Travaux de Jacob Lurie

Ce n'est pas "fondations" au sens de "fondements". Dans ses livres, Lurie développe la notion d'$\infty$-catégorie (au sens des quasicatégories) - c'est "fondationnel" au sens où ça développe les résultats de base concernant cette notion.

Par analogie, un texte "fondationnel" sur l'arithmétique contiendrait le théorème de décomposition en facteurs premiers, la notion de congruences etc.

La notion d'$\infty$-catégorie est une notion riche et fructueuse qui, à ce jour, a principalement pour visée d'éclaircir un peu le paysage homotopique des maths (et "donc", en un sens, d'apporter un point de vue homotopique sur différentes idées - qui avaient parfois du mal à s'exprimer sans ce point de vue).
En tout cas, actuellement, ça n'a pas vraiment de visée de fondements (sauf avec son avatar de théorie des types, HoTT). D'ailleurs, si tu lis les livres de Lurie, tu verras qu'ils utilisent souvent (souvent), par exemple, la notion de cardinal infini (ce qui est rare dans les maths "mainstream" - pas en théorie des ensembles/logique - mais assez commun finalement quand on parle de catégories)

Moi je dis que dans ce cas il n'y a pas à s'entendre, parce que ce n'est en aucun sens (raisonnable) la vocation de ces textes que de "fonder les maths".
Vraiment en aucun sens. Comme je l'ai dit il y a d'autres textes dont c'est la vocation (au moins annoncée), mais ce n'est pas le cas de ceux là - les travaux de Lurie sont entièrement basés sur (et ce, de manière complètement assumée, ce n'est pas moi qui dis "ah si regarde ici haha") la théorie des ensembles, et ne cherchent pas à atteindre les mêmes objectifs, ni même des objectifs similaires.

La deuxième question est différente de la première.

L'idée (vague) d'$\infty$-catégorie remonte à bien avant les travaux de Lurie et même avant ceux de Joyal; d'aucuns disent qu'elle est déjà en germe dans les travaux d'Eilenberg et MacLane (ils ont inventé les catégories pour parler de transformations naturelles: les catégories supérieures étaient déjà dans leur viseur, dès le début en ce sens).
En fait la notion (naïve, sans définition précise à ce jour) d'$\infty$-catégorie est la "limite" naturelle des notions de $n$-catégories, qui, elles, apparaissent naturellement dès lors qu'on se demande quel genre de structure la catégorie des catégories a (réponse : une structure de $2$-catégorie. Mais alors, quelle structure a la collection des $2$-catégories ? Une structure de $3$-catégories, etc.). C'est essentiellement pour cette raison que les gens ont commencé à y réfléchir initialement.

Les travaux de Joyal-Lurie sont plus dans la continuité des réflexions de Grothendieck à cet égard (il me semble). En fait (attention, je ne m'y connais pas en histoire, donc il y a sûrement des choses fausses, mais je reconstruis un peu les choses a posteriori), vers l'époque de Grothendieck justement on se rend compte que ces $n$-catégories (qu'on ne sait pas encore définir à l'époque) ont des comportements "homotopiques" (ce qui se conçoit : l'analogie entre transformation naturelle et homotopie étant claire).
Grothendieck formule l'hypothèse homotopique : les $n$-groupoïdes, ça devrait être la même chose que les $n$-types d'homotopie (avec $n=\infty$ : les $\infty$-groupoïdes devraient être la même chose que les types d'homotopie).
Il faut encore dire ce qu'est un $n$-groupoïde, et ce que veut dire "être la même chose" dans ce contexte, ce sont des choses qu'on essaie encore de comprendre.

Bref, les catégories supérieures sont intimement liées à la théorie de l'homotopie. Mais le truc c'est qu'il y a des comportements homotopiques en dehors de la topologie : les complexes de chaînes ont une "structure homotopique" par exemple (cette notion ayant déjà été éclairée par Quillen dans les années 60); et en géométrie algébrique, certaines formules font apparaître ces structures "homotopiques" de l'algèbre, et suggèrent qu'il y a aussi des choses homotopiques à comprendre en géo alg (aujourd'hui on sait que c'est le cas).

Les $\infty$-catégories au sens de Lurie (qui sont en fait des $(\infty,1)$-catégories) ont été développées pour rendre compte de ce genre de phénomènes. En fait elles ont été définies bien plus tôt, par Boardman et Vogt, pour des buts purement topologiques (enfin... je ne connais pas le contexte précis, mais il me semble que c'est ça), et développées un peu par Joyal (et d'autres, évidemment), avec en tête des buts similaires (même si je pense que Joyal avait déjà en tête des choses auxquelles pensait Lurie - mais à nouveau je m'y connais pas en histoire); et Lurie a écrit ses bouquins pour avoir une base solide pour ses travaux en géométrie algébrique dérivée (et spectrale) - la partie de la géométrie algébrique qui "prend au sérieux" ces phénomènes homotopiques.

Donc Lurie, ce qui l'intéressait vraiment à l'origine c'était la géométrie algébrique (dérivée, spectrale), et il a développé les fondements de la théorie des $\infty$-catégories (pas des maths) avec ce but en tête.

Dans son premier livre Higher Topos Theory, il commence par développer les bases des bases (propriétés des $\infty$-catégories, outils pour travailler avec, la notion de limite/colimite, d'adjonction, ...), puis des trucs un poil plus sophistiqués ($\infty$-catégories présentables) (dans ces deux trucs, il mimique essentiellement la théorie des catégories pour l'adapter à ce cadre homotopique), et finit par atteindre son premier objectif : les $\infty$-topoï, qui sont un cadre un peu unifiant pour la géométrie algébrique et la topologie.
Dans le deuxième livre, Higher Algebra, il développe les bases de l'algèbre "supérieure" - essentiellement l'algèbre dans des $\infty$-catégories, donc il parle de spectres, d'$\infty$-catégories dérivées, d'$\infty$-opérades, etc.
Il développe en particulier les propriétés de base de l'algèbre spectrale (algèbre dans $Sp$ - je mentionne au passage que pour moi, un des grands mérites de la théorie des $\infty$-catégories est d'avoir clarifié ce que sont les spectres), dont il a besoin pour... la géométrie algébrique spectrale :-D
(dans ce deuxième livre, il adapte l'algèbre commutative usuelle, l'algèbre homologique usuelle et la théorie des opérades à ce cadre "$\infty$-catégorique", et au vu des thèmes abordés, c'est clairement en vue de la géométrie algébrique, par exemple le chapitre "Algebra in the stable homotopy category" est essentiellement dédié aux dérivées de Kähler, à la théorie de la déformation, et aux morphismes étales dans ce contexte)

En termes d'introduction je conseillerais personnellement les cours de Groth et de Gepner. Ils ne sont pas techniques et ne contiennent quasiment aucune preuve, mais ils permettent de se rendre compte de la pratique du sujet, du genre de résultats qui existent, et peut-être de ce qu'on cherche à faire.

Ils m'ont été d'une grande aide (ils résument essentiellement certaines parties de HTT et HA)