Expression ambiguë : fonction définie sur E

Blanc · July 2020

Bonjour
L'expression " soit une fonction f définie sur E " me paraît ambiguë car je ne sais pas si cela veut dire :

Df = E ou bien telle que E inclus dans Df

Qu'en est il au juste ?
Merci.

Thierry Poma · July 2020

Bonjour,

Une fonction $f$ définie sur un ensemble $\text{E}$ est un ensemble tel que\[\begin{gather*}(\forall\,z)(z\in{}f\Rightarrow(\exists\,x)(\exists\,y)(z=(x,\,y)))\text{ et }\mbox{pr}_1f=\text{E}\text{ et }\\(\forall\,x)(\forall\,u)(\forall\,v)((x,\,u)\in{}f\text{ et }(x,\,v)\in{}f\Rightarrow{}u=v)\text{ et }(\forall\,x)(x\in\text{E}\Rightarrow(\exists\,y)((x,\,y)\in{}f))\end{gather*}\]Soit $\text{I}$ un ensemble. C'est ainsi qu'une famille d'ensembles $\left(\mbox{A}_{\alpha}\right)_{\alpha\in\text{I}}$ est une fonction définie sur l'ensemble d'indices $\text{I}$. Il y a d'autres façons de voir les choses.
Une application $f$ définie sur une ensemble $\text{E}$ et à valeurs dans un ensemble $\text{F}$ est un ensemble tel que\[\begin{gather*}f\in\mathfrak{P}(\text{E}\times\text{F})\text{ et }\\(\forall\,x)(\forall\,u)(\forall\,v)((x,\,u)\in{}f\text{ et }(x,\,v)\in{}f\Rightarrow{}u=v)\text{ et }(\forall\,x)(x\in\text{E}\Rightarrow(\exists\,y)((x,\,y)\in{}f))\end{gather*}\]Soit $\text{I}$ et $\text{U}$ des ensembles. C'est ainsi qu'une famille $\left(\mbox{A}_{\alpha}\right)_{\alpha\in\text{I}}$ de sous-ensembles de $\text{U}$ est une application définie sur l'ensemble d'indices $\text{I}$ et à valeurs dans $\mathfrak{P}(\text{U})$.

Cordialement,

Thierry

Blanc · July 2020

Bonjour,

Je comprends bien la différence entre une fonction et une application comme vous le faites - et c'est d'ailleurs comme cela que je l'ai apprise - mais il semblerait que pour certains Df = E et pour d'autres que E inclus dans Df.

Si l'on dit: soit une fonction f dont l'ensemble de départ est E et l'ensemble d'arrivée F, le domaine de définition de la fonction est le plus grand sous ensemble A de E pour lequel quel que soit x dans A f(x ) est défini.

Si l'on dit: soit une application f dont l'ensemble de départ est E et l'ensemble d'arrivée F , à la différence d'une fonction ,la définition d'une application implique que Df = E .

Ma question est donc de savoir ce qu'un auteur entend lorsqu'il dit "soit f définie sur E" :

Est-ce qu'il entend que quel que soit x dans E, f(x) est défini ou bien est- ce qu'il entend que le domaine de définition de la fonction peut être éventuellement plus grand que E?

Merci

Thierry Poma · July 2020

Dans le cas où une fonction $f$ est telle que $\mbox{Def }f\subset\text{E}$ strictement, l'ont dit que $f$ est une fonction partiellement définie sur $\text{E}$.

Peut-être t'en dira-t-on plus.

Maxtimax · July 2020

ça dépend du contexte, et en général la distinction n'est pas essentielle.
Si c'est une déclaration ($f$ n'est jamais apparue avant, et on l'introduit à ce moment là), j'aurais tendance à dire que c'est $=$ (sauf si le contexte prévient explicitement que ce sera $\subset$, par exemple si tu sais que tu t'intéresses à l'ensemble des $f$ définies sur un sous-ensemble de $A$, et que $E\subset A$)

Si c'est une propriété (on a parlé de $f$, en tout cas d'une définition possible avant, et on dit "$f$ est définie sur $E$"), alors j'aurais tendance à l'interpréter comme $\subset$.

Mais les deux sont vagues, et sujets à modification selon le contexte.

Bref, soit la distinction n'est pas essentielle, auquel cas on s'en fiche un peu, soit elle l'est, auquel cas si le texte est bien écrit, le contexte devrait clarifier.

Thierry Poma · July 2020

Cf. ceci.

Blanc · July 2020

Cela va dans le sens de ce que je pense.

Pourtant le vocabulaire mathématique permet de lever toute ambiguïté

Merci pour ta réponse.

Blanc · July 2020

Merci

christophe c · July 2020

me paraît ambiguë

Ce n'est pas "te parait". C'est "est", tu as parfaitement raison. Tu as reçu des avis, mais je pense que tu peux aussi construire ton propre avis sur les stratégies que tu utiliseras en tant que lecteur pour "deviner" ce que le lecteur "voulait".

Par contre, en tant qu'auteur, c'est très bien, ça montre que tu lèveras cette ambiguité toi-même en n'utilisant pas cette expression, vu que tu as, à juste titre, remarqué qu'elle n'est pas précse. Bravo, donc.

Héhéhé · July 2020

L'immense majorité des mathématiques actuelles prennent la convention fonction = application, donc quand on rencontre ce genre de phrase, il y a de fortes chances que ça veuille dire $D_f = E$.

Dom · July 2020

Je me permets une digression :
La grosse ambiguïté ensuite, disons sous un autre angle, porte sur les régularités des fonctions.
J’ai déjà vu affirmer sur ce forum que pour une fonction de $\R$ dans $\R$ ($\R$ étant le domaine de définition de $f$), « $f$ est continue sur $I$ » est la même chose que « «$f_{|I}$ est continue ».
C’est ce « sur » encore qui est mal interprété.

Martial · July 2020

@Christophe : tu me rassures, je me disais exactement la même chose.

@Tous : il y a effectivement une ambiguïté, j'en parle dans mon bouquin.
Je ne m'occupe que de la distinction entre $D_f \subseteq E$ et $D_f = E$.

Je pense qu'en théorie naïve (et dans les maths traditionnelles) on appelle fonction de $E$ dans $F$ toute fonction définie sur une partie de $E$, et application de $E$ dans $F$ une fonction de domaine exactement $E$. Par exemple, $f(x)= \dfrac{1}{x}$ mérite le statut de fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

Par contre, en théorie des ensembles ZF, la distinction disparaît, et une fonction de $E$ dans $F$ se doit d'être définie sur $E$. Dans le cas où le domaine de définition est strictement inclus dans $E$, on parle alors de fonction partielle.