Différence symétrique générale

Yann Le Gac
Yann Le Gac
dans Fondements et Logique
Bonjour

J'ai une question sur les différences symétriques. On se donne $A_1,...,A_n$ des parties d'un même ensemble $E$ et on considère $A_1 \Delta A_2 \Delta \cdots \Delta A_n$, qui est bien définie puisque $\Delta$ est associative. La question est que cela signifie-t-il du point de vue de l'appartenance à une telle partie. Pour deux parties, c'est appartenir à une seule des deux. Pour trois parties, c'est appartenir à une seule des parties ou à toutes (les trois). Je n'arrive pas à généraliser... Serait-ce le fait d'appartenir à une quantité impaire de parties? Des idées?

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Oui pour impair
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Foys
    Foys
    Soit $E$ un ensemble.
    L'application qui à une partie $X$ de $E$ fait correspondre sa fonction caractéristique à valeurs dans $\Z /2/Z$ ($u\mapsto 1$ si $u\in X$ et $0$ sinon). est un isomorphisme d'anneaux entre $\left (\mathcal P(E), \Delta, \cap \right )$ et $\left ( (\Z /2\Z)^E, + \right)$ où, pour des éléments $f,g \in (\Z /2\Z)^E$, $f+g$ (resp. $f\times g$) désigne $x\mapsto f(x)+g(x)$ (resp. $x\mapsto f(x) \times g(x)$).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Il serait bon d'augmenter la réponse de Foys avec la remarque que la fonction "$x$ m'appartient" : $ev_x : \mathcal P(E)\to \Z/2\Z$, qui à $A$ associe $1$ si $x\in A$, $0$ sinon, correspond à la projection sur la coordonnée $x$ : $(\Z/2\Z)^E\to \Z/2\Z$, qui est un morphisme de groupes.

    En particulier, $ev_x(A_1\Delta ... \Delta A_k)=\mathbf 1_{A_1}(x) + ... +\mathbf 1_{A_k}(x)$ (où $\mathbf 1_A$ désigne l'indicatrice de $A$), ce qui donne bien le résultat sur la parité.
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