Un exercice sans background

@Martial, je vais ouvrir un fil tout de suite pour te suivre.

@tous: l'exercice se fait bien en ANS bridée (donc avec de simples ultrafiltres "utilisées comme d'habitude"). Je vais en construit un autre.

Dans le présent fil, comme mon objectif n'est pas de filer des exercices aux gens pour les embêter, je donne une "correctIOn classique" **** (ie sans ANS), pour montrer que j'ai "raté" mon objectif qui était de donner un truc trivial en ANS, mais "difficile à traduire" en prevue classique même avec des ultrafiltres.

**** non, mais facile en preuve classique!

Je vais prouver un truc incompablement plus général d'ailleurs que l'exercice du fil.

Le contexte est un monoide associatif $(E,.)$, bon pour que ce soit intéressant, dotons-le d'un élément $0$ multiple de tout le monde (précisément $\forall x: 0.x=0$).

Un idéal droit sera une partie du monoide contenant $0$ et stable par multiples.

Dans l'exo j'ai évoqué les premiers, mais en fait on s'en fiche totalement. Je dirai donc qu'on va parler d'idéaux bleux. La seule chose importante est que "bleu" est premier ET fermé dans $P(E)$ doté de la topologie qui voit $P(E)$ comme $2^E$ muni du produit de la discrète. Par exemple, avec un anneau c'est le cas de "premier" mais pas le cas de "maximal".

En plus l'avantage est qu'on peut prendre la fremeture (ie l'adhérence) d'une notion. Par exemple l'adhérence de "maximal". Mais bref.

Un théorème (devrais-je dire un lemme) célèbre de théorie des anneaux qui "se rattrape" constructivement à coup d'anneaux de fractions calculatoires est que si $P$ est premier, minimal à contenir $a$ alors il existe dans $nonP$ un $b$, et un entier $n$ tel que $ba^n=0$.

Le $n$ et le $b$ dépendent de $a$.

Je vais maintenant supposer un noethérianité partielle. Je vais dire que pour tout ultrafiltre $W$ sur $bleu$, l'ensemble (qui est un idéal bleu par fermeture de bleu) suivant :
$$\{x\mid \{J \mid x\in J\}\in W\} $$

est inclus dans bleu. (On notera au passage mon erreur dans l' énoncé de l'exo qui obligeait les lecteurs à se servir de leur expertise pour corriger en devinant l'intention, mais heureusement, foys est un génie :-D , Calli est un ulmien, etc)

Cette condition est évidemment satisfaite quand le monoide est noethérien. Mais la réciproque est fausse "a priori" (vu qu'on ne précise pas ce que signifie "bleu")

Je note $N$ l'intersection des idéaux bleux. L'énoncé "intéressant" (enfin que je voulais tel) est que le $b$ ne dépend plus de $a$.

J'écris la preuve ANS, puis j'écrirai la preuve classique plus tard:



soit $P$ std un idéal minimal parmi les bleux. Soit $x\in P$. Là, je vais donner l'impression que j'utilise "pleinement" l'idéalisation. Soit $X$ un idéal bleu ne contenant pas $x$. Alors son standardisé $H$ non plus, puisqu'il est inclus dans $X$. Comme $H$ est bleu, il y a un élément STANDARD $b\notin P$ tel que $b\in H$, et donc tel que $b\in X$.

On a donc $\forall X\exists^s b: blabla$. A noter que le blabla utilise le paramètre $x$ qui n'est pas supposé std.

Soit $F$ fini ET STANDARD tel que $\forall X\exists b\in F: blabla$. Le produit des éléments de $F$ fait l'affaire.

Maintenant on "recommence": on a $\forall x\in P \exists^s b: blabla$. Un ensemble fini et standard de tels $b$ convient, on les multiplie et c'est réglé.

MAIS mais mais, c'est un très mauvais exemple que j'ai choisi là, puisque j'aurais pu directement dire:

$\forall (X,x) \exists^s b: blabla$ et conclure SANS utiliser de l'idéalisation avec paramètreS non standards. Donc mes excuses. (Voua avez gagné au passage un beau théorème général, parce que des monoides associatifs, ça court les rues). A noter, que je n'ai pas vérifié si la commutativité a été glissé de façon involontairement réflexe. Si oui, et bé, l'ajouter en hypothèse dans ce de toute façon "mauvais exemple".