Pas de bon ordre sur $\R$ ?

Pourquoi l’union des Xn fait R ? C’est ça que tu utilises pour dire que R indénombrable => il existe n tel que blabla j’imagine.

Je pense que c’est faux, dommage parce qu’avec zermelo ça aurait montré que ZFC est contradictoire

Il n'y a rien qui garantisse que pour tout $x\in \R$, il existe un entier $n$ tel que $x \triangleleft n$.

Je ne sais pas comment tu as pensé à ça mais je pense que tu avais l’axiome d’archimède en tête en oubliant que ça concerne ma relation d’ordre usuelle sur R et pas pour toute relation d’ordre ou la tienne.

Édit: enfin j’en sais rien en fait c’est un peu présomptueux j’aurais pu faire la bourde

Nan mais j’ai fait mon psychologue du dimanche, l’axiome d’Archimède c’est la phrase « tout reel est majoré par un entier pour la relation d’ordre usuelle » sauf qu’ici t’as pas pris la relation d’ordre usuelle et je ne vois pas pourquoi chaque réel serait majoré par un entier avec ta relation d’ordre supposée.

Édit: et ça mérite quand même une justification minutieuse parce que tu démontres que ZFC est contradictoire quand même :-D

serge buckel a écrit:

Et oui, je "sens" que ZF+AC est contradictoire.

Si ZF+AC est contradictoire, ZF tout court l'est aussi; cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Univers_constructible

@Foys : "Si ZF+AC est contradictoire, ZF tout court l'est aussi".

Tu m'as coupé l'herbe sous les pieds, j'allais rétorquer la même chose à Serge.

Ça m'apprendra, j'avais qu'à me lever plus tôt, lol

@Serge

serge burkel a écrit:

En ordonnant X(n) par rapport à $\triangleleft$, on obtient une suite infinie décroissante qui part de son maximum (limite), l'entier n

Comment construis tu cette suite ?

J'ai l'impression que ton argument est "je dispose d'un ensemble bien ordonné infini donc je peux construire une suite (infinie) strictement décroissante à valeur dans cet ensemble", ce qui est faux (penser à l'ensemble des entiers naturels).

Cordialement

Serge a écrit:

Vous savez comment je fonctionne : surtout commencer par une idée vague en évitant

Bin non, enfin peut-être mais trop grossièrement.

Je pense que tu es quelqu'un de sérieux qui a certaines compétences, mais tu as posté un grand nombre de "pdf d'essai" avec des thématiques qui hélas peuvent effrayer à cause de tes titres "preuve de P=NP" ou encore "preuve de P $\neq$ NP", etc.

Tes pdf rédigés en latex ne peuvent se lire en grignotant des cacahuètes, ils ne sont pas assez aérés.

Je pense que tu surestimes la façon dont on connait ou avons pu se familiariser avec tes paradigmes.

Concernant IR, il y a 1000 façons de prouver (à partir d'axiomes ad hoc) qu'il n'est pas bien ordonnable, comme il y a 2000 façons de prouver qu'il est bien ordonnable.

Là encore, si moi, personnellement, je suis plutôt positif quant à la non obligation de choisir des axomes plutôt que d'autres, tu n'emporteras pas l'enthousiasme de la plupart des autres lecteurs. Or je suis à la Montagne (enfin, là, je viens de la quitter suis sur un wifi autoroute), et même avant je t'avoue que je ne me suis pas plongé dans tes pensées, ayant de nombreux ennuis et occupations par ailleurs.

J'ai croisé vite fait que tu ne croyais même pas à l'infini "IN" il y a quelques mois, en te lisant, je ne m'étonne que guère que tu ne veuilles pas "de IR".

Maintenant, je pense que si tu veux faire autre chose que de la calculabilité, il te faut te former "un peu plus" en TDE car si pour le diophantien et le concret, distinguer les noms des objets est facile et peu conséquent de toute façon, il en va tout autrement du monde infinitiste.

1/ Dans un modèle dénombrable de ZF, IR est bien ordonnable par IN, et il est utile même si trivial de préciser que le bon ordre lui est extérieur

2/ Dans n'importe quel modèle de ZF, même les plus exotiques, l'énoncé: $\R\cap L$ est canoniquement bien ordonnable est un théorème "facile" (et $\R\cap L=\R$ quand $V=L$). Cela contredit COMPLETEMENT tes intuitions, même platoniciennes. On a ici un bon ordre qui est en plus définissable avec des moyens simples et conrets

3/ Le mot "IR" est avant tout un mot. Il te faut distinguer ça de l'objet.

4/ L'existence d'un bon ordre sur IR est un théorème qui se déduit facilement de l'axiome du choix. Il n'y a même pas besoin de "forte puissance infiniste" pour l'obtenir

5/ Conceptuellement, il est facile, même sans connaitre $L$ de voir ce que "se contente de dire" ZFC. Tu construis $U_{\alpha}$ par récurrence ordinale en passant de lui à $U_{\alpha+1}$ en ajoutant une des collections que ZF commande être un ensemble (c'est toujours trivial à ordonner) et qui n'est pas un élément de $U_{\alpha}$. Au bout d'un certain rang (petit à l'échelle ensembliste), tu obtiens un banal modèle de ZFC.

6/ Les choix philosophiques qui mènent à des "IR pas bien ordonnables" sont encore assez peu consensuels au regard du platonisme: il s'agit en effet "in some sense", si je regroupe toutes les tendances en peu de mots" de voir TOUTE partie de IR comme la réalisation d'une formule "infinie-Borel" (ie obtenue avec conjonctions quelconques et négations). C'est compatible avec ZF + nonAC, mais c'est surtout "un point de vue". Dans ce contexte le paradoxe de Banch-Tarski par exemple n'est pas nié, il est simplement une flèche qui permet à l'univers de connaitre l'existence de réels "extérieurs à lui".

7/ Les englober dans l'univers en renonçant à AC (tous ces réels concevables) est un choix pratique. En bref, ce n'est pas du tout une démarche naive et amateure. Tu sembles "sensible" à cette approche sans savoir qu'elle existe epuis longtemps, aussi je t'encourage à l'étudier comme "un étudiant", tu t'éclateras plus et ça n'entravera pas ta créativité.

@Serge : je suis d'accord avec Christophe. Si tu veux arrêter de parler pour ne rien dire il te faut mettre un peu le nez dans la TDE.
Tu ne peux pas décemment écrire "ce qui me gêne c'est que l'on ajoute des axiomes dans tous les sens". On n'ajoute pas des axiomes pour le plaisir, mais souvent suite à une motivation due à des travaux antérieurs.
Il n'existe pas non plus de cardinaux qui soient plus grands qu'eux-mêmes.

"Par ailleurs, en passant à la limite, on peut fabriquer des structures ou des énoncés qui n'existent pas mais qui existent partout avant (et inversement)."
Qu'est-ce que tu veux qu'on comprenne à ça ?

Cette théorie comporte un grand nombre de subtilités, qu'on ne peut pas prétendre maîtriser en en ayant seulement vaguement discuté au bistrot du coin. Il faut aussi savoir que dans la théorie des grands cardinaux on dispose surtout de résultats de consistance relative, qui n'ont rien à voir avec des implications.
Par exemple, la consistance de la théorie ZFC + "il existe une infinité de cardinaux Woodin" entraîne la consistance de ZF + AD***, alors que ça se voit à 3 km que ces deux théories sont contradictoires entre elles.

Quant à la probabilité qu'il existe un bon ordre sur $\mathbb{R}$, j'aimerais bien que tu m'expliques ce que ça peut bien vouloir dire !

Cordialement

Martial


*** à vrai dire ces deux théories sont même équiconsistantes.

Oui et je garde la voiture car j'ai RV avec syndicat mardi matin et ne veux pas y aller en transports, et pas sûr que je reste à Paris après (je me ruine, enfin ça fait longtemps même que je suis en négatif), tant je ressens "une allergie" rien que d'en approcher (de Paris). Du coup on va pouvoir se voir sans contrainte de métro, RER, etc. (J'ai réussi à rouler à 4.8L/100, le locataire d'avant faisait 6.6L/100).

:-D :-D (tu)

@Serge : oui, j'avais vu le smiley.

Pour répondre à ton dernier post : tu as absolument le droit d'écrire ce que tu veux, et même de parler pour ne rien dire, ça ne gêne personne, surtout pas moi.

Mais tu ne peux pas montrer dans ZF que $\mathbb{R}$ n'est pas bien ordonnable, cela reviendrait à dire que $\neg AC$ est un théorème de ZF, et on sait depuis 1940 que c'est faux.

Par contre, si tu as des arguments heuristiques pour justifier la non-existence d'un tel bon ordre, on est prêts à t'écouter... mais s'il te plaît ne prends pas la mouche pour rien.

Je ne vois pas bien où est la suite décroissante après avoir placé $X$ après tous les éléments de $D$. Dans $\omega+1$ on a $0 < 1 < \dots < \omega$.

On peut avoir une infinité de tels $X$, par exemple dans $\omega.2$ : $0 < 1 \dots < \omega < \omega + 1 < \dots$, toujours pas de contradiction avec le bon ordre.

Dans ta "démonstration" tu n'utilises à aucun moment $\mathbb R$ en lui-même. J'ai l'impression que tu cherches à démontrer que l'on ne peut pas bien ordonner un ensemble non dénombrable ! Pourtant c'est tout à fait possible, par exemple pour $\omega_1$ (qui je le rappelle est l'ensemble des ordinaux dénombrables).

Je ne suis pas mathématicien expert mais j’avais trouvé le [large]K[/large]rivine super bien pour démarrer la TDE, mais pour ton truc sur les entiers finis arbitrairement grands, avec ta définition d’arbitrairement grand ça implique effectivement infini, |S| > k veut dire k appartient à |S| chez les ordinaux (et donc cardinaux qui sont des ordinaux), si c’est vrai pour tout k entier alors |S| contient tous les entiers donc l’ensemble des entiers donc t’as une injection d’un cardinal infini dans |S| (donné par l’inclusion), donc non il n'est pas fini.

Je viens de déjeuner avec Martial. J'ai encore la voiture. Dis moi où et quand je peux venir. Et merci!!

@grothenbiete : c'est quand que tu viens manger à la maison ?

@Poirot : c'est quand que tu viens manger à la maison ?

@Christophe : c'est quand que tu viens manger à la maison ?

@Serge : sorry, tu es trop cynique, j'ai décidé de ne pas t'inviter.
Une autre fois, peut-être...
Et bon anniversaire !

Serge, tu es quelqu'un de sérieux, on ne se moque pas de toi. Mais tu as un coté solitaire qui peut-être te fait craindre que des blagounettes soient négatives.

Le soir je suis moins dispo que le midi en juillet et ce week-end pas dispo non plus mais après quand tu veux martial. Disons plutôt à partir de la seconde moitié semaine prochaine pour être plus libre « administrativement » dans ma tête quoi.

serge burckel a écrit:

y-a-t-il un sens en théorie des ensembles et des cardinaux à considérer la notion d'ensemble dénombrable maximal (au sens de l'inclusion) ?

Une telle chose ne peut exister que dans un ensemble lui-même dénombrable (si X est un ensemble non dénombrable et Y une partie dénombrable de X alors il existe a dans X\Y et l'union de Y et de {a} est dénombrable).