Choix et Lebesgue

J'ouvre ce fil à la suite d'un "agacement" (mais je garde le sourire, c'est une manière de parler) de voir les usines à gaz balancées en L3 et CPGE sur les ensembles non Lebesgue mesurables.

Plusieurs remarques:

Dans la suite, l'ensemble $D$ est l'ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux.

1/ C'est un sujet intéressant. Dommage de le traiter dans un seul exercice "vite fait". J'ai l'impression que c'est souvent ce qui est fait. Dans ce cas je recommande de ne pas corriger l'exercice et de laisser gamberger les étudiants, c'est plus profitable, si le prof estime que ça n'aura pas d'incidence. En effet, on voit souvent des corrections non moins usine à gaz qui ne semblent écrites que pour le prof ou le chargé de TD lui-même, car ce qui est important (la rédaction) est passé à la trappe au profit de soit disant "mécanismes de fond". Non, ici, il s'agit de théorie des ensembles pures où la rédaction est $95\%$ du travail.

2/ Si on veut toutefois traiter ça sans "logifier à tout crin", et bé, il me semble qu'il faut y consacrer quelques récréatives heures avec DE NOMBREUX EXERCICES et pas un seul. Dans ce cas, oui, on n'aura pas l'air de radoter qu'un $\forall $ a été oublié ici ou là. De plus ça permet de revisiter (généralement ça a lieu dans des cours de théorie de la mesure) pourquoi il suffit des intersections dénombrables d'ouverts (et non pas de tous les boréliens) pour "taper l'aventure".

3/ L'axiome du choix est très fort. Le lemme de Zorn lui est équivalent et est aussi très fort. Utiliser des bases de Hamel*** de l'espace vectoriel $\R$ sur $\Q$, c'est comme les gens qui refusent, en classe de première, de multiplier par $4a$ le trinôme $ax^2+bx+c$ et qui se justifient A POSTERIORI en disant que les calculs absconses qui viennent à cause de ce refus (simulé, c'est en fait un oubli dû au suivisme général du métire) sont l'occasion de s'entrainer à renforcer ses bases de collège.

4/ A supposer que toute partie de $\R$ soit Lebesgue mesurable, toute partie $A$ telle que $A+D=A$ est négligeable ou co-négligeable dans $\R$. Cette histoire me parait intéressante à mettre entre les mains en L3 si on veut parler de ce sujet. On obtient un .. ultrafiltre sur $\R/D$ qui est stable par intersections dénombrables, donc principal en présence de l'axiome du choix (donc contradiction en quelques lignes légères ensuite). Mais surtout, cette notion d'ultrafiltre "naturel" mérite des portes d'entrée dans le monde estudiantin, donc, pourquoi pas celle-ci?

5/ Soit $a\notin D$ positif et $J:=[0,a]$. Soit $==$ la relation d'équivalence $\{(x,y)\mid \exists d\in x=y+d\}$. La fonction $x\mapsto a-x$ passe au quotient et partitionne $J/==$ en paires (ensembles de cardinal 2). Le choix d'une classe par pair, donnant l'ensemble de classes $C$ est tel que $\{x\in J\mid \exists c\in C: x\in c\}$ est trivialement non Lebesgue mesurable, et la version de l'axiome du choix utilisée, strictement plus faible que AC entier, a choisi un élément dans chaque paire.

6/ Nous avons parmi nous, sur le forum, un collectionneur infatigable de théorèmes du genre His name is Chaurien, je l'invite ou invite ses followers à mettre ICI dans le présent fil un lien vers chaque post où il a écrit des preuves propres de ces énoncés. Cela permettra de ne plus avoir à les chercher.

7/ Et les autres peuvent poster toutes les preuves qui leur plaisent que sous diverses version de l'axiome du choix, il existe des ensembles non Lebesgue mesurables.

8/ Pour finir, je souhaite ré-attirer l'attention sur le rôle gratifiant de la compacité. Soit une partition mesurable en deux couleurs (rouge, vert) de $[0,1]$. Alors il existe des ouverts $U,V$ de $[0,1]$ tels que

8.1/ $LebesgueMesure(U\cap V) \leq 0.0000000001$
8.2/ et $vert\subset U'$
8.3/ et $rouge\subset V'$

$U'$ étant un ouvert inclus dans $U$, mais réunion FINIE d'intervalles (idem pour $V'$ avec $V$).

8.4/ A l'oeil nu et à un ensemble de mesure $\leq 10^{-9}$ près, vous voyez très très très bien votre coloration, et elle semble très banale, ce sont des alternances rouge vert par intervalles.

*** $<<$oh bin, c'est une manière de reéviser l'algèbre linéaire$>>$. (ce n'est pas faux du tout, certes)