Algèbre et analyse
Bonjour,
je vais sans doute m'attirer les foudres de beaucoup, car j'aborde un sujet sur lequel je n'ai absolument aucun recul.
La question que je me pose est celle de savoir dans quelle mesure une partie de l'analyse peut rester inaccessible à des méthodes algébriques. Jusqu'où l'algèbre peut-elle fournir un substitut aux constructions de l'analyse ?
Les méthodes algébriques ne peuvent-elles pas renouveler les réflexions autour du problème du continu ?
ignatus.
je vais sans doute m'attirer les foudres de beaucoup, car j'aborde un sujet sur lequel je n'ai absolument aucun recul.
La question que je me pose est celle de savoir dans quelle mesure une partie de l'analyse peut rester inaccessible à des méthodes algébriques. Jusqu'où l'algèbre peut-elle fournir un substitut aux constructions de l'analyse ?
Les méthodes algébriques ne peuvent-elles pas renouveler les réflexions autour du problème du continu ?
ignatus.
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Réponses
une manière plus adéquate de poser le problème serait de déterminer le fragment de logique qui serait associé à la majeure partie de l'analyse, si l'on prend pour point de départ les théories géométriques pour exprimer l'algèbre.
Plus précisément, j'aimerais être un peu plus savant sur le problème du continu, et celui de savoir si le passage par les catégories pourrait donner quelque chose.
Est-ce que quelqu'un connaîtrait des travaux de personnes qui auraient essayé de reformuler le problème du continu dans le cadre des catégories ?
En vous remerciant,
ignatus.
les outils et le domaine de l'analyse sont effectivement plus vastes et plus riches que ceux de l'algèbre
tu considères l'équation logarithmique : $ln(x^2 + 1) = 2ln(x - 1) + ln(x + 1)$ avec x > 1
l'algèbre te permet de résoudre simplement et exactement :
tu trouves une seule racine valable dans l'intervalle de définition et déterminée exactement
maintenant tu considères l'équation simple : $cos(x) = x$
l'algèbre est incapable de te permettre de trouver la seule racine positive,
par contre l'analyse avec les suites récurrentes te donnera une solution rapide avec une racine déterminée au millionième près
l'algèbre peut fournir un substitut aux constructions de l'analyse dans les cas simples d'équations ou d'identités
et elle donnera une solution précise et exacte (ce qui n'est pas toujours le cas de l'analyse qui répond souvent par encadrements)
en fait le plus souvent algèbre et analyse sont liées et étudiées simultanément
ce qui est le cas dans l'enseignement secondaire français
(exemple avec les identités trigonométriques et les limites de fonctions circulaires associées à 1/x)
cordialement
En fait, je cherche des théorèmes d'impossibilité, c'est pourquoi je repose le problème dans le cadre des fragments logiques qui permettent d'écrire l'algèbre et l'analyse.
Comme l'analyse revient également, pour ma part, à l'étude des nombres réels, je me suis senti porté à parler du problème du continu, auquel je ne connais rien. Il faudrait pouvoir caractériser le problème du continu d'un point de vue logique, qui ne soit pas dépendant d'une théorie mathématique, comme la théorie des ensembles. C'est pourquoi j'ai proposé de regarder ce que cela donnait dans le cadre des catégories.
ignatus.
je suis en train de regarder le document que Maxtimax a gentiment porté à ma connaissance. Apparemment, pour la définition d'une théorie algébrique, on ne peut pas se passer des ensembles. A moins de faire une distinction nette entre notion intuitive des ensembles et théorie mathématique des ensembles, puisque les mathématiques sont écrites dans le langage des ensembles, c'est sur ce terrain là qu'il faut chercher des éventuels théorèmes de limitations. Je ne connais pas très bien la notion d'univers mathématique, mais comment le choix d'un univers influe-t-il sur la manipulation d'ensembles "petits" ? Je ne sais pas comment relier la distinction algèbre/analyse avec celle de petits cardinaux/grands cardinaux.
ignatus.
J'ai besoin d'un cours sur la théorie des ensembles et la théorie des modèles. A un moment, il faut accepter d'apprendre pour pouvoir se poser des questions pertinentes.
ignatus.
Mais avant, je compte lire le document fourni par Maxtimax qui, contrairement à ce que j'écrivais au-dessus, ne se place pas du tout dans le cadre des ensembles, mais utilise celui-ci comme exemple, pour introduire la notion de catégorie syntactique. J'ai toujours dans le viseur, également, le document de GaBuZoMeu sur les topos.
Si je me mets sérieusement dans ces lectures, je devrais intervenir souvent pour poser des questions de compréhension...
ignatus.
Je suis catégorique (avec jeu de mot), aucune chance que ces théories compliquées et exploratrices de mécanismes logiques en amont (différence entre intuitionnisme et classicisme, etc) t'aident pour progresser en TDE.
@michael et Poirot: le livre de PaDe est probablement un gros concentré de choses de fond intéressantes et cuites longtemps (si j'en juge par la fin).
Pour ignatus, s'entrainer à la TDE doit être initialement beaucoup plus formel. Me le rappeler, si j'ai le temps, je mettrai une liste d'exercices permettant de s'orienter.
En gros la TDE "trivialise" toutes les "tendances et instincts" platoniciens en une seule et même démarche langagière et les découvertes de la TDE se situent à l'exact opposé des recherches qui explorent ce qu'il y a entre un ouvert et l'intérieur de son adhérence (pour faire une métaphore).
Du coup, pour des gens qui veulent progresser, il faut faire des choix de destination de "vacances", puisque TDE vogue chez les grands cardinaux et les GC (l'existence de IN est déjà un GC), alors que les démarches plus "constructives" prennent exactement le parti opposé, consistant à voguer dans le concret et d'analyser très en détail certaines canonicités.
En un seul slogan, on peut résumer les choses en disant que les objets qui intéressent la TDE sont au milieu (entre $0=0$ et $0=1$) et sont tous non seulement non canoniques mais surtout DEMONTRABLEMENT NON CANONIQUES de manière approfondie et robuste. Il faut aller discuter avec $0=1$ si on veut récupérer du canonique incluant ces objets et hélas ces recherches se sont peu développées, et sinon, pour résumer, les supercompacts, les huge, etc, sont "au milieu", ils forcent l'isomorphie à être sans intérêt (en gros tout est isomorphe et l'étude porte sur ce qu'il se passe "à l'intérieur" de cette "unique" classe d'isomorphie" (en exagérant, mais peu) , "donc" forcent l'ensemble des réels intéressants à être dénombrable, et les phénomènes étudiés ne portent que sur des réels non définissables, ni "intéressants".
Ce texte révèle une ignorance assez grande des objets évoqués. Les variétés dès lors qu'on les regarde difféomorphement et pas seulement topologiquement sont de l'algèbre.
Plus généralement, l'énoncé $[ZF\vdash P]$ est une question d'algèbre, sans intérêt marqué pour l'analyse, et ça n'a rien à voir avec l'énoncé $P$.
C'est là que se situe la différence. Donc il n'y a sitrctement aucune chance de réaliser tel qu'indiqué en si peu de lignes le projet de Peter. Evidemment, on peut approximer, faire des choses partielles, mais je suis partiellement milliardaire.
Il est intéressant de noter que tous ces slogans qui ressortent régulièrement ont tous en commun une lutte contre le théorème de Godel (ie la différence entre les modèles bien fondés et les modèles tout court) qui est à noter et peut-être "un peu problématique". On a ce phénomène de HoTT pour le plus récent à la recherche de "consistance prouvée" pour la plus ancienne manifestation de cette compulsion. Ca traverse l'histoire des derniers 100ans, je pense.
Il me semble qu'ils indiquent tous que la philosophie est loin d'être absente de la pratique mathématique, et qu'il serait bon d'avoir des mathématiciens capables d'expliquer leurs choix philosophiques, et d'examiner en quoi leurs résultats mathématiques donnent des arguments pour légitimer leurs positions philosophiques.
La question qui se pose alors est de savoir s'il est possible de trancher mathématiquement des positions philosophiques, ce que semblait croire Gödel.
ignatus.
Cela m'indique que ma question n'était pas totalement farfelue...
ignatus.
Scholze utilise les mot "algébriques" et "analytiques" dans les sens où la plupart des mathématiciens l'utilisent. Et son "projet" n'est pas de magiquement tout rendre algébrique. Dans le document mis en lien, si j'ai bien compris (je ne suis qu'un petiot qui voit ça de loin pour l'instant), le projet est surtout de voir jusqu'où on peut reprendre le langage et les idées de la géométrie algébrique sauce Grothendieck (schémas et compagnie) en remplaçant "anneau commutatif" par "anneau topologique", et "module" par "module topologique". Il y a des problèmes techniques qui se posent, et le document tente de développer un bon langage, des bonnes méthodes et des bons outils techniques pour les contourner tout en gardant un truc pas trop dur à manipuler en pratique. Pas de bataille épique contre le théorème de Gödel donc :-D.
1°) chercher à nier secrètement le théorème de Gödel (alors que tout le monde sait ce que c'est vu la pub massive dont il fait l'objet. Chercher à fonder n'est pas chercher à prouver la consistance et les plus béotiens des calculateurs d'intégrales tant méprisés comprennent ça au moins intuitivement).
2°) nier/ignorer la mécanique quantique ("oui mais vous savez la MQ" -hors sujet la plupart du temps; tous les outils contemporains consensuels formalisant la totalité des parties "scandaleuses" de la MQ peuvent être construits dans n'importe quel formalisme banal respectant les plus classiques et les plus ternes des logiques: l'espace projectif sur l'espace de Hilbert vit dans ZFC classique ou les constructions à la Bourbaki avec opérateur de description, rendant les objections à base de "oh qu'est-ce qu'il est niais, il copie des hypothèses" et autres linéarités assez saugrenues). A aucun moment personne n'est forcé de rendre hommage à la sainte MQ dans ses travaux et ça ne les invalide pas.
Bon ici il s'agit surtout de 1°).
Scholtze sait de quoi il parle (un méthématicien de ce calibre est au courant de ce qu'est une variété quand même!)
je n'ai absolument rien compris sur ce que tu essaies de dire à propos de MQ.
Sur ton (1), je ne me sens ni insulter, ni dénigrer qui que ce soit quand je poste ce que j'ai posté tout à l'heure. Tu es un peu "sope au lait" à la place des tendances visées.
Je ne dis pas que Shcoltze, que je ne connais pas, est ignorant en variétés, je dis que son texte est un texte qui manifeste une ignorance sur l'enjeu, mais après, comme tout texte introductif, ma réaction doit surtout servir aux débutants à ôter de ce genre d'intro certains aspects pub ma réaction n'a pas d'intérêt pour les spécialistes.
Je rappelle une simplification de l'enjeu: vouloir étudier certains infinis au delà de la complexité analytique avec des outils dont on peut prouver qu'ils ne peuvent pas marcher. Après comme dit ChatM, "aller vers" n'est pas "atteindre l'horizon", de toute façon.
Je change un peu d'angle: il me semble (et ce n'est pas une insulte, c'est une interrogation) que les positions politiques et "crédits" au sens où en France (et dans le monde par voie partielle de conséquence puisque la France a pas mal d'influence à ce niveau) les labos de geoalgébrique sont bien lotis ne devrait pas trop (c'est à dire devrait moins) continuer de "dominer comme ça" la trésorerie.
Il ne s'agit pas d'amoindrir les qualités des gens qui en font, mais les maths, c'est quand-même un gros truc, qui sait ce qui émergerait si les crédits étaient répartis autrement. Moi, je le répète, c'est ça qui me fait peur, quand une spé "mange trop de crédits" (sans rapport avec les aspects universels de ses découvertes).
Je rappelle tout de même que c'est une situation très arbitraire, elle est "essentiellement due" au fait que les ulmiens sont timides et peu déterminées face aux pontes de geo alg qui vont les chercher rue d'Ulm. Evidemment, lesdits pontes ne commettent pas des hold up, je ne suis pas entrain de les accuser d'être illégitimes, mais je trouve que c'est une chose typiquement française qui est dommage, qui n'est peut-être pas étrangère aux peu de progrès enregistrés et aux problèmes restés ouverts ces dernières décennies. Si tu prends un "ptit ga" que tu le lances sur une conjecture de GA et qu'il y consacre 20ans, tu le perds pour qu'il passe 20ans sur tel ou tel autre problème, faut pas se le cacher, le temps est séquentiel.
je suis d'accord avec toi sur un point : il est regrettable que les modes poussent les talents à courir vers les sujets les plus susceptibles de leur procurer un poste, en ces temps de concurrence mondialisée.
Je pense que la théorie des ensembles mériterait d'être connue d'un plus large public. Je vais sans doute me montrer ignorant, mais il serait nécessaire que la théorie des ensembles se positionne face aux mutations de la pratique mathématique, et montre dans quelle mesure elle a encore son mot à dire. Il n'est pas impossible que certaines théories puissent utiliser des techniques qui, remaniées dans le contexte de la théorie des ensembles, pourraient se révéler utiles pour faire avancer ses propres objectifs. C'est peut-être déjà ce qui se fait, je n'en sais rien. La théorie des ensembles est-elle si particulière qu'elle ne puisse pas s'ouvrir aux nouvelles pratiques ?
ignatus.
Pour cette seconde raison, ça intéresse aussi les homotopistes d'ailleurs (puisque cette idée d'avoir deux "directions" topologiques peut se retrouver aussi)
)