Produits infinis de signes et choix

Bonjour,

Voici trois petites question sur la définition d'un produit infini de signes. Pour des raisons de logique, je pose les choses additivement, mais vous pouvez imaginer qu'on fait des produits de $+1,-1$ plutôt que des sommes de $0,1$.

Soit $S:={\mathbb{Z}_2}^{\mathbb{N}}$ l'ensemble des suites de booléens $0,1$. Pour $n \in \mathbb{N}$, $u \in {\mathbb{Z}_2}^n$ et $v \in S$, je note $u:v$ la concaténation de $u$ et $v$ en commençant par $u$. Je note $\mathbf{0}$ la suite infinie constante égale à $0$.

Pour $v \in S$ et $i \in \mathbb{N}$, je note $\sigma_v(i):=\sum \limits_{j< i} v_j \in \mathbb{Z}_2$. Si $n \in \mathbb{N}$, et $u \in {\mathbb{Z}_2}^n$ est une suite finie, alors pour $i\in \mathbb{N}$, je note $\sigma_u(i)=\sigma_{u:\mathbf{0}}(i)$.

Soit $\sigma$ la fonction partielle sur $S$ à valeurs dans $\mathbb{Z}_2$ définie pour les suites de la forme $u:\mathbf{0}$ où $n \in \mathbb{N}$ et $u \in {\mathbb{Z}_2}^n$, par $\sigma(u:\mathbf{0}):=\sigma_u(n)=\sum \limits_{i< n} u_i$.

Question 1: Existe-t-il selon ZF une extension $\widetilde{\sigma}$ de $\sigma$ à $S$ telle que pour tous $n \in \mathbb{N}$, $u \in {\mathbb{Z}_2}^n$ et $v \in S$, on a $\widetilde{\sigma}(u:v)=\sigma_{u:v}(n) + \widetilde{\sigma}(v)$?

Mettons que $\widetilde{\sigma}$ soit définie sur $X \subsetneq S$ et soit $v \in S \setminus X$. IL faut aussi supposer que $\widetilde{\sigma}$ est définie en $w$ dès qu'elle est définie en $w'$ et que $w$ et $w'$ ont un segment final en commun.
Alors on peut étendre $\widetilde{\sigma}$ en la définissant sur $Y_v:= \{w \ | \ \exists m,n \in \mathbb{N},\forall i \in \mathbb{N},w_{m+i}=v_{n+i}\}$. On fixe arbitrairement $\widetilde{\sigma}(v):=0$ et on pose $\widetilde{\sigma}(w)=\sigma_w(m)+ \sigma_v(n)$ pour tous $w,m,n$ satisfaisant les conditions décrites dans la définition de $Y_v$. Donc avec l'axiome du choix, on peut étendre $\sigma$ à $S$ en respectant la condition.

J'ai l'impression que l'axiome du choix est trop fort et que déjà l'axiome de l'ultrafiltre utilisé intelligemment pourrait suffire.
Il est connu par exemple qu'on peut attribuer une limite à toute suite bornée de réels, parmi ses valeurs d'adhérence, en utilisant un ultrafiltre. Mais cette extension ne respecte pas la structure des séries: en prenant la suite $(1):\mathbf{0}$, on obtiendra la "mauvaise" somme $0$. D'où mes questions:

Question 2: ZF+axiome de l'ultrafiltre entraîne-t-elle l'existence d'une extension?
Question 3: L'existence d'une extension $\sigma$ implique-t-elle l'axiome de l'ultrafiltre?