Algèbre et analyse

ignatus
ignatus
dans Fondements et Logique
Bonjour,
je vais sans doute m'attirer les foudres de beaucoup, car j'aborde un sujet sur lequel je n'ai absolument aucun recul.
La question que je me pose est celle de savoir dans quelle mesure une partie de l'analyse peut rester inaccessible à des méthodes algébriques. Jusqu'où l'algèbre peut-elle fournir un substitut aux constructions de l'analyse ?
Les méthodes algébriques ne peuvent-elles pas renouveler les réflexions autour du problème du continu ?
ignatus.

Réponses

  • ignatus
    ignatus
    Bonsoir,
    une manière plus adéquate de poser le problème serait de déterminer le fragment de logique qui serait associé à la majeure partie de l'analyse, si l'on prend pour point de départ les théories géométriques pour exprimer l'algèbre.
    Plus précisément, j'aimerais être un peu plus savant sur le problème du continu, et celui de savoir si le passage par les catégories pourrait donner quelque chose.
    Est-ce que quelqu'un connaîtrait des travaux de personnes qui auraient essayé de reformuler le problème du continu dans le cadre des catégories ?

    En vous remerciant,
    ignatus.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    les outils et le domaine de l'analyse sont effectivement plus vastes et plus riches que ceux de l'algèbre

    tu considères l'équation logarithmique : $ln(x^2 + 1) = 2ln(x - 1) + ln(x + 1)$ avec x > 1
    l'algèbre te permet de résoudre simplement et exactement :
    tu trouves une seule racine valable dans l'intervalle de définition et déterminée exactement

    maintenant tu considères l'équation simple : $cos(x) = x$
    l'algèbre est incapable de te permettre de trouver la seule racine positive,
    par contre l'analyse avec les suites récurrentes te donnera une solution rapide avec une racine déterminée au millionième près

    l'algèbre peut fournir un substitut aux constructions de l'analyse dans les cas simples d'équations ou d'identités
    et elle donnera une solution précise et exacte (ce qui n'est pas toujours le cas de l'analyse qui répond souvent par encadrements)
    en fait le plus souvent algèbre et analyse sont liées et étudiées simultanément
    ce qui est le cas dans l'enseignement secondaire français
    (exemple avec les identités trigonométriques et les limites de fonctions circulaires associées à 1/x)

    cordialement
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone très "roughly speaking" l'algèbre travaille dans Peano 1er ordre et l'analyse dans Peano2nd ordre.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Foys
    Foys
    @christophe c: cependant quand on fait tourner des choses comme le théorème des idéaux maximaux on est déjà plus dans PA 1er ordre ...
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Foys
    En fait l'analyse est l'étude de $\R$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • ignatus
    ignatus
    Merci beaucoup pour vos réponses.

    En fait, je cherche des théorèmes d'impossibilité, c'est pourquoi je repose le problème dans le cadre des fragments logiques qui permettent d'écrire l'algèbre et l'analyse.
    Comme l'analyse revient également, pour ma part, à l'étude des nombres réels, je me suis senti porté à parler du problème du continu, auquel je ne connais rien. Il faudrait pouvoir caractériser le problème du continu d'un point de vue logique, qui ne soit pas dépendant d'une théorie mathématique, comme la théorie des ensembles. C'est pourquoi j'ai proposé de regarder ce que cela donnait dans le cadre des catégories.

    ignatus.
  • ignatus
    ignatus
    Bonjour,

    je suis en train de regarder le document que Maxtimax a gentiment porté à ma connaissance. Apparemment, pour la définition d'une théorie algébrique, on ne peut pas se passer des ensembles. A moins de faire une distinction nette entre notion intuitive des ensembles et théorie mathématique des ensembles, puisque les mathématiques sont écrites dans le langage des ensembles, c'est sur ce terrain là qu'il faut chercher des éventuels théorèmes de limitations. Je ne connais pas très bien la notion d'univers mathématique, mais comment le choix d'un univers influe-t-il sur la manipulation d'ensembles "petits" ? Je ne sais pas comment relier la distinction algèbre/analyse avec celle de petits cardinaux/grands cardinaux.

    ignatus.
  • ignatus
    ignatus
    En fait, je crois que je n'y comprends rien.
    J'ai besoin d'un cours sur la théorie des ensembles et la théorie des modèles. A un moment, il faut accepter d'apprendre pour pouvoir se poser des questions pertinentes.

    ignatus.
  • Poirot
    Poirot
    Tu devrais lire le livre de Patrick Dehornoy sur la théorie des ensembles, ça te permettra d'aborder ces magnifiques thèmes (on va croire que je fais du lobbying pour ce livre à ce stade, mais c'est vraiment une excellente lecture).
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone je ne peux détailler. Je réponds à Foys mais ça peut aider pour le reste. Oui mais disons que l'algèbre même si elle passe par des axiomes GC va avoir tendance à VISER des énoncés diophantiens éventuellement arithmétique quand l'analyse assume viser IR et des propriétés le concernant n'influant que peu notre connaissance du diophantiens
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • ignatus
    ignatus
    Oui, le livre du regretté Patrick Dehornoy, que j'ai dans ma bibliothèque, fait partie de mon programme de lecture.
    Mais avant, je compte lire le document fourni par Maxtimax qui, contrairement à ce que j'écrivais au-dessus, ne se place pas du tout dans le cadre des ensembles, mais utilise celui-ci comme exemple, pour introduire la notion de catégorie syntactique. J'ai toujours dans le viseur, également, le document de GaBuZoMeu sur les topos.
    Si je me mets sérieusement dans ces lectures, je devrais intervenir souvent pour poser des questions de compréhension...

    ignatus.
  • michael
    michael
    Poirot : quel bagage, quels pré-requis te semble(nt) nécessaire(s) pour aborder le livre de Patrick Dehornoy confortablement ? Faut-il déjà être un peu initié à la théorie des ensembles au-delà de l'approche "naïve" que l'on a en L1 ?
  • Poirot
    Poirot
    Oui il me semble nécessaire d'avoir un minimum de familiarité avec les concepts de base concernant les ensembles, même à un niveau très superficiel.
  • Chat-maths
    Chat-maths
    Pour "algébriciser" l'analyse, pas de soucis, Peter Scholze est sur le coup! Je cite l'introduction de ceci : https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Analytic.pdf
    Peter Scholze a écrit:
    Mumford writes in Curves and their Jacobians: “[Algebraic geometry] seems to have acquired the reputation of being esoteric, exclusive, and very abstract, with adherents who are secretly plotting to take over all the rest of mathematics. In one respect this last point is accurate.” For some reason, this secret plot has so far stopped short of taking over analysis. The goal of this course is to launch a new attack, turning functional analysis into a branch of commutative algebra, and various types of analytic geometry (like manifolds) into algebraic geometry. Whether this will make these subjects equally esoteric will be left to the reader’s judgement.

    [...]

    The author always had the impression that the highly categorical techniques of algebraic geometry could not possibly be applied in analytic situations; and certainly not over the real numbers. The goal of this course is to correct this impression.
  • christophe c
    christophe c
    ignatus a écrit:
    Mais avant, je compte lire le document fourni par Maxtimax qui, contrairement à ce que j'écrivais au-dessus, ne se place pas du tout dans le cadre des ensembles, mais utilise celui-ci comme exemple, pour introduire la notion de catégorie syntactique. J'ai toujours dans le viseur, également, le document de GaBuZoMeu sur les topos.

    Je suis catégorique (avec jeu de mot), aucune chance que ces théories compliquées et exploratrices de mécanismes logiques en amont (différence entre intuitionnisme et classicisme, etc) t'aident pour progresser en TDE.

    @michael et Poirot: le livre de PaDe est probablement un gros concentré de choses de fond intéressantes et cuites longtemps (si j'en juge par la fin).

    Pour ignatus, s'entrainer à la TDE doit être initialement beaucoup plus formel. Me le rappeler, si j'ai le temps, je mettrai une liste d'exercices permettant de s'orienter.

    En gros la TDE "trivialise" toutes les "tendances et instincts" platoniciens en une seule et même démarche langagière et les découvertes de la TDE se situent à l'exact opposé des recherches qui explorent ce qu'il y a entre un ouvert et l'intérieur de son adhérence (pour faire une métaphore).

    Du coup, pour des gens qui veulent progresser, il faut faire des choix de destination de "vacances", puisque TDE vogue chez les grands cardinaux et les GC (l'existence de IN est déjà un GC), alors que les démarches plus "constructives" prennent exactement le parti opposé, consistant à voguer dans le concret et d'analyser très en détail certaines canonicités.

    En un seul slogan, on peut résumer les choses en disant que les objets qui intéressent la TDE sont au milieu (entre $0=0$ et $0=1$) et sont tous non seulement non canoniques mais surtout DEMONTRABLEMENT NON CANONIQUES de manière approfondie et robuste. Il faut aller discuter avec $0=1$ si on veut récupérer du canonique incluant ces objets et hélas ces recherches se sont peu développées, et sinon, pour résumer, les supercompacts, les huge, etc, sont "au milieu", ils forcent l'isomorphie à être sans intérêt (en gros tout est isomorphe et l'étude porte sur ce qu'il se passe "à l'intérieur" de cette "unique" classe d'isomorphie" (en exagérant, mais peu) , "donc" forcent l'ensemble des réels intéressants à être dénombrable, et les phénomènes étudiés ne portent que sur des réels non définissables, ni "intéressants".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Je copie-colle la traduction française de ce que vient de poster chat-maths:
    La citation de
    Peter Scholze
    Mumford écrit dans Curves and their Jacobians : «[La géométrie algébrique] semble avoir acquis la réputation d'être ésotérique, exclusive et très abstraite, avec des adeptes qui complotent secrètement pour reprendre le reste des mathématiques. À un égard, ce dernier point est exact. » Pour une raison quelconque, ce complot secret n'a jusqu'à présent pas réussi à reprendre l'analyse. L'objectif de ce cours est de lancer une nouvelle attaque, transformant l'analyse fonctionnelle en une branche d'algèbre commutative, et divers types de géométrie analytique (comme les variétés) en géométrie algébrique. La question de savoir si cela rendra ces sujets également ésotériques sera laissée à l'appréciation du lecteur.

    [...]

    L'auteur a toujours eu l'impression que les techniques hautement catégoriques de la géométrie algébrique ne pouvaient être appliquées dans des situations analytiques; et certainement pas sur les chiffres réels. Le but de ce cours est de corriger cette impression.


    Ce texte révèle une ignorance assez grande des objets évoqués. Les variétés dès lors qu'on les regarde difféomorphement et pas seulement topologiquement sont de l'algèbre.

    Plus généralement, l'énoncé $[ZF\vdash P]$ est une question d'algèbre, sans intérêt marqué pour l'analyse, et ça n'a rien à voir avec l'énoncé $P$.

    C'est là que se situe la différence. Donc il n'y a sitrctement aucune chance de réaliser tel qu'indiqué en si peu de lignes le projet de Peter. Evidemment, on peut approximer, faire des choses partielles, mais je suis partiellement milliardaire.

    Il est intéressant de noter que tous ces slogans qui ressortent régulièrement ont tous en commun une lutte contre le théorème de Godel (ie la différence entre les modèles bien fondés et les modèles tout court) qui est à noter et peut-être "un peu problématique". On a ce phénomène de HoTT pour le plus récent à la recherche de "consistance prouvée" pour la plus ancienne manifestation de cette compulsion. Ca traverse l'histoire des derniers 100ans, je pense.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • ignatus
    ignatus
    Je réponds très brièvement aux derniers posts.
    Il me semble qu'ils indiquent tous que la philosophie est loin d'être absente de la pratique mathématique, et qu'il serait bon d'avoir des mathématiciens capables d'expliquer leurs choix philosophiques, et d'examiner en quoi leurs résultats mathématiques donnent des arguments pour légitimer leurs positions philosophiques.
    La question qui se pose alors est de savoir s'il est possible de trancher mathématiquement des positions philosophiques, ce que semblait croire Gödel.

    ignatus.
  • ignatus
    ignatus
    Merci Chat-maths pour la référence !!
    Cela m'indique que ma question n'était pas totalement farfelue...

    ignatus.
  • Chat-maths
    Chat-maths
    C'est un petit fort de qualifier Peter Scholze, l'un des plus jeune médaillé Fields depuis Serre, de "grandement ignorant", non? (:D

    Scholze utilise les mot "algébriques" et "analytiques" dans les sens où la plupart des mathématiciens l'utilisent. Et son "projet" n'est pas de magiquement tout rendre algébrique. Dans le document mis en lien, si j'ai bien compris (je ne suis qu'un petiot qui voit ça de loin pour l'instant), le projet est surtout de voir jusqu'où on peut reprendre le langage et les idées de la géométrie algébrique sauce Grothendieck (schémas et compagnie) en remplaçant "anneau commutatif" par "anneau topologique", et "module" par "module topologique". Il y a des problèmes techniques qui se posent, et le document tente de développer un bon langage, des bonnes méthodes et des bons outils techniques pour les contourner tout en gardant un truc pas trop dur à manipuler en pratique. Pas de bataille épique contre le théorème de Gödel donc :-D.
  • Foys
    Foys
    christophe c a écrit:
    Il est intéressant de noter que tous ces slogans qui ressortent régulièrement ont tous en commun une lutte contre le théorème de Godel (ie la différence entre les modèles bien fondés et les modèles tout court)
    Moi ce que j'ai noté :-D c'est que deux grandes catégories d'insultes préférées des logiciens (je l'ai vu en dehors de ce forum) pour dénigrer des travaux qu'ils n'aiment pas consistent à accuser la cible de
    1°) chercher à nier secrètement le théorème de Gödel (alors que tout le monde sait ce que c'est vu la pub massive dont il fait l'objet. Chercher à fonder n'est pas chercher à prouver la consistance et les plus béotiens des calculateurs d'intégrales tant méprisés comprennent ça au moins intuitivement).
    2°) nier/ignorer la mécanique quantique ("oui mais vous savez la MQ" -hors sujet la plupart du temps; tous les outils contemporains consensuels formalisant la totalité des parties "scandaleuses" de la MQ peuvent être construits dans n'importe quel formalisme banal respectant les plus classiques et les plus ternes des logiques: l'espace projectif sur l'espace de Hilbert vit dans ZFC classique ou les constructions à la Bourbaki avec opérateur de description, rendant les objections à base de "oh qu'est-ce qu'il est niais, il copie des hypothèses" et autres linéarités assez saugrenues). A aucun moment personne n'est forcé de rendre hommage à la sainte MQ dans ses travaux et ça ne les invalide pas.

    Bon ici il s'agit surtout de 1°).
    Scholtze sait de quoi il parle (un méthématicien de ce calibre est au courant de ce qu'est une variété quand même!)
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    @foys :-D

    je n'ai absolument rien compris sur ce que tu essaies de dire à propos de MQ.

    Sur ton (1), je ne me sens ni insulter, ni dénigrer qui que ce soit quand je poste ce que j'ai posté tout à l'heure. Tu es un peu "sope au lait" à la place des tendances visées.

    Je ne dis pas que Shcoltze, que je ne connais pas, est ignorant en variétés, je dis que son texte est un texte qui manifeste une ignorance sur l'enjeu, mais après, comme tout texte introductif, ma réaction doit surtout servir aux débutants à ôter de ce genre d'intro certains aspects pub ma réaction n'a pas d'intérêt pour les spécialistes.

    Je rappelle une simplification de l'enjeu: vouloir étudier certains infinis au delà de la complexité analytique avec des outils dont on peut prouver qu'ils ne peuvent pas marcher. Après comme dit ChatM, "aller vers" n'est pas "atteindre l'horizon", de toute façon.

    Je change un peu d'angle: il me semble (et ce n'est pas une insulte, c'est une interrogation) que les positions politiques et "crédits" au sens où en France (et dans le monde par voie partielle de conséquence puisque la France a pas mal d'influence à ce niveau) les labos de geoalgébrique sont bien lotis ne devrait pas trop (c'est à dire devrait moins) continuer de "dominer comme ça" la trésorerie.

    Il ne s'agit pas d'amoindrir les qualités des gens qui en font, mais les maths, c'est quand-même un gros truc, qui sait ce qui émergerait si les crédits étaient répartis autrement. Moi, je le répète, c'est ça qui me fait peur, quand une spé "mange trop de crédits" (sans rapport avec les aspects universels de ses découvertes).

    Je rappelle tout de même que c'est une situation très arbitraire, elle est "essentiellement due" au fait que les ulmiens sont timides et peu déterminées face aux pontes de geo alg qui vont les chercher rue d'Ulm. Evidemment, lesdits pontes ne commettent pas des hold up, je ne suis pas entrain de les accuser d'être illégitimes, mais je trouve que c'est une chose typiquement française qui est dommage, qui n'est peut-être pas étrangère aux peu de progrès enregistrés et aux problèmes restés ouverts ces dernières décennies. Si tu prends un "ptit ga" que tu le lances sur une conjecture de GA et qu'il y consacre 20ans, tu le perds pour qu'il passe 20ans sur tel ou tel autre problème, faut pas se le cacher, le temps est séquentiel.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • ignatus
    ignatus
    @christophe c,

    je suis d'accord avec toi sur un point : il est regrettable que les modes poussent les talents à courir vers les sujets les plus susceptibles de leur procurer un poste, en ces temps de concurrence mondialisée.
    Je pense que la théorie des ensembles mériterait d'être connue d'un plus large public. Je vais sans doute me montrer ignorant, mais il serait nécessaire que la théorie des ensembles se positionne face aux mutations de la pratique mathématique, et montre dans quelle mesure elle a encore son mot à dire. Il n'est pas impossible que certaines théories puissent utiliser des techniques qui, remaniées dans le contexte de la théorie des ensembles, pourraient se révéler utiles pour faire avancer ses propres objectifs. C'est peut-être déjà ce qui se fait, je n'en sais rien. La théorie des ensembles est-elle si particulière qu'elle ne puisse pas s'ouvrir aux nouvelles pratiques ?

    ignatus.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    (Chat-Maths : attention hein, pour le moment les travaux de Scholze sont loin d'algébriciser l'analyse - ce qui l'intéresse principalement, c'est réussir à algébriciser l'analyse $p$-adique. Enfin même, plus précisément, réussir à gérer "deux directions topologiques" en même temps (l'une venant de ton anneau - souvent un machin $p$-adique - et l'autre venant de son spectre.
    Pour cette seconde raison, ça intéresse aussi les homotopistes d'ailleurs (puisque cette idée d'avoir deux "directions" topologiques peut se retrouver aussi)
    )
  • Chat-maths
    Chat-maths
    @Max: tu t'es un peu intéressé à ces trucs? J'ai cru comprendre que ce dont tu parles (tenter "algébriciser" l'analyse $p$-adique), c'est ce que Scholze à fait dans ses affaires de maths condensées (avec la notion de $A$-module "solide"), et que dans ses histoires de géométrie analytique, il s'attaque vraiment à des trucs sur $\mathbb{R}$ et pas du $p$-adique (avec la notion de $\mathbb{R}$-ev "liquide"). Mais puisque je suis plutôt en train d'essayer de m'initier au maths condensées (et je suis pas très loin dans le papier :-D), j'ai peut-être mal compris de quoi parle son truc de géométrie analytique.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Chat-Maths : ah mince j'ai parlé trop vite, je croyais que ton message parlait des maths condensées justement, tu as tout à fait raison :-D je n'avais pas remarqué qu'il faisait deux machins
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