Ensemble transitif

Tu peux montrer que tout ensemble construit inductivement de l'ensemble vide à partir de l'opération $A\mapsto A\cup \{A\}$ est transitif.
Edit: autrement dit montre que l'ensemble vide est transitif et que si $A$ est transitif alors $ A\cup \{A\}$ l'est aussi.
Edit2: Désolé je ne sais pas pourquoi j'ai écrit inductif au lieu de transitif.

omega est l'intersection de toutes les collections inductives, or la collection des ensembles transitifs est inductive.

La transitivité de omega (dont je rappelle que c'est $\mathbb{N}$ chez les matheux usuels ) ne dit qu'une chose: tous les éléments d'un entier sont des entiers.

D'une manière ou d'un autre, il ta faudra quand-même admettre la définition de omega. Tu as des tas de matheux qui ne donnent pas de définition d'un entier, qui le voit comme une notion première, donc qui ne s'interrogent pas sur ses éléments.

@Raskolnikov : il suffit de l'écrire. Si $n \in \omega$ et $m \in n$ alors...

L'on a, par définition donnée dans le livre,\[n\in\omega\text{ et }m\in{}n\Rightarrow{}n=\mbox{seg}_{\omega}(n)\subset\omega\text{ et }m\in{}n\Rightarrow(\cdots)\]

Tu aurais pu l'indiquer dès le début. Il n'y a aucun rapport avec les ordinaux, du moins si l'on tient compte de la chronologie des notions abordées par l'auteur. Procédons comme dans le livre, bas de la page 59, en considérant la partie $S_{\omega}$ de $\omega$ définie comme suit [S_{\omega}=\left\{\begin{array}{c|c}\alpha&\alpha\in\omega\text{ et }(\forall\,\beta)\left(\beta\in\alpha\Rightarrow{}\beta\in\omega\right)\end{array}\right\}\]puis montre par induction que $\omega\subset{}S_{\omega}$.

Hint : c'est trivial pour $0=\emptyset$ (pourquoi ?). Suppose que l'on ait $n\in\omega\text{ et }n\in{}S_{\omega}$, puis montre que $n^+=n\cup\{n\}\in{}S_{\omega}$ (page 55). En guise de conclusion, tu auras que $\omega=S_{\omega}$.

Là, je vais reposer le livre poussiéreux qui m'a donné de l'asthme.

Tu peux tout recommencer. Ne pas oublier le (ii) du livre (je n'ai pas envie de le reprendre).

Allons-y. Reprenons le raisonnement de la page 59. L'on a trivialement $0\in{}S_{\omega}$, car l'on a $\omega\ni0=\emptyset$ et $(\forall\,\gamma)\left(\gamma\in\emptyset\Rightarrow{}\gamma\in\omega\right)$ également. Supposons que l'on ait $n\in{}S_{\omega}$. Soit $\omega\ni{}n^+=n\cup\{n\}$ et $\beta\in{}n^+$ quelconque. Montrons que $\beta\in\omega$. Ou bien $\beta\in\{n\}$, d'où trivialement $\beta=n\in\omega$, ou bien $\beta\in{}n$, auquel cas $\beta\in\omega$ vu que, par hypothèse, $n\in{}S_{\omega}$. Ainsi obtient-on que $n^+\in{}S_{\omega}$, d'où $\omega=S_{\omega}$, comme attendu.

J'ai exagéré. La chaleur certainement.

Si $0 \notin S_{\omega}$, alors il existe $\beta$, $\beta \in 0$ et $\beta \notin \omega$, donc $0$ appartient à $S_{\omega}$ ($0$ n'ayant pas d'élément).

Je pense que l'on peut envisager autre chose.

Attention à la phrase de conclusion, où $S_{\omega}=\omega$.