ dans $(F,\leq F)$.

    Les produits (resp coproduits) cartésiens de familles d'éléments de $(E,\leq)$ sont leur bornes inférieures (resp. supérieures) etc.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • stfj
    stfj
    bonjour, 
    Il y a, outre celles proposées par @Poirot,  une catégorie ad hoc (?): on appelle doublet une catégorie avec seulement deux objets, notés par exemple 0 et 1, et seulement deux flèches non neutres, toutes deux de source 0 et de but 1. [il faut faire un dessin :smile: ]. Cette catégorie n'a ni objet initial ni objet final. 
    D'ailleurs, à moins que je n'y comprenne rien, il y a une erreur dans Introduction aux catégories et aux problèmes universels de Jaffard et Poitou(1971) où, p. 47, ils affirment que le doublet a pour objet initial 0 et pour objet final 1. 
    Toujours si j'ai bien compris :smile:, @christophe c, si on remplace entiers relatifs par entiers naturels, 0,1,2,3,4,... l'entier 0 devient un objet initial ?
    C'est quand même une drôle de théorie : l'erreur dans le Jaffard-Poitou m'interpelle ! Errare humanum est, ça rassure... 
    Cordialement,
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