Exercice dans le livre de Paul Halmos

Raskolnikov
Raskolnikov
dans Fondements et Logique
Bonjour,
dans le chapitre sur les couples ordonnés du livre de Paul Halmos (Introduction à la théorie des ensembles), il y a cet exercice obscur pour moi.

"Trouver une caractérisation intrinsèque des ensembles de sous-ensembles de $A$ qui correspondent à un certain ordre dans $A$."
L'auteur ajoute : "Puisque "ordre" n'a pas encore pour nous de signification officielle, tout le problème est officiellement sans signification. Rien de ce qui suit ne dépend de la solution, mais le lecteur apprendrait quelque chose de valable en essayant de la trouver."

L'ensemble $A$ est quelconque a priori, à moins qu'il ne s'agisse de celui qu'il prend en exemple la page précédente : $A=\{a,b,c,d\}$. L'ordre sur un ensemble est défini dans un chapitre ultérieur.
Merci pour votre aide.

Réponses

  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Quelle page ? Ce serait bien d'indiquer à chaque fois la page.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Raskolnikov
    Raskolnikov
    Désolé, l'exercice se trouve page 32.
  • GG
    GG
    @Raskolnikov, par exemple avec l'ordre (partiel) $a < b < c$ sur $A = \{a, b, c, d\}$, vois-tu l'isomorphisme entre $(A, \leqslant)$ et $( \{\{a\}, \{a, b\}. \{a, b. c\}, \{d\}\}, \subset )$ ?
    Autrement dit, avec un ensemble ordonné $A$ quelconque, en notant $S_x = \{y \leqslant x\}$, on a $x \leqslant y \iff S_x\subset S_y$ et $S$ est un morphisme injectif de $A$ dans $\mathcal{P}(A)$.
    Il me semble que Halmos demande la condition que doit satisfaire un ensemble $F \subset \mathcal {P}(A)$ quelconque de parties d'un ensemble $A$ pour qu'on puisse ordonner $A$ de manière à trouver un isomorphisme entre $A$ et $F$. Visiblement il faut que $\mathrm{card} A = \mathrm{card} F$. Est-ce suffisant ?

    [En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
  • Raskolnikov
    Raskolnikov
    Pour répondre à la première question, tu m'as donné l'isomorphisme (celui qui à tout élément $x$ de $A$ associe $S_{x}$).

    Pour la deuxième question, la condition est suffisante.
  • GG
    GG
    oui, mais en fait, je crois que Halmos demande autre chose, parce que dans mon édition originale en anglais que j'ai ouverte, il parle d'un "non-trivial exercise" :-)
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    @GG : bonjour. L'exercice est jugé non trivial également en français. J'avais pensé à ces segments (parties de $A$) déterminés à partir d'un point $a$ de $A$. En fait, je me demande si une solution ne se trouverait pas en relation avec ceci.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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