Preuves hasardeuses

Je suis peu connecté en ce moment, mais j'ouvre tout de même un fil qui me tient de plus en plus à coeur (il avancera doucement) et que je connecterai à son parent (je ne me rappelle pas le titre exact, genre "amélioration de preuves")

But du fil répertorier et collecter les preuves où l'argument central consiste à utiliser l'inférence:

$$ \mu(A)>0 \to [\exists x: x\in A] $$

où $\mu$ est n'importe quelle mesure, comptage, etc, pas forcément sigma-additif.

J'ai eu à signaler différentes preuves (je les résume ci-dessous**) de ce genre récemment. J'aimerai les collecter toutes dans un même fil, pour voir ce qu'on peut en faire.

Merci par avance pour vos exemples!!

** résumés de quelques exemples:

[small]1/ Preuve de Brouwer: Soit $f$ continue envoyant $B$ dans $S$ (boule et sa pshère), égale à l'identité sur S.

1.1/ soit $\forall t: (g_t:= tf+(1-t)id)$.

1.2/ $t\mapsto h(t):=Volume(ImageDirecte(g_t))$ est un poynôme
1.3/ Il est constant sur $[0,e]$ pour $e$ assez petit (Picard)
1.4/ $h(0)=1$ et $h(1)=0$, contradiction

2/ Il existe des nombres transcendants (sans commentaire)

3/ Théorème des zéros de Hilbert:

3.1/ Prendre X une indéterminée et $P(X)$ un des polynômes de l'équation.
3.2/ Rajouter une lettre $a$
3.3/ From $P(X) = (X-a)Q(X,a) + P(a)$ et supposant à l'arrache $P(a)\neq 0$, obtenir $P(X) = (X-a)R(X,a) - 1$
3.4/ Modulo l'idéal, Ecrire $0= (X-a)R(X,a) - 1$ et bien étaler sous forme de somme de monômes à coefficients considérés comme éléments de $K(a_i)$
3.5/ Trouver une dépendances linéaire en ajoutant des indices à la lettre $a: c_1(a_1) (X-a_1)^{-1 } + ..$
3.6/ Multiplier par le dénominateur et obtenir un polynôme $\sum_i \prod_{j\neq i} c_i (X-a_j)=0$
3.7/ Conclure que $X$ est algébrique sur $K$, car les $"a_i"$ auraient pu être à peu près n'importe qui (ici est l'hasardisme) dans le corps $K$

4/ Soit $P$ un polynôme à coefficients rationnels. Il existe un nombre premier non dans l'image de $\Q$ par $P$.

4.1/ Je mettrai un lien vers le post approprié ou recopie-collerai.

4.2/ Voici le lien


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