Ordinaux et cardinaux
A la suite d'une demande qui m'a été envoyée par MP, je m'engage à mettre dans le présent fil un pdf aéré sur les ordinaux et les cardinaux, qui sera complet.
Le document en est PJ à un post ultérieur (je mettrai un lien et un google drive.
Le document en est PJ à un post ultérieur (je mettrai un lien et un google drive.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
Pour tout intervenant, n'hésitez pas à cartonner, il s'agit d'aider quelqu'un. Je peux fournir le ".tex" et le preambule de compilation, même si besoin. Je ne suis pas du tout dispo et un peu la tête sur d'autres sujets, donc pas de souci si aide et collaborativité
Je n'ai pas encore ajouté la connexion avec les autres définitions, bien qu'on les devine.
La section 4 est du luxe, elle peut être sautée en première lecture, elle est purement pour la psychologie.
@Martial, merci, je pense que tu as lu trop en diagonale la S4 justement.
1/ corriger une erreur, une coquille un double dollar, etc
2/ Améliorer la disposition
3/ Améliorer la didactique de tel passage (niveau, aération, détail de preuves)
4/ Ajouter une preuve non mise, définition manquante, etc
5/ Autre, mais objectivement "nécessaire" à l'objectif.
L'axiome de fondation dit que tous les ensembles sont bien fondés. un ensemble $a$ tel que $a=\{a; 3\}$ n'est pas bien fondé par exemple
Oui par manque de temps surtout, je compléterai. Mais j'ai ajouté une section qui montre que les définitions choisies importent peu.
Kezaco ????? :-D Oulala tu te compliques la vie. J'ai juste écrit que tout élément de $E$ est une partie de $E$. Vas au plus simple.
Je remettrai la réponse à cette FAQ dans l'ordre une fois que les questions seront parvenues, et dans le doc pdf. Ma boite MP qui ne m'est accessible que de façon compliquée par mail n'est pas pratique.
Je ne fais que passer.
Définition : Soit $\alpha$ un ensemble et $\mbox{O}_{\alpha}\in\mathfrak{P}(\alpha\times\alpha)$ un bon ordre (pas nécessairement strict) sur $\alpha$. L'ensemble $\mbox{O}_{\alpha}$-bien ordonné $\alpha$ est un ordinal si\[\begin{gather*}(\forall\,\xi)\left(\xi\in\alpha\Longrightarrow\xi=\mbox{seg}_{\alpha}(\xi)\right)\text{, où}\\\mbox{seg}_{\alpha}(\xi)=\left\{\begin{array}{c|c}\beta'&\beta'\in\alpha\text{ et }(\beta',\,\beta)\in\mbox{O}_{\alpha}\setminus\Delta_{\alpha}\end{array}\right\}\text{, avec }\Delta_{\alpha}=\left\{\begin{array}{c|c}(\gamma,\,\gamma)&\gamma\in\alpha\end{array}\right\}\end{gather*}\]Remarques immédiates : Clairement,
C'est tout pour l'instant.
Titi
La définition "traditionnelle" des ordinaux c'est "transitif et bien ordonné au sens strict par $\in$". J'y reviendrai dans le pdf, après avoir compris "les besoins".
La notion de bon ordre quelconque, bien que "sans souci de principe", regardée via l'équivalence d'isomorphie prend typographiquement et conceptuellement a priori plus de place si je ne suppose pas le lecteur familier avec ces genre d'équivalence. Je ne sais donc pas trop ce que tu voulais me dire, juste en regardant la partie visible (bon je t'avoue que comme il y a énormément de notations, j'ai survolé).
Je viens d'ajouter une propriété. Je t'invite à lire le tout sur un ordinateur, pas sur ton mobile. ;-) La définition que j'ai adoptée et légèrement revisitée est due à Monsieur von Neumann.
Rappelons au cas où c'est nécessaire que "$R$ est un ordre sur $E$" signifie que
(i) pour tout $x\in E$, $(x,x)\in R$
(ii) pour tous $x,y\in E$ tels que $(x,y)\in R$ et $(y,x)\in R$, on a $x=y$
(iii) pour tous $x,y,z\in E$, si $(x,y)\in R$ et si $(y,z)\in R$ alors $(x,z)\in R$.
2°) Soit $F$ un ensemble et $S\subseteq F^2$ une relation binaire. On dit que $S$ est un bon ordre strict sur $F$ s'il existe un bon ordre $T$ sur $F$ tel que pour tous $x,y\in F$, $(x,y) \in S$ si et seulement si $(x,y)\in T$ et $x\neq y$.
3°) Soit $\alpha$ un ensemble. On dit que $\alpha$ est un ordinal si les deux conditions suivantes sont remplies:
O1°) l'ensemble $\{(p,q)\in \alpha^2 \mid p \in q\}$ est un bon ordre strict sur $\alpha$
O2°) pour tous $x,y$, si $x\in \alpha$ et si $y\in x$ alors $y\in \alpha$.
Cette définition est parfois énoncée de manière plus courte dans la littérature de la manière suivante: un ensemble $\beta$ est un ordinal si $\in$ induit un bon ordre strict sur $\beta$ et si pour tout $u\in \beta$, on a $u\subseteq \beta$.
Je suis heureux de te lire. Il était inutile de me rappeler ce qu'est un ordre sur un ensemble. Je te remercie quand même. En quoi la définition de von Neumann, que l'on trouve dans le "Ageron" par exemple, est-elle a priori gênante ? Pour ma part, je la trouve naturelle, conforme à l'idée intuitive que l'on peut se faire d'un ordinal.
Là, je suis fatigué.
Titi
Je viens de modifier le code latex. Tu as un écran 15'' ? :-D