Un doute sur un exercice de JLT
Bonjour
Dans un autre fil dédié à OSshine JLT postait http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2003520,2064088#msg-2064088
Je voudrais faire part de ma solution à l'exercice car j'ai des doutes (je ne le fais pas dans le fil de base qui est un peu dédié à OShine).
Ma réponse est que c'est l'ensemble vide.
En effet, fixons un $n$ particulier. Supposons ce qui doit être démontré. En particulier, cela doit être vrai pour $P=\frac{(X+2)^3}{3} + X^2$ ; et aussi pour une famille de $x_i$ qui ne contient pas -2.
Prenons la contraposée de la dernière partie de l'énoncé. C'est $$
(\forall x\in \R,\ P'(x) \neq 2x) \implies (\exists i,\ P(x_i) \neq x_i^2)
$$ Maintenant, $P'(X) = (X+2)^2 + 2X$, et donc $P'(X) - 2X = X^2 - 4X + 4$ n'ayant pas de racine réelle, la partie gauche de l'implication est satisfaite.
La partie droite ne l'est pas, puisque si $x_i$ est toujours différent de $-2$ et on a que $\forall i,\ P(x_i) \neq x_i^2$. Le raisonnement est valable pour toute valeur de $n$.
Ai-je fait une erreur quelque part ?
Dans un autre fil dédié à OSshine JLT postait http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2003520,2064088#msg-2064088
54) Déterminer tous les entiers $n$ tels que pour tout polynôme $P\in \R[X]$ et tous $x_1<\cdots<x_n$ réels, on ait $$((\forall i,\; P(x_i)=x_i^2)\implies (\exists x\in \R,\; P'(x)=2x)).$$
Je voudrais faire part de ma solution à l'exercice car j'ai des doutes (je ne le fais pas dans le fil de base qui est un peu dédié à OShine).
Ma réponse est que c'est l'ensemble vide.
En effet, fixons un $n$ particulier. Supposons ce qui doit être démontré. En particulier, cela doit être vrai pour $P=\frac{(X+2)^3}{3} + X^2$ ; et aussi pour une famille de $x_i$ qui ne contient pas -2.
Prenons la contraposée de la dernière partie de l'énoncé. C'est $$
(\forall x\in \R,\ P'(x) \neq 2x) \implies (\exists i,\ P(x_i) \neq x_i^2)
$$ Maintenant, $P'(X) = (X+2)^2 + 2X$, et donc $P'(X) - 2X = X^2 - 4X + 4$ n'ayant pas de racine réelle, la partie gauche de l'implication est satisfaite.
La partie droite ne l'est pas, puisque si $x_i$ est toujours différent de $-2$ et on a que $\forall i,\ P(x_i) \neq x_i^2$. Le raisonnement est valable pour toute valeur de $n$.
Ai-je fait une erreur quelque part ?
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