Conjectures en théorie des topoï
Bonsoir à tous
Connaissez-vous des conjectures et des problèmes ouverts très célèbres en théorie des topoï, non encore résolus jusqu'à maintenant ?
Merci d'avance.
Connaissez-vous des conjectures et des problèmes ouverts très célèbres en théorie des topoï, non encore résolus jusqu'à maintenant ?
Merci d'avance.
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Réponses
Tiens ! Pablo_de_retour, le retour ! Tu n'abandonnes plus les mathématiques ?
Cordialement,
Rescassol
En cherchant des questions ouvertes sur les topoï, j'ai trouvé ça : « Dans quelle mesure précisément l’entreprise lancée par Curtius dans l’immédiate après-guerre trouve-t-elle une forme de postérité dans le projet d’un thésaurus des topoï romanesques ? » (:P)
https://github.com/mattearnshaw/lawvere/blob/master/pdfs/2009-open-problems-in-topos-theory.pdf
qui contient une description de problèmes ouverts en théorie des topos. Cependant Lawvere semble l'avoir supprimé de son site, ce qui suggère que les problèmes ont été résolus. Comme je ne suis pas sûr, le mieux serait de tous les résoudre au cas où.
Merci Lupulus. ;-)
@gebrane : Tu peux voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Topos_(mathématiques) pour commencer.
A la page $ 11 $ du pdf inséré çi-joint, on définit un topos comme étant une catégorie qui est équivalente à la catégorie des faisceaux d'ensembles $ \mathcal{E}_{(C,J)} $ sur un site $ (C,J) $.
Puis, en bas de la page $ 11 $, et au début de la page $ 12 $, on dit que pour toute catégorie $ \mathcal{C} $ essentiellement petite, la catégorie $ \mathcal{E}_{ \mathcal{C}} $ des préfaisceaux sur $ \mathcal{C} $, c'est à dire, des foncteurs contravariants $ F \ : \ \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } \to \mathrm{Ens} $ est un topos, parce que, c'est la catégorie des faisceaux sur $ \mathcal{C} $ pour la topologie triviale.
Alors comment ça se fait que $ \mathcal{E}_{ \mathcal{C}} $ est un topos, parce qu'il se met sous la forme $ \mathcal{E}_{ (\mathcal{C},J) } $, avec $ J $ la topologie triviale, alors que, dans $ \mathcal{E}_{ \mathcal{C}} $, il y'a des préfaisceaux qui ne sont pas forcément des faisceaux, donc, ils ne sont pas dans $ \mathcal{E}_{ (\mathcal{C},J) } $ ?
Merci d'avance.
ça veut dire que, tout préfaisceau sur $ \mathcal{C} $ est un faisceau sur le site $ ( \mathcal{C} , J ) $ avec, $ J $ la topologie triviale ?. Comment le démontrer ?
Merci d'avance.
J'ai une autre question :
Comment montrer que tout topos de Grothendieck est un topos élémentaire, mais la réciproque est fausse ?
Merci d'avance.
Pour montrer que, un topos de Grothendieck $ \mathrm{Sh} ( \mathcal{C} , J ) $ est un Topos élémentaire, il faut montrer les trois éléments suivants :
- $ \mathrm{Sh} ( \mathcal{C} , J ) $ est pourvu de limites finies.
- $ \mathrm{Sh} ( \mathcal{C} , J ) $ est pourvu d'exponentielles.
- $ \mathrm{Sh} ( \mathcal{C} , J ) $ est pourvu d'un classificateur de sous objets.
Comment alors établir ces trois points ?
Merci d'avance.
Soit $ \hat{ \mathcal{C} } = \mathrm{Set}^{ \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } } $ la catégorie des pré-faisceaux en ensembles, sur la catégorie $ \mathcal{C} $.
Soit $ i \ : \ \mathrm{Sh} ( \mathcal{C} , J ) \to \hat{\mathcal{C}} $ le foncteur inclusion, qui est un foncteur pleinement fidèle.
Soit $ a \ : \ \hat{\mathcal{C}} \to \mathrm{Sh} ( \mathcal{C} , J ) $ son adjoint à gauche, qui est le foncteur de faisceautisation.
Comme adjoint à droite, $ i $ préserve les limites.
Comme adjoint à gauche, $ a $ préserve les colimites.
Comme $ \hat{ \mathcal{C} } $ a toutes les limites et toutes les colimites, car, $ \mathrm{Set} $ les ayant, et les limites et colimites de $ \hat{ \mathcal{C} } $ étant calculés point par point, alors,
$ \mathrm{Sh} ( \mathcal{C} , J ) $ a toutes les limites et colimites, et à fortiori, a toutes les limites finies et toutes les colimites finies.
Non ?
On pose, pour tout $ C \in \mathrm{Obj} ( \mathcal{C} ) $,
$$ \Omega (C) = \{ S \ \text{ crible clos sur } \ C \ \} $$
$ \Omega \ : \ \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } \to \mathrm{Set} $ vérifie les axiomes d'un faisceau.
$ \Omega := \Omega (C) $ muni d'une flèche $ \mathrm{true} \ : \ 1 \to \Omega $ est un objet classifiant pour $ \mathrm{Sh} ( \mathcal{C} , J ) $, ( Il suffit de le vérifier ), avec, $ 1 \ : \ \mathcal{C}^{ \mathrm{op} } \to \mathrm{Set} $ est un
foncteur définie par, $ 1(C) = \{ * \} $ et $ 1(f) = 1_{ \{ * \} } $ pour tout $ C \in \mathrm{Obj} ( \mathcal{C} ) $, et pour tout $ f \in \mathrm{Fl} ( \mathcal{C} ) $.
Le foncteur $ 1 $ est l'objet terminal de $ \mathrm{Sh} ( \mathcal{C} ,J) $.
Pour tout $ P,Q \in \hat{ \mathcal{C} } $, on pose, $ Q^P (C) := \mathrm{Hom}_{ \hat{ \mathcal{C} } } ( h_C \times P , Q ) $.
On a, $ Q^P \in \hat{ \mathcal{C} } $.
$ Q^P $ est un exponentielle de $ \hat{ \mathcal{C} } $ pour tout $ P,Q \in \hat{ \mathcal{C} } $.
On vérifie ensuite, par un argument d'adjonction, que les exponentielles de $ \mathrm{Sh} ( \mathcal{C} , J ) $ sont exactement les exponentielles de $ \hat{C} $.
D'où, $ \mathrm{Sh} ( \mathcal{C} , J ) $ est un topos élémentaire.
Par conséquent, tout topos de Grothendieck est un topos élémentaire.
Comment démontrer ça, s'il vous plaît ?
C'est à dire, comment démontrer que, $ \mathrm{Sh} ( \mathcal{C} , J_{ \mathrm{tr} } ) = \hat{ \mathcal{C} } $ ?
$ J_{ \mathrm{tr} } $ est la topologie triviale du site $ ( \mathcal{C} , J_{ \mathrm{tr} } ) $.
Merci d'avance.