Un exercice sous AD
Il est "facile" de voir que AD entraine que toute partie de IR est mesurable et que ce dernier énoncé entraine qu'on ne peut pas bien ordonner $\R$.
Voici un exercice rigolo sous AD (dont j'ignore s'il est vrai sous le seul axiome CD + AllLebesgueMesu), dont j'aimerais savoir s'il est facile à prouver (la preuve que j'en donne est avec des lemmes antérieurs de ma cuisine personnelle, le tout serait assez long à exposer à sec.
Pour toute suite $u$, je note $\sigma (n,u)$ la suite $p\mapsto u_{n+p}$.
Soit $\phi$ une application de $\R^\N$ dans $\R$. Soit $\leq$ un ordre total sur $\R$.
Prouver l'existence de $u\in \R^n$ telle que pour tout entier $n: $$$
\phi\big(\sigma(n,u)\big) < \phi\big(\sigma(n+1,u)\big) ,
$$ où $a<b$ abrège $[a\leq b$ et $a\neq b]$.
Voici un exercice rigolo sous AD (dont j'ignore s'il est vrai sous le seul axiome CD + AllLebesgueMesu), dont j'aimerais savoir s'il est facile à prouver (la preuve que j'en donne est avec des lemmes antérieurs de ma cuisine personnelle, le tout serait assez long à exposer à sec.
Pour toute suite $u$, je note $\sigma (n,u)$ la suite $p\mapsto u_{n+p}$.
Soit $\phi$ une application de $\R^\N$ dans $\R$. Soit $\leq$ un ordre total sur $\R$.
Prouver l'existence de $u\in \R^n$ telle que pour tout entier $n: $$$
\phi\big(\sigma(n,u)\big) < \phi\big(\sigma(n+1,u)\big) ,
$$ où $a<b$ abrège $[a\leq b$ et $a\neq b]$.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
Faut-il rajouter "$\phi$" surjective ou un truc du genre? (l'image de $\phi$ a quand même intérêt à être "grande" je dirais).
Quel serait l'élément $\triangleleft$-minimal du sous-ensemble $S$ de $\R$ vérifiant les propriétés suivantes :
a) $S$ non vide
b) $Z\not\in S$
c) pour tout $x\in S$, il existe $x'$ tel que $Z\triangleleft x'\triangleleft x$
J'ai l'impression qu'il n'existe pas….mais ce n'est qu'une impression.
Donc l'hypothèse est fausse ou alors il faudrait que l'ensemble $S$ soit muni d'un autre bon ordre que la restriction de $\triangleleft$ ?
Non...ok, je viens de comprendre : un tel ensemble $S$ n'existerait pas, il serait en contradiction avec "toute suite décroissante est finie".
Disons que j'ai fait ce petit jeu pour demander aux théoriciens des ensembles des éclaircissements et leurs votes sur les points suivants :
1. tout ensemble est bien-ordonnable (je vote pour)
2. $\R$ n'est pas bien-ordonnable (je vote pour)
3. $\R$ est un ensemble (obligé de voter contre si on vote pour 1 et 2)
1/ soit $\leq$ un ordre total sur $\R^\N$.
2/ Alors il existe $u\in \R^\N$ telle que $n\mapsto \sigma(n,u)<\sigma(n+1,u)$
si tu veux t'amuser avec cet exercice. (Je ne me rappelle plus si tu t'es beaucoup familiarisé avec AD, car c'est, même si "chez nous ensemblistes", c'est une ééééénoooooooooooooooorrrme sucrerie cet axiome, pas sûr qu'il soit encore énormément sorti dans le centre ville pour signer des autographes :-D
@Serge, tu discutes d'axiome du choix.
1. ZFC+AD+AC est-elle une théorie consistante ?
2. Peut-on espérer pouvoir trouver une preuve simple que $\R$ n'a pas de bon ordre ?
Je pensais me lancer dans le point 2 mais si c'est périlleux...merci de me prévenir.
Pour la deuxième question, je ne comprends pas ce que tu veux dire, puisque sous AC on peut prouver que $\mathbb R$ a un bon ordre. :-D
Pour la 2ème question, ZF+AC, ce n'est pas exactement ce que je qualifie de "simple". Rien que ZF c'est pas "simple".
1. Je trouve que AC n'est pas un "bon axiome". C'est une question de complexité de définition. La fonction de choix est "trop complexe" par rapport à l'ensemble sur lequel elle porte. Plus simplement, il me semble plus cohérent qu'une fonction de choix $f$ sur un ensemble $E$ soit définie à partir d'un bon ordre sur $E$ et non l'inverse.
2. Pour $\R$, je pense qu'on peut trouver une contradiction entre les propriétés attendues de son ordre naturel $<$ et celles d'un éventuel bon ordre $\triangleleft$. Plus précisément, le fait que pour tous $x<y$ il existe $x'$ tel que $x<x'<y$ devrait "à la longue" bloquer la définition possible d'un bon ordre $\triangleleft$.
Avec AD il me reste un truc à vérifier: soit AD implique ce que je veux et c'est bon, soit j'ai tout faux.
Cet AD commence à m'énerver B-)-.
[:-S AD]
@AD ;-)
Sans tout détailler, tu fais comment? (idée de preuve...)
$$ZF+AD+CD\vdash 0=1$$
dont je viens d'avoir l'idée et qui exploite ce mécanisme. Je ne voudrais pas te filer une "clé foireuse".
L'énoncé correct est le suivant (sous ZF+AD+CD):
soit $\leq$ un ordre total sur $\R^\N$. Prouver qu'il existe une suite $u$ telle qu'il n'y a pas de maximum parmi les suites
$$n\mapsto u(n+p)$$
quand $p$ parcourt $\N$.
Ce n'est pas tout à fait le même énoncé comme vous pouvez voir, il a fallu que je décortique ma preuve (erronée) de $ZF+AD\vdash 0=1$ pour trouver la nuance. Encore SORRY!