Exercice dans le livre de Paul Halmos
Bonjour,
dans le chapitre sur les couples ordonnés du livre de Paul Halmos (Introduction à la théorie des ensembles), il y a cet exercice obscur pour moi.
"Trouver une caractérisation intrinsèque des ensembles de sous-ensembles de $A$ qui correspondent à un certain ordre dans $A$."
L'auteur ajoute : "Puisque "ordre" n'a pas encore pour nous de signification officielle, tout le problème est officiellement sans signification. Rien de ce qui suit ne dépend de la solution, mais le lecteur apprendrait quelque chose de valable en essayant de la trouver."
L'ensemble $A$ est quelconque a priori, à moins qu'il ne s'agisse de celui qu'il prend en exemple la page précédente : $A=\{a,b,c,d\}$. L'ordre sur un ensemble est défini dans un chapitre ultérieur.
Merci pour votre aide.
dans le chapitre sur les couples ordonnés du livre de Paul Halmos (Introduction à la théorie des ensembles), il y a cet exercice obscur pour moi.
"Trouver une caractérisation intrinsèque des ensembles de sous-ensembles de $A$ qui correspondent à un certain ordre dans $A$."
L'auteur ajoute : "Puisque "ordre" n'a pas encore pour nous de signification officielle, tout le problème est officiellement sans signification. Rien de ce qui suit ne dépend de la solution, mais le lecteur apprendrait quelque chose de valable en essayant de la trouver."
L'ensemble $A$ est quelconque a priori, à moins qu'il ne s'agisse de celui qu'il prend en exemple la page précédente : $A=\{a,b,c,d\}$. L'ordre sur un ensemble est défini dans un chapitre ultérieur.
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Réponses
Autrement dit, avec un ensemble ordonné $A$ quelconque, en notant $S_x = \{y \leqslant x\}$, on a $x \leqslant y \iff S_x\subset S_y$ et $S$ est un morphisme injectif de $A$ dans $\mathcal{P}(A)$.
Il me semble que Halmos demande la condition que doit satisfaire un ensemble $F \subset \mathcal {P}(A)$ quelconque de parties d'un ensemble $A$ pour qu'on puisse ordonner $A$ de manière à trouver un isomorphisme entre $A$ et $F$. Visiblement il faut que $\mathrm{card} A = \mathrm{card} F$. Est-ce suffisant ?
[En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
Pour la deuxième question, la condition est suffisante.