"ordinaux sans ordre" ?
Bonjour,
Considérons un ensemble d'ordinaux dénombrables dont on sait comment écrire chaque ordinal, par exemples considérons ceux qui sont inférieurs à $\epsilon_0$ et que l'on peut noter avec $\omega$, les nombre entiers, l'addition, la multiplication et la fonction puissance. De la façon dont ils sont définis il existe une relation d'ordre entre les ordinaux, par exemple $\omega+1>\omega>2>1$.
Maintenant supposons que je veuille donner des identifiants distincts à des collections infinies dénombrables d'objets et que je ne me soucie pas de l'ordre des objets dans une collection, je ne considère pas que l'identifiant d'un objet d'une collection est plus grand qu'un autre identifiant (désignant un autre objet) de la même collection ou d'une autre collection.
Je vois bien que je peux prendre les entiers pour identifier les objets d'une collection, puis des identifiants de la forme $\omega+n$ pour identifier les objets d'une autre collection. Et comme bien entendu je vais aussi considérer des infinités d'infinités d'infinités etc.. de collections dont je veux pouvoir identifier les objets, je vais aussi par exemple utiliser des identifiants de la forme $\omega^{\omega^{\omega2+3}+1}+n$ pour identifier des objets de la collection identifiée par l'identifiant $\omega^{\omega^{\omega2+3}+1}$. Je ne me soucie pas non plus d'un ordre entre les identifiants des différentes collections, je me contente d'exploiter la notation ordinale pour créer indéfiniment de nouvelles collections d'objets que je peux identifier par une notation.
Il me parait parfaitement naturel d'utiliser la notation ordinale pour identifier des objets dans des collections, sauf qu'il n'y a plus d'ordre, et donc je me demandais si cette notion correspondrait à quelque chose de défini quelque part en mathématiques? Ou en quelque sorte s'il y avait une définition d'une "arborescence infinie de collections (infinies)" similaire aux ordinaux mais sans l'ordre ?
Considérons un ensemble d'ordinaux dénombrables dont on sait comment écrire chaque ordinal, par exemples considérons ceux qui sont inférieurs à $\epsilon_0$ et que l'on peut noter avec $\omega$, les nombre entiers, l'addition, la multiplication et la fonction puissance. De la façon dont ils sont définis il existe une relation d'ordre entre les ordinaux, par exemple $\omega+1>\omega>2>1$.
Maintenant supposons que je veuille donner des identifiants distincts à des collections infinies dénombrables d'objets et que je ne me soucie pas de l'ordre des objets dans une collection, je ne considère pas que l'identifiant d'un objet d'une collection est plus grand qu'un autre identifiant (désignant un autre objet) de la même collection ou d'une autre collection.
Je vois bien que je peux prendre les entiers pour identifier les objets d'une collection, puis des identifiants de la forme $\omega+n$ pour identifier les objets d'une autre collection. Et comme bien entendu je vais aussi considérer des infinités d'infinités d'infinités etc.. de collections dont je veux pouvoir identifier les objets, je vais aussi par exemple utiliser des identifiants de la forme $\omega^{\omega^{\omega2+3}+1}+n$ pour identifier des objets de la collection identifiée par l'identifiant $\omega^{\omega^{\omega2+3}+1}$. Je ne me soucie pas non plus d'un ordre entre les identifiants des différentes collections, je me contente d'exploiter la notation ordinale pour créer indéfiniment de nouvelles collections d'objets que je peux identifier par une notation.
Il me parait parfaitement naturel d'utiliser la notation ordinale pour identifier des objets dans des collections, sauf qu'il n'y a plus d'ordre, et donc je me demandais si cette notion correspondrait à quelque chose de défini quelque part en mathématiques? Ou en quelque sorte s'il y avait une définition d'une "arborescence infinie de collections (infinies)" similaire aux ordinaux mais sans l'ordre ?
Réponses
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Il faudrait que tu précises ta question.
Pour l'instant, on n'y comprend rien. -
Il y a une époque où je me demandais comment faire pour désigner par un identifiant unique chaque objet de "collections" de sorte à ce qu'il soit différents de tous les identifiants des objets d'autres collections. Le but du jeu était aussi d'augmenter sans cesse le nombre de collections, c'était un jeu sans fin. Un beau jour j'ai découvert l'existence des ordinaux et j'ai vite compris qu'ils m'apportaient exactement la solution que je cherchais et en même temps confirmaient que c'était effectivement un jeu sans fin: il n'y a pas de méthode pour énumérer tout les ordinaux dénombrables, et donc pas de méthode pour identifier tous les éléments de collections.
Ci dessous j'ai représenté quelques un des premiers ordinaux dénombrable et je vais expliquer comment j'utilise cette notation pour désigner par un identifiant unique chaque élément des collections. Disons que chaque ligne correspond à une "collection" dont les différents objets sont différenciés en fin de ligne par la suite $0,1,2..$ jusqu'à l'infini. Une ligne complète où on remplace $0,1,2..$ par un entier $n$ (ou par vide pour le cas de $0$) donne l'identifiant (vide pour l'objet $0$ de la première ligne) d'un objet de la collection (la collection correspondant à cette ligne). On voit bien que cette notation ordinale me permet de répondre à mon problème: je peux donner un identifiant unique à chaque objet de chaque collection. Pourtant à aucun moment je considère un quelconque ordre sur les identifiants d'objets, les chaînes de caractères données par les notations ordinales me permettent simplement de différencier chaque objet d'une collection de tous les autres dans toutes les collections.
Et donc je me demandais si cette "variante" dans la façon de voir les choses correspondait à quelque chose de connu en math ?
$0,1,2..$
$\omega+0,1,2...$
$\omega2+ 0,1,2...$
$:$
$\omega^2+0,1,2...$
$\omega^2+\omega+0,1,2...$
$\omega^2+\omega2+ 0,1,2...$
$:$
$\omega^{2}2+0,1,2...$
$\omega^{2}2+\omega+0,1,2...$
$\omega^{2}2+\omega2+ 0,1,2...$
$:$
$\omega^{2}3+0,1,2..$
$\omega^{2}3+\omega+0,1,2...$
$\omega^{2}3+\omega2+ 0,1,2...$
$:$
$\omega^3+0,1,2...$
$\omega^3+\omega+0,1,2...$
$\omega^3+\omega2+ 0,1,2...$
$:$
$\omega^3+\omega^2+0,1,2...$
$\omega^3+\omega^2+\omega+0,1,2...$
$\omega^3+\omega^2+\omega2+ 0,1,2..$
$:$
$\omega^3+\omega^{2}2+0,1,2...$
$\omega^3+\omega^{2}2+\omega+0,1,2...$
$\omega^3+\omega^{2}2+\omega2+ 0,1,2...$
$:$
$\omega^3+\omega^{2}3+0,1,2...$
$\omega^3+\omega^{2}3+\omega+0,1,2...$
$\omega^3+\omega^{2}3+\omega2+ 0,1,2...$
$:$
$\omega^\omega+..+0,1,2...$
$:$
$\omega^{\omega^{\omega2+3}+1}+0,1,2...$
$:$
$etc..$ -
Je n'ai pas tout compris mais j'ai l'impression que tu triches, au sens où il y a un ordre sous-jacent dans ton énumération. Un truc est plus petit qu'un machin ssi :
1) soit le truc est au-dessus du machin dans l'énumération
2) soit le truc et le machin sont sur la même ligne, mais le truc est à gauche du machin.
Et comment comptes-tu t'y prendre pour atteindre $\omega_1$ ?
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