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Comment construire cette famille ?

zazouzazou
dans Fondements et Logique
Bonjour

Soit $E$ un espace vectoriel et $M$ un sous-espace vectoriel strict de $E$. Soit $X = \left\{x_1, ..., x_n, ...\right\}$ une famille dénombrable de vecteurs de $E$. Comment construire proprement une famille $\left\{y_1, ..., y_n, ...\right\}$ de vecteurs de $X$ qui soit 1) libre 2) indépendante de $M$ ?

Le livre que je lis prend considère que c'est évident. Je précise (comme ma question le laisse probablement voir) que je suis un complet béotien en fondements/logique :-D

Réponses

  • FoysFoys
    Soit $Z_0:=\emptyset$ et $Z_{n+1}:=Z_n$ si $y_n$ est dans l'espace engendré par $M\cup Z_{n}$, et $Z_{n+1}:= Z_n \cup \{y_n \}$ sinon. Alors $\bigcup_{n\in \N} Z_n$ est le sous-ensemble libre que tu appelles de tes voeux.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • bisambisam
    Sans hypothèse supplémentaire sur X, il se peut que la famille Y soit finie, voire vide, par exemple si X est incluse dans M.
  • Titi le curieuxTiti le curieux
    Bonjour,

    Juste une petite question: quand on dit $Y$ est indépendante du sous-espace vectoriel $M$, qu'est-ce que ça signifie exactement ?
    Je suppose que ça signifie que $M$ et $vect(Y)$ sont en somme directe, mais je ne suis pas sûr.
  • FoysFoys
    @Titi: oui c'est bien ça.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • FoysFoys
    bisam a écrit:
    Sans hypothèse supplémentaire sur X, il se peut que la famille Y soit finie, voire vide, par exemple si X est incluse dans M.
    Ca ne remet pas en cause le résultat de l'exercice. On aura une famille/un ensemble vide à la fin.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • zazouzazou
    @Foys: Merci beaucoup, mes vœux sont exaucés :)

    @Titi le curieux: Oui c'est bien ça!

    @bisam: Oui c'est tout à fait vrai. J'aurais dû être plus précis dans mon message initial (le cas qui me posait problème était celui où $Y$ était dénombrable), mais je ne voulais pas m'embarquer dans la distinction de cas (qui me semblait pénible). En plus, après coup, je me rends compte que la construction de Foys traite tous ces cas simultanément
  • Titi le curieuxTiti le curieux
    Bonsoir,

    Merci Foys et zazou pour vos réponse à ma question.

    J'en ai une seconde du coup , de tête*, je crois que l'ensemble des $Y$ possibles munie de la relation de contenance ($\subset$) doit être inductif et donc posséder des éléments maximaux.
    Si c'est bien le cas, je me demande si on pourrait avoir une propriété comme: quelque soit $Y_1$ et $Y_2$ deux "$Y$ maximaux", $M+vect(Y_1)=M+vect(Y_2)$.

    Ça vous semble possible?


    *: Ce qui me pousse à considérer que c'est un ensemble inductif: si je considère une partie $\mathfrak{Y}$ de l'ensemble des $Y$ sur laquelle la relation d'ordre est totale et que j'en fais l'union, je crois bien que l'ensemble obtenu est un $Y$ car je ne vois pas comment une ses parties finies pourrait être "liée à $M$" sans que ce soit aussi le cas pour un élément de $\mathfrak{Y}$ (on devrait pouvoir le justifier en indexant $\mathfrak{Y}$ avec des ordinaux, mais je suis souvent mal à l'aise avec ces trucs edit: N'importe quoi, une partie finie d'un ensemble totalement ordonnée possède un plus grand élément, pas la peine de chercher midi à quatorze heure).

    Edit, le lendemain: La réponse est oui et un bête raisonnement par l'absurde y mène. Désolé pour cette pollution du fil.
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