Ensemble transitif
Bonjour,
je lis pour mon plaisir le livre "Introduction à la théorie des ensembles" de Paul Halmos. Il donne l'exercice suivant :
Démontrer que $\omega$ est transitif ($\omega$ désigne l'ensemble des entiers naturels). Pourriez-vous m'aider ?
Merci
je lis pour mon plaisir le livre "Introduction à la théorie des ensembles" de Paul Halmos. Il donne l'exercice suivant :
Démontrer que $\omega$ est transitif ($\omega$ désigne l'ensemble des entiers naturels). Pourriez-vous m'aider ?
Merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Edit: autrement dit montre que l'ensemble vide est transitif et que si $A$ est transitif alors $ A\cup \{A\}$ l'est aussi.
Edit2: Désolé je ne sais pas pourquoi j'ai écrit inductif au lieu de transitif.
merci pour vos réponses. Je bute à nouveau sur un exercice (le suivant).
Démontrer que si $E$ est un sous-ensemble non vide d'un certain nombre naturel, alors il existe un élément $k$ de $E$ tel que $k \in m$ chaque fois que $m$ est un élément de $E$ distinct de $k$.
D'une manière ou d'un autre, il ta faudra quand-même admettre la définition de omega. Tu as des tas de matheux qui ne donnent pas de définition d'un entier, qui le voit comme une notion première, donc qui ne s'interrogent pas sur ses éléments.
Tu peux montrer que $\emptyset$ est transifitif. Et que si $A$ l'est alors $A\cup \{A\}$ l'est aussi. Bien sûr je suppose que $\mathbb{N}$ a été construit inductivement en partant de $\emptyset$ et de l'opération $A\mapsto A\cup \{A\}.$
Je viens de vérifier. Page 93, Paul Halmos définit un ordinal comme étant un ensemble bien ordonné $\alpha$ tel que $\xi=\mbox{seg}_{\alpha}(\xi)$ pour tout $\xi\in\alpha$. C'est la définition de von Neumann. Il précise ensuite ce qu'est $\mbox{seg}_{\alpha}(\xi)$, le nommant section commençante qui est clairement une partie de $\alpha$. Défini de la sorte, $\alpha$ est trivialement un ensemble transitif. Ici, j'ai inutilement compliqué les choses en donnant des petits résultats.
Bien cordialement,
Thierry
Hint : c'est trivial pour $0=\emptyset$ (pourquoi ?). Suppose que l'on ait $n\in\omega\text{ et }n\in{}S_{\omega}$, puis montre que $n^+=n\cup\{n\}\in{}S_{\omega}$ (page 55). En guise de conclusion, tu auras que $\omega=S_{\omega}$.
Là, je vais reposer le livre poussiéreux qui m'a donné de l'asthme.
Si $0 \notin S_{\omega}$, alors il existe $\beta$, $\beta \in 0$ et $\beta \notin \omega$, donc $0$ appartient à $S_{\omega}$ ($0$ n'ayant pas d'élément).
Soit $n \in S_{\omega}$ et soit un élément $\beta$ de $n^{+}$.
Si $\beta$ appartient à $n$, alors comme $n$ appartient à $S_{\omega}$, $\beta$ appartient à $\omega$.
Si $\beta=n$, $\beta \in \omega$.
On en déduit par induction que $S_{\omega}=\mathbb{N}$.
Je pense que l'on peut envisager autre chose.
Attention à la phrase de conclusion, où $S_{\omega}=\omega$.