Sous le bout du possible

A la demande de Martial, je reparle de "mes bornes de l'univers" ou pour reprendre l'expression de JP Ressayre (qui apparemment a pas mal arpenté les autoroutes) mes "dernières stations avant $0=1$).

Je prends un exemple simple. L'énoncé $P$ suivant:


il existe un inaccessible $E$ et un énoncé $Q$ tel que (1) et (2) ci-dessous:

(1) $ ZFC \vdash [$ pour tout inaccessible $F$ tel que $F\models Q$, il y a au plus 258 inaccessibles strictement au dessus de $F]$

(2) $E\models Q$.

Cette démarche a l'avantage (hélas complètement platonicienne) de monter le long de l'échelle ordinale sans devoir s'arrêter arbitrairement. On ne s'arrête que quand on a rencontré un tel $E$, sinon, si on n'y parvient pas, on conclut juste "qu'on a été trop fatigué pour continuer de monter et basta"

Attention: ce n'est pas un axiome de grand cardinal. Il est facile de prouver sa faiblesse. Il est structurel en tant qu'indicateur "du haut" de l'univers. De tels énoncés sont évidemment nombreux et ne limitent pas a priori la hauteur de l'univers (autrement dit, ce n'est pas castrateur de potentialités), par contre, il faut adapter: le "vrai" plafond est à $E$ (ou en dessous); ce qui permet de parler de l'univers (donc $E$) à tous les ordres et pas seulement au premier. C'est une manière d'assumer le platonisme tacitement présent dans les autres activités ensemblistes et de ne pas s'arrêter à la moitié de l'échelle (ce que font les grands cardinaux)

Pour les gens qui s'interrogent en pensant par exemple ("oui, mais un tel $Q$ demandé dans l'énoncé est peut-être beaucoup trop long), je laisse en exercice facile de voir que comme exemple de "tels $Q$", il y a tout bêtement $P$ que je viens d'écrire. Cette objection-là, donc, ne tient pas.