Ensembles et applications (MPSI)

Bonjour à tous ! Je voulais savoir si ma réponse à la question suivante était recevable ! Merci d'avance !

Soit $E$ un ensemble non vide et $A\subset E$ une partie de $E$. On définit l'application $$
\begin{array}{rrcl}
\phi_{A}: & \mathscr{P}(E)&\longrightarrow&\mathscr{P}(E) \\
&X&\longmapsto &X\cap A
\end{array}
$$ Montrer que ($\phi_{A}$ injective) $\Longrightarrow (A=E)$.

On suppose que $\phi_{A}$ est injective. Montrons que $A=E$
Comme $A$ est une partie de $E$, on a $A\subset E$.
Soit $x\in E$. Montrons que $x\in A$
On suppose que $x\notin A$.
Alors, $\phi_{A}(\{x\})=\{x\}\cap A=\emptyset$
De plus, on a $\phi_{A}(\emptyset)=\emptyset$, c'est-à-dire : $\phi_{A}(\emptyset)=\phi_{A}(\{x\})$
Par injectivité de $\phi_{A}$, on a : $\{x\}=\emptyset$
Ainsi, forcément $x\in A$ et donc $E\subset A$
Finalement, $A=E$