Plus petit ensemble indénombrable

chat d'eau
chat d'eau
dans Fondements et Logique
L'ensemble des réels [a] pour cardinal $c=2^{\aleph_0},$ mais existe-t-il un exemple d'ensemble pour lequel on sait que sa cardinalité vaut $\aleph_1\le c$ ?

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Bin $\omega_1$ lui-même déjà.

    Si ta question est "existe-t-il une partie canonique de IR ...", la réponse est non: sans l'axiome du choix toute partie de IR qui n'est pas dénombrable contient une "copie" de $2^\N$

    Par contre, tu as plein de QUOTIENTS de IR de cardinal $\omega_1$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    @Christophe : tu peux donner un exemple d'un tel quotient ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Martial : tu fais $\mathbb R = P(\mathbb N^2)$ et à chaque relation sur $\mathbb N$ tu associes $0$ si ce n'est pas un bon ordre, et l'ordinal (dénombrable) qu'elle représente si c'en est un.
  • Martial
    Martial
    @Max : Merci.
    Si j'ai bien compris, tu dis que deux telles relations sont équivalentes ssi elles ont la même image par ton application, et l'ensemble quotient est exactement $\omega_1$.
    C'est ça ?

    C'est le genre de trucs qui est facile à comprendre quand on te le met sous les nez, mais de là à le trouver soi-même...
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Oui c'est ça !
  • christophe c
    christophe c
    @Martial, tu as plein de façons "marrantes" d'associer un ordinal dénombrable à un réel. Par exemple, pour chaque partie $A$ de $\Q$, tu construis:

    $u(\alpha) := $ le minimum, s'il existe (au sens de l'ordre usuel de $\Q$) de $A\setminus \{u(\beta) \mid \beta<\alpha\}$, en t'arrêtant dès que ce minimum n'existe pas (pour quelque raison que ce soit). L'ordinal d'arrêt tu le notes $\phi(A)$. Alors $\phi$ est une surjection de $P(\Q)$ sur $\omega_1$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    @Martial, de manière géénrale, chaque relation binaire possède "une partie dit bien fondée", définie par $ \forall \alpha$ ordinal :

    $$T_{\alpha } := \{x\mid \forall yRx\ :\ \exists \beta<\alpha : y\in T_{\beta}\}$$

    et donc une "hauteur" définie par le premier $\alpha$ tel que $\forall \beta>\alpha : T_{\beta} = T_{\alpha}$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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