Univers...

C'est une hypothèse. Tu supposes qu'il existe des univers de Grothendieck (ou peut-être juste un), qui sont par définition des ensembles

Salut, pour renchérir sur ce qui a déjà été dit: dans SGA 4, exposé 0, Grothendieck ajoute explicitement un axiome:

$(\mathscr{U}A)$: Pour tout ensemble $x$, il existe un univers $\mathscr{U}$ tel que $x \in \mathscr{U}$.

Où pour Grothendieck, un univers est par définition un ensemble. Je ne sais pas si c'est démontré/démontrable que ZFC + $(\mathscr{U}A)$ est consistant ssi ZFC l'est. Grothendieck semble penser que ce n'est pas démontrable, mais je ne sais pas si ça a été prouvé depuis.

La fin de l'exposé 0 a un appendice écrit par Bourbaki (je ne sais pas qui de Bourbaki exactement, je mise sur Serre, (en relisant en diagonale, j'en doute)). Qui refait le texte de l'exposé "façon Bourbaki", avec des petits clashs exclusifs. Ça peut t'intéresser.

Je vais préciser tout ça:

1/ le mot "univers" quand il est utilisé par G désigne ce qui est appelé "ensemble inaccessible". C'est un ensemble transitif, stable par $x\mapsto P(x)$ et qui contient tous ses petits sous-ensembles, "petit" voulant dire image directe d'une fonction dont le domaine est un de ses éléments.

2/ Ca permet d'aller vite de faire ça, mais bien évidemment, le plus petit des ensembles inaccessibles est un modèle de ZF(C) qui vérifie "il n'existe pas d'inaccessible", donc l'existence d'inaccessible n'est pas ZF(C)-prouvable. C'est le plus petit axiome que l'on peut nommer "axiome de grand cardinal", bien qu'il est si petit qu'il ne sert généralement à rien.

3/ Dans le cas précis des catégories, qui est une théorie extrêmement pauvre (en consistency-strength), bien évidemment, c'est une commodité puisque par le schéma de réflexion, on peut récupérer des "quasi-inaccessibles" qui eux sont démontrablement existant dans ZF. C'est juste pénible et ne sert à rien pour le sujet.

4/ A noter que la théorie ZF(C) n'est qu'un choix parmi d'autres pour dire que toutes les petits collections sont des ensembles et qu'on peut la déduire de "désirs" bien plus simples, mais hélas, plus "logiquement backgroundés":

4.1/ Demander $E=P(E)$ c'est trop demander
4.2/ Demander $E$ sous-modèle élémentaire de $P(E)$, c'est encore trop demander
4.3/ Demander $E,F$ avec $E$ sous-modèle élémentaire de $F$ et quelques petits ajouts suffit à avoir $ZFC$ par exemple, à partir d'axiomes de bases pauvres (existence de paires, etc).

Groth est un mec intelligent. Il a, je pense, fait ce choix pour éviter les histoires de "petites VS pas petites" qui étaient souvent brandies par les gens à la fois non expert mais qui avaient subi un syndrome de Stockholm face à $\{x\mid x\notin x\}$, et n'en démordaient plus que c'était une stigmate divine (et donc s'étaient perdus dans d'indigentes considérations sur petite pas petite, croyant qu'à cause de ça, faire des catégories était plus rtanscendantal que faire des groupe). Je pense que voyant ça, Groth a préféré clore ces traumatismes et décidé de présenter les choses correctement (tout est petit). De plus, s'il y avait bcp de technologie à mobiliser, ce n'était pas la peine de s'embourber avec ça.

Oui oui je suis d'accord. Tu as tout dit avec "métaphysique". C'est de la technique. Pas de la métaphysique. Il a "technifié".

(Martial : après on peut se satisfaire de "il existe 3 cardinaux inaccessibles" en pratique, donc c'est juste quelques fois plus fort que ZFC, pas infiniment ;-) )