Pas de bon ordre sur $\R$ ?

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Réponses

  • Foys
    Foys
    Le problème va être que deux ensembles infinis dénombrables sont toujours en bijection.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • serge burckel
    serge burckel
    @Foys

    Oui, j'avais compris cela. La définition classique de cardinal se base sur l'équipotence. Il n'y a pas d'alternative plus fine ?
    Encore une fois un problème de type. Parler du cardinal des ensembles avec et en termes d'ensembles me semble assez restrictif surtout pour considérer l'hypothèse du continu ou ce bon ordre sur les Réels.
  • Foys
    Foys
    Les alternatives que je connais passent par des structures supplémentaires (par exemple les ensembles munis de bons ordres sont classés par les ordinaux).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • serge burckel
    serge burckel
    @Foys

    oui, j'en suis aussi arrivé là dans la réflexion. Mais alors on atteint des limites conceptuelles pour aborder ces questions ouvertes d'existence de bon ordre ou encore d'existence de cardinaux intermédiaires pour CH. Bref, il manque un truc dans ZF pour aborder et formaliser ces questions.
  • Foys
    Foys
    Pourquoi? La notion de bon ordre est parfaitement définie dans ZF. Un ordre n'est pas une propriété intrinsèque d'un ensemble, c'est tout.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • serge burckel
    serge burckel
    Disons qu'une propriété inductive $P$ sur des ensembles définie par un schéma du type :

    $P(S)$ s'il existe $X \subset S$ tel que $P(S\setminus X)$

    devient "gênante" sans cette structure d'ordre, càd si $S$ n'est pas "strictement plus grand" que $S\setminus X$
  • grothenbiete
    grothenbiete
    Bon on se la fait quand cette soirée finalement ?
  • Martial
    Martial
    @grothenbiete : je t'ai répondu en MP, ça m'évitera de subir les foudres de certaines personnes, lol
  • christophe c
    christophe c
    Je n'en peux plus de Paris, je viens de puiser dans mes finances rouges pour relouer (mais j'ai réussi l'exploit, après longues fouilles et en allant louer dans ville paumée (Chartres) d'obtenir 3 semaines de bagnole pour 500E) en espérant m'enfuir dès demain. Mais de retour avant fin aout, je pense.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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