Noeuds
Il s'agit d'une demande un peu vague d'informations.
Les composantes connexes d'un ouverts bornés de $\R^3$ peuvent avoir vis à vis les unes des autres des situations très complexes, à la différence de $\R^2$, où en les déformant et faisant glisser on peut les séparer les uns des autres (chacune se retrouvant très loin). Anneaux boroméens, etc, bref, une vraie faune, qui fait probablement l'objet d'études spécialisées depuis longtemps.
Ma question floue est y a-t-il une complexité d'une autre nature, en plus de cette éventuelle "complexité mode noeuds-entrelacements", qui frappe les ouverts bornés de $\R^4$ (en termes de positions relatives de leurs composantes connexes)?
Merci d'avance.
Les composantes connexes d'un ouverts bornés de $\R^3$ peuvent avoir vis à vis les unes des autres des situations très complexes, à la différence de $\R^2$, où en les déformant et faisant glisser on peut les séparer les uns des autres (chacune se retrouvant très loin). Anneaux boroméens, etc, bref, une vraie faune, qui fait probablement l'objet d'études spécialisées depuis longtemps.
Ma question floue est y a-t-il une complexité d'une autre nature, en plus de cette éventuelle "complexité mode noeuds-entrelacements", qui frappe les ouverts bornés de $\R^4$ (en termes de positions relatives de leurs composantes connexes)?
Merci d'avance.
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Réponses
(Je pense aux anneaux hawaïens, où les composantes connexes ont un point d'accumulation)
Ce qui m'intéresse c'est comment se comportent de tels ouverts de $\R^4$. J'ai du mal (pour te répondre Serge) que la "disparition des noeuds" en dimension4, fasse par exemple que tout tel ouvert de $\R^4$ ayant 2 composantes connexes est tel qu'on peut en isoler une par un homéomorphisme (ou éventuel truc plus souple) de $\R^4$ (ou truc plus souple qui déplace-déforme une composante sans que jamais au cours du déplacement elle rencontre l'autre et de façon telle qu'à la fin on l'est isolée dans une boule que l'autre ne rencontre pas
Soient $n$ compacts disjoints et chacun connexe $F_1,..,F_n$ inclus dans un espace euclidien canonique $\R^n$. On dira qu'ils sont liés quand il n'existe pas d'applications $f$ de domaine $[0,1]$, telle que $f(0) = (F_1,..,F_n)$, continue, telle que pour tout $x\in [0,1]$ la le changement infinitésimal (flemme) est juste l'application d'un homéomorphisme $\R^n$ dans lui-même à $f(x)$ préservant les disjonctions et telle que $f(1)$ est une uplet de $n$ compacts tous très loin les uns des autres.
Soit $A$ l'ensemble des entiers $n$ tels qu'il existe dans $\R^n$ 3 fermés liés, chacun inclus dans un hyperplan, et 2 quelconque d'entre eux ne sont pas liés. (Par exemple, je ne crois pas que l'anneau boroméen pour $n=3$ fournisse un tel exemple).
Question: calculer $A$. Plus précisément $4\in A$?