Le mystère des ordinaux
Lorsqu'on définit une syntaxe pour énumérer les ordinaux (dénombrables) calculables en partant de 0, la syntaxe en question ne permettra jamais d'exprimer l'ordinal limite qui est le premier ordinal plus grands que tous ceux énumérables par ladite syntaxe. Donc on enrichi (ou modifie) la syntaxe pour aller plus loin, ce qui ne fait que repousser le problème, il faudra encore et encore modifier la syntaxe indéfiniment pour aller de plus en plus loin, dans un "processus" de création permanent où il faut sans cesse faire évoluer la syntaxe pour s'approcher de plus en plus de l’inaccessible $\omega^1_{CK}$ (le plus petit ordinal non calculable), sans jamais s'en approcher vraiment puisqu'il y aura toujours une infinité d'ordinaux qui le sépareront de l'ordinal limite de la syntaxe.
Ce "processus" est lui même non calculable, j'espère que ceux qui sont familiers des ordinaux voient de quoi je parle, parce que justement j'aimerais savoir si ce phénomène de création sans fin, ce "processus" porte un nom ? Et s'il existerait une définition formelle correspondante ? Une définition du "processus" pas une manière de le calculer puisque c'est impossible.
Je crains qu'on me réponde laconiquement que la définition en question est justement celle des ordinaux, puisque celle-ci nous met en situation d'éprouver ce processus dès lors qu'on va chercher à énumérer de plus en plus d'ordinaux, et que donc ça le définit en pratique. Peut être qu'il n'est de toute façon pas possible de définir ce processus directement, c'est à dire autrement que par "ça découle de la définition des ordinaux" ou quelque chose de similaire. Cela n'empêche qu'il pourrait quand même avoir un nom. Je serais consolé si au moins on voit de quoi je parle et que l'on compatisse pour la fascination que je peux éprouver pour ce truc.
Ce "processus" est lui même non calculable, j'espère que ceux qui sont familiers des ordinaux voient de quoi je parle, parce que justement j'aimerais savoir si ce phénomène de création sans fin, ce "processus" porte un nom ? Et s'il existerait une définition formelle correspondante ? Une définition du "processus" pas une manière de le calculer puisque c'est impossible.
Je crains qu'on me réponde laconiquement que la définition en question est justement celle des ordinaux, puisque celle-ci nous met en situation d'éprouver ce processus dès lors qu'on va chercher à énumérer de plus en plus d'ordinaux, et que donc ça le définit en pratique. Peut être qu'il n'est de toute façon pas possible de définir ce processus directement, c'est à dire autrement que par "ça découle de la définition des ordinaux" ou quelque chose de similaire. Cela n'empêche qu'il pourrait quand même avoir un nom. Je serais consolé si au moins on voit de quoi je parle et que l'on compatisse pour la fascination que je peux éprouver pour ce truc.
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Réponses
Anecdote: un jour que j'étais à table avec la nomenclatura set theoretic mondiale au complet, dialogue.
- moi: quand-même vous vous rendez compte qu'il y a un gros ensemble parfait de zéros dièze
- eux: ha ha ha (tout haut, mais pensant ("Font chier dans ces colloques de nous mettre des petits jeunes, qui viennent profiter de la subvention cantine"))
- moi: bin voui, L contient tout plein de modèles bien fondés de $ZF+AD(\R) + EstRegulier(\theta)$, eux mêmes persuadés d'avoir leur zéro dièze unique"
- eux: "heiiin, quoi ... tchiiip, tu peux jamais t'exprimer avec précision. Ouais, mais c'est pas le vrai zéro dièze".
Ensuite j'ai continué de les énerver gentiment (ils sont assez platoniciens) avec des "et en plus, notre vrai univers ne le sait pas, mais s'il contient des réels non constructibles, "demander au père noel" leur constructibilité n'est pas opposable en mode refus au tribunal par le PNoel. donc même le plus petit ordinal (dénombrable donc) qui est vu par un modèle BF comme son supercompact n'est peut-être pas le ... plus petit. Ya peut-être ENCORE un plus petit ordinal dans un univers PLUS HAUT qui est comme ça
- eux: ouiiii, d'aacccooooooord (sous-entendu si on pouvait profiter de la bouillabaisse tranquille aussi, parce qu'on a pas envie de passer dans un univers plus haut qui contient une plus petite bouillabaisse...."), mais ça s'arrêt un jour comme tu sais.
- moi: oui, reste à savoir dans quel univers.
En bref, c'est une pure jungle.